沈陽建筑工程學院職業技術學院基礎部教學計劃第八章多元函數微分法極其應用（約15學時）第九章重積分（約17學時）第十章曲線積分與曲面積分（約18學時）第十一章無窮級數（約20學時）第十二章微分方程（約18）*“五.一”沖掉2學時每星期交一次作業，星期二、三下午

3~5點答疑，地點：基礎課部

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室第一節多元函數的基本概念一、多元函數的概念二、多元函數的極限三、多元函數的連續性四、小結第八章多元函數微分法及其應用一、多元函數的概念（1）鄰域回憶（1）鄰域一、多元函數的概念°°（2）區域例如，即為開集．內點.內點：開集：開集.邊界點：邊界點.連通：連通的.開區域：連通的開集稱為區域或開區域．例如，例如，閉區域：對于點集E，如果存在正數K，使一切點P∈E

與某一點A間的距離|AP|不超過K，即對于一切點P∈E成立，則稱E為有界點集。否則稱為無界點集.有界閉區域；無界開區域．例如，（3））聚點點（1））內點一一定是是聚點點；說明：：（2））邊界點點可能能是聚聚點；；例如，，(0,0)既是邊界點點也是是聚點點．補充（3））點集E的聚點點可以以屬于于E，也可可以不不屬于于E．例如,(0,0)是聚點點但不不屬于于集合合．例如,邊界上上的點點都是是聚點點也都都屬于于集合合．（1）內點一定是聚點；說明：（2）邊界點可能是聚點；例如，(0,0)既是邊界點也是聚點．（4））n維空間間實數x一一對應數軸點點.數組(x,y)實數全全體表表示直直線(一維維空間間)一一對應平面面點點(x,y)全全體體表表示示平平面面(二二維維空空間間)數組組(x,y,z)一一對應空間間點點(x,y,z)全全體體表表示示空空間間(三三維維空空間間)推廣廣：n維數數組組(x1,x2,……,xn)全體體稱稱為為n維空空間間，記記為為n維空空間間中中兩兩點點間間距離離公公式式設兩兩點點為為特殊殊地地，，當當n=1,2,3時，，便便為為數數軸軸、、平平面面、、空空間間兩兩點間間的的距距離離．．n維空空間間中中鄰域域概念念：：區域域、、內內點點、、邊邊界界點點、、區區域域、、聚聚點點等等概概念念也也可可定定義義．．（5））二二元元函函數數的的定定義義回憶憶點集集D---定義義域域，---值域域.x、y---自變變量量，z---因變變量量.類似似地地可可定定義義三三元元及及三三元元以以上上函函數數．．點集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數數的的兩個個要要素素:定義義域域、、對對應應法法則則.與一一元元函函數數相相類類似似，，對對于于定定義義域域約定定：定義義域域是是自自變變量量所所能能取取的的使使算算式式有有意意義義的的一一切切點點集集.例1求的定義域．解所求求定定義義域域為為（6）二元函數的圖形（如如下下頁頁圖圖））二元元函函數數的的圖圖形形通通常常是是一一張張曲曲面面.例如如,圖形形如如右右圖圖.例如如,左圖圖球球面面.單值值分分支支:二、、多多元元函函數數的的極極限限利用用點點函函數數的的形形式式有有說明明：：（1）定義中的方式是任意的；（2））二二元元函函數數的的極極限限也也叫叫二重重極極限限（3））二二元元函函數數的的極極限限運運算算法法則則與與一一元元函函數數類類似似．．（4））二二重重極極限限的的幾何何意意義義：>0，，P0的去去心心鄰域域oU(P0,)。在oU(P0,)內，，函函數數的圖圖形形總總在在平平面面及之間間。。例2求證證證當時，原結結論論成成立立．．注意：是指

P以任何方式趨于P0.一元元中中多元元中中確定定極極限限不存存在在的方法法：例3設解但取取其值值隨隨k的不不同同而而變變化化。。不存存在在．．故例4求解例5求極極限限解其中中三、、多多元元函函數數的的連連續續性性定義義3定義義3′′注意意：二二元元函函數數可可能能在在某某些些孤孤立立點點處處間間斷斷，，也也可可能能在曲曲線線上上的的所所有有點點處處均均間間斷斷。。例如如，，因此此，，多元元初初等等函函數數：由多多元元多多項項式式及及基基本本初初等等函函數數經經過過有有限限次次的的四四則運運算算和和復復合合步步驟驟所所構構成成的的可可用用一一個個式式子子所所表表示的的多多元元函函數數叫叫多元元初初等等函函數數。一切切多多元元初初等等函函數數在在其其定定義義區區域域內內是是連連續續的的．．定義義區區域域是指指包包含含在在定定義義域域內內的的區區域域或或閉閉區區域域．．在定義義區區域域內內的的連續續點點求求極極限限可可用用““代入入法法”：：例6求極極限限解是多多元元初初等等函函數數。。定義義域域：：于是是，，（不不連連通通））例７７解閉區區域域上上連連續續函函數數的的性性質質在有有界界閉閉區區域域D上的的多多元元連連續續函函數數，，在在D上至少少取取得得它它的的最最大大值值和和最最小小值值各各一一次次．．在有有界界閉閉區區域域D上的的多多元元連連續續函函數數，，如如果果在在D上取取得得兩兩個個不不同同的的函函數數值值，，則則它它在在D上取取得介介于于這這兩兩值值之之間間的的任任何何值值至至少少一一次次．．（1））最大大值值和和最最小小值值定定理理（2））介值值定定理理四、、小小結結多元元函函數數極極限限的的概概念念多元元函函數數連連續續的的概概念念閉區區