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文檔簡介

對于方陣，設Aij表示元素aij的代數余子式，稱矩陣為A的伴隨矩陣。定義3.2（伴隨矩陣的定義）請驗證3.3行列式的應用方陣A可逆的充分必要條件是，時，其逆矩陣，其中A*為A的伴隨矩陣。定理3.4且當A可逆說明1

該定理不僅可以用來判別方陣可逆，同時也提供了求逆矩陣的計算公式。說明2當時，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣。證明必要性設方陣A可逆，則存在A-1，使對上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得所以充分性所以A可逆，且設，由行列式展開定理方陣A可逆的充分必要條件是，時，其逆矩陣，其中A*為A的伴隨矩陣。定理3.4且當A可逆討論矩陣何時可逆，且求其逆矩陣。A可逆的充分必要條件為例3.12解求A的逆矩陣例3.13解設例3.14證明證明A可逆的充要條件是并求其逆。設A，B均為n階方陣，證明AB可逆的充分必要條件是A，B均可逆。若A，B均可逆，則從而因此AB可逆。

反之，若AB可逆，則從而因此A、B可逆。

例3.15證明有唯一解解的分量為定理3.5克萊姆法則注通常把解的分量表達式叫做克萊姆法則。設，則線性方程組其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數行列式D中第

j列換成向量b而得到的行列式。可知A可逆，且方程組有惟一解，其解為由系數矩陣的行列式即證明比較左右兩邊矩陣的j行,得設的線性方程組的系數行列式Cramer法則則方程組有唯一解,且解為:推論3.4設齊次線性方程組Ax=0，如果系數矩陣行列式則方程組Ax=0只有零解。

系數行列式按第3行展開當時，齊次方程組有非零解。當為何值時，齊次方程組有非零解？

例3.17解問a,b為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多解時，求出其通解。已知方程組

系數矩陣是方陣首選行列式法例3.18解當a≠1時，方程組有唯一解；a=1當時，方程組無解。當時，方程組有無窮多解。當a=1時，方程組可能無解也可能有無窮多解，需討論。通解為定義3.3（n階行列式的逆序數定義）其中，是自然數1，2，…，n的一個排列；是對所有這樣的排列求和，共有項；是排列的逆序數，其定義為：在一個排列中，如果，則稱出現一個逆序，一個排列中出現逆序的總數稱為這個排列的逆序數。例如因此解根據行列式的逆序數定義，能夠出現x4，x3的項只有設例3.19問f(x)中x4，x3系數分別是多少？和故所以，x4，x3的系數分別為1，-4。所以根為x=

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