專題方程與不等式一．選擇題（共15小題）1．利用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（）A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×3+②×（﹣5）C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×22．若關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，則a的取值范圍是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥13．a，b，c為常數，且（a﹣c）2＞a2+c2，則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．無實數根 D．有一根為04．某服裝進貨價80元/件，標價為200元/件，商店將此服裝打x折銷售后仍獲利50%，則x為（）A．5 B．6 C．7 D．85．某車間有27名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的產品，每人每天生產螺母16個或螺栓22個，若分配x名工人生產螺栓，其他工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（）A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x） C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x）6．在解方程時，方程兩邊同時乘以6，去分母后，正確的是（）A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）7．一個長方形的周長為30cm，若這個長方形的長減少1cm，寬增加2cm就可成為一個正方形，設長方形的長為xcm，可列方程為（）A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+28．某商品每件的標價是330元，按標價的八折銷售時，仍可獲利10%，則這種商品每件的進價為（）A．240元 B．250元 C．280元 D．300元9．“雙11”促銷活動中，小芳的媽媽計劃用1000元在唯品會購買價格分別為80元和120元的兩種商品，則可供小芳媽媽選擇的購買方案有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種10．小明到商店購買“五四青年節”活動獎品，購買20只鉛筆和10本筆記本共需110元，但購買30支鉛筆和5本筆記本只需85元，設每支鉛筆x元，每本筆記本y元，則可列方程組（）A． B．C． D．11．已知方程組的解滿足x﹣y=3，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣112．已知關于x，y的二元一次方程組的解為，則a﹣2b的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣313．已知x，y滿足方程組，則x+y的值為（）A．9 B．7 C．5 D．314．甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數相同，已知甲隊比乙隊每天多修10m．設甲隊每天修路xm，依題意，下面所列方程正確的是（）A．= B．= C．= D．=15．為響應承辦“綠色奧運”的號召，九年級（1）班全體師生義務植樹300棵．原計劃每小時植樹x棵，但由于參加植樹的全體師生植樹的積極性高漲，實際工作效率提高為原計劃的1.2倍，結果提前20分鐘完成任務．則下面所列方程中，正確的是（）A． B．C． D．二．填空題（共6小題）16．已知：派派的媽媽和派派今年共36歲，再過5年，派派的媽媽的年齡是派派年齡的4倍還大1歲，當派派的媽媽40歲時，則派派的年齡為歲．17．已知是方程組的解，則a2﹣b2=．18．已知x=1是關于x的方程ax2﹣2x+3=0的一個根，則a=．19．方程﹣=1的解為x=．20．若關于x的分式方程+3=無解，則實數m=．21．不等式組的解集是．三．解答題（共19小題）22．嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時，對于b2﹣4ac＞0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法從第步開始出現錯誤；事實上，當b2﹣4ac＞0時，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．23．老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了如圖所示的一個二次三項式，形式如圖：（1）求所捂的二次三項式；（2）若x=+1，求所捂二次三項式的值．24．某廠按用戶的月需求量x（件）完成一種產品的生產，其中x＞0，每件的售價為18萬元，每件的成本y（萬元）是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量x（件）成反比，經市場調研發現，月需求量x與月份n（n為整數，1≤n≤12），符合關系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k為常數），且得到了表中的數據．月份n（月）12成本y（萬元/件）1112需求量x（件/月）120100（1）求y與x滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元；（2）求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；（3）在這一年12個月中，若第m個月和第（m+1）個月的利潤相差最大，求m．25．某商場服裝部銷售一種名牌襯衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．為了擴大銷售，減少庫存，商場決定降價銷售，經調查，每件降價1元時，平均每天可多賣出2件．（1）若商場要求該服裝部每天盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）試說明每件襯衫降價多少元時，商場服裝部每天盈利最多．26．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始，沿AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發：（1）幾秒后四邊形APQC的面積是31平方厘米；（2）若用S表示四邊形APQC的面積，在經過多長時間S取得最小值？并求出最小值．27．學校“百變魔方”社團準備購買A，B兩種魔方，已知購買2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購買3個A種魔方和4個B種魔方所需款數相同．（1）求這兩種魔方的單價；（2）結合社員們的需求，社團決定購買A，B兩種魔方共100個（其中A種魔方不超過50個）．某商店有兩種優惠活動，如圖所示．請根據以上信息，說明選擇哪種優惠活動購買魔方更實惠．28．某地新建的一個企業，每月將生產1960噸污水，為保護環境，該企業計劃購置污水處理器，并在如下兩個型號中選擇：污水處理器型號A型B型處理污水能力（噸/月）240180已知商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元，售出的1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元．（1）求每臺A型、B型污水處理器的價格；（2）為確保將每月產生的污水全部處理完，該企業決定購買上述的污水處理器，則他們至少要支付多少錢？29．近年來霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響，空氣質量問題倍受人們關注．某單位計劃在室內安裝空氣凈化裝置，需購進A、B兩種設備．每臺B種設備價格比每臺A種設備價格多0.7萬元，花3萬元購買A種設備和花7.2萬元購買B種設備的數量相同．（1）求A種、B種設備每臺各多少萬元？（2）根據單位實際情況，需購進A、B兩種設備共20臺，總費用不高于15萬元，求A種設備至少要購買多少臺？30．某大型快遞公司使用機器人進行包裹分揀，若甲機器人工作2h，乙機器人工作4h，一共可以分揀700件包裹；若甲機器人工作3h，乙機器人工作2h，一共可以分揀650件包裹．（1）求甲、乙兩機器人每小時各分揀多少件包裹；（2）“雙十一”期間，快遞公司的業務量猛增，要讓甲、乙兩機器人每天分揀包裹的總數量不低于2250件，它們每天至少要一起工作多少小時？31．根據要求，解答下列問題：①方程x2﹣2x+1=0的解為；②方程x2﹣3x+2=0的解為；③方程x2﹣4x+3=0的解為；…（2）根據以上方程特征和其解的特征，請猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解為；②關于x的方程的解為x1=1，x2=n．（3）請用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以驗證猜想結論的正確性．32．解方程：﹣=5．33．解方程：．34．解方程組：．35．解二元一次方程組：．36．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．37．解分式方程：﹣=．38．解方程：+2=．39．解不等式組．40．解不等式組，并將它的解集在數軸上表示出來．專題方程與不等式參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．利用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（）A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×3+②×（﹣5）C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×2【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：利用加減消元法解方程組，要消去x，可以將①×（﹣5）+②×2．故選：D．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．2．若關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，則a的取值范圍是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1【分析】根據根的判別式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．3．a，b，c為常數，且（a﹣c）2＞a2+c2，則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．無實數根 D．有一根為0【分析】利用完全平方的展開式將（a﹣c）2展開，即可得出ac＜0，再結合方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出結論．【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根．故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式以和根的判別式，解題的關鍵是找出△=b2﹣4ac＞0．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的判別式的符號，得出方程實數根的個數是關鍵．4．某服裝進貨價80元/件，標價為200元/件，商店將此服裝打x折銷售后仍獲利50%，則x為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據利潤=售價﹣進價，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：根據題意得：200×﹣80=80×50%，解得：x=6．故選：B．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，根據利潤=售價﹣進價，列出關于x的一元一次方程是解題的關鍵．5．某車間有27名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的產品，每人每天生產螺母16個或螺栓22個，若分配x名工人生產螺栓，其他工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（）A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x） C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x）【分析】設分配x名工人生產螺栓，則（27﹣x）名生產螺母，根據每天生產的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【解答】解：設分配x名工人生產螺栓，則（27﹣x）名生產螺母，∵一個螺栓套兩個螺母，每人每天生產螺母16個或螺栓22個，∴可得2×22x=16（27﹣x）．故選：D．【點評】本題考查了根據實際問題抽象一元一次方程，要保證配套，則生產的螺母的數量是生產的螺栓數量的2倍，所以列方程的時候，應是螺栓數量的2倍=螺母數量．6．在解方程時，方程兩邊同時乘以6，去分母后，正確的是（）A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）【分析】方程兩邊同時乘以6，化簡得到結果，即可作出判斷．【解答】解：方程兩邊同時乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故選：B．【點評】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數系數化為1，求出解．7．一個長方形的周長為30cm，若這個長方形的長減少1cm，寬增加2cm就可成為一個正方形，設長方形的長為xcm，可列方程為（）A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2【分析】根據長方形的周長公式，表示出長方形的寬，再由正方形的四條邊都相等得出等式即可．【解答】解：∵長方形的長為xcm，長方形的周長為30cm，∴長方形的寬為（15﹣x）cm，∵這個長方形的長減少1cm，寬增加2cm就可成為一個正方形，∴x﹣1=15﹣x+2，故選：D．【點評】本題考查了有實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是表示出長方形的寬．8．某商品每件的標價是330元，按標價的八折銷售時，仍可獲利10%，則這種商品每件的進價為（）A．240元 B．250元 C．280元 D．300元【分析】設這種商品每件的進價為x元，則根據按標價的八折銷售時，仍可獲利l0%，可得出方程，解出即可．【解答】解：設這種商品每件的進價為x元，由題意得：330×0.8﹣x=10%x，解得：x=240，即這種商品每件的進價為240元．故選：A．【點評】此題考查了一元一次方程的應用，屬于基礎題，解答本題的關鍵是根據題意列出方程，難度一般．9．“雙11”促銷活動中，小芳的媽媽計劃用1000元在唯品會購買價格分別為80元和120元的兩種商品，則可供小芳媽媽選擇的購買方案有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【分析】設購買80元的商品數量為x，購買120元的商品數量為y，根據總費用是1000元列出方程，求得正整數x、y的值即可．【解答】解：設購買80元的商品數量為x，購買120元的商品數量為y，依題意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因為x是正整數，所以當x=2時，y=7．當x=5時，y=5．當x=8時，y=3．當x=11時，y=1．即有4種購買方案．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程的應用．對于此類問題，挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出二元一次方程．然后根據未知數的實際意義求其整數解．10．小明到商店購買“五四青年節”活動獎品，購買20只鉛筆和10本筆記本共需110元，但購買30支鉛筆和5本筆記本只需85元，設每支鉛筆x元，每本筆記本y元，則可列方程組（）A． B．C． D．【分析】設每支鉛筆x元，每本筆記本y元，根據購買20只鉛筆和10本筆記本共需110元，但購買30支鉛筆和5本筆記本只需85元可列出方程組．【解答】解：設每支鉛筆x元，每本筆記本y元，根據題意得．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組．11．已知方程組的解滿足x﹣y=3，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】將方程組中兩方程相減可得x﹣y=1﹣k，根據x﹣y=3可得關于k的方程，解之可得．【解答】解：，②﹣①，得：x﹣y=1﹣k，∵x﹣y=3，∴1﹣k=3，解得：k=﹣2，故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的解：同時滿足二元一次方程組的兩個方程的未知數的值叫二元一次方程組的解．也考查了整體思想的運用．12．已知關于x，y的二元一次方程組的解為，則a﹣2b的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【分析】把代入方程組，得出關于a、b的方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：把代入方程組得：，解得：，所以a﹣2b=﹣2×（﹣）=2，故選：B．【點評】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，能得出關于a、b的方程組是解此題的關鍵．13．已知x，y滿足方程組，則x+y的值為（）A．9 B．7 C．5 D．3【分析】方程組兩方程相加求出x+y的值即可．【解答】解：，①+②得：4x+4y=20，則x+y=5，故選：C．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．14．甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數相同，已知甲隊比乙隊每天多修10m．設甲隊每天修路xm，依題意，下面所列方程正確的是（）A．= B．= C．= D．=【分析】設甲隊每天修路xm，則乙隊每天修（x﹣10）米，再根據關鍵語句“甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數相同”可得方程=．【解答】解：設甲隊每天修路xm，依題意得：=，故選：A．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．15．為響應承辦“綠色奧運”的號召，九年級（1）班全體師生義務植樹300棵．原計劃每小時植樹x棵，但由于參加植樹的全體師生植樹的積極性高漲，實際工作效率提高為原計劃的1.2倍，結果提前20分鐘完成任務．則下面所列方程中，正確的是（）A． B．C． D．【分析】關鍵描述語為：提前20分鐘完成任務；等量關系為：原計劃用的時間﹣提前的時間=實際用的時間．【解答】解：原計劃植樹用的時間應該表示為，而實際用的時間為．則方程可表示為．故選：A．【點評】列方程解應用題的關鍵步驟在于找相等關系．找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．本題要注意時間的單位的統一．二．填空題（共6小題）16．已知：派派的媽媽和派派今年共36歲，再過5年，派派的媽媽的年齡是派派年齡的4倍還大1歲，當派派的媽媽40歲時，則派派的年齡為12歲．【分析】設今年派派的年齡為x歲，則媽媽的年齡為（36﹣x）歲，根據再過5年派派的媽媽的年齡是派派年齡的4倍還大1歲，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，將其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年齡差，再用40減去該年齡差即可求出當派派的媽媽40歲時派派的年齡．【解答】解：設今年派派的年齡為x歲，則媽媽的年齡為（36﹣x）歲，根據題意得：36﹣x+5=4（x+5）+1，解得：x=4，∴36﹣x﹣x=28，∴40﹣28=12（歲）．故答案為：12．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，根據再過5年派派的媽媽的年齡是派派年齡的4倍還大1歲，列出關于x的一元一次方程是解題的關鍵．17．已知是方程組的解，則a2﹣b2=1．【分析】根據是方程組的解，可以求得a+b和a﹣b的值，從而可以解答本題．【解答】解：∵是方程組的解，∴，解得，①﹣②，得a﹣b=，①+②，得a+b=﹣5，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，故答案為：1．【點評】本題考查二元一次方程組的解，解答本題的關鍵是明確二元一次方程組的解得意義，巧妙變形，利用平方差公式解答．18．已知x=1是關于x的方程ax2﹣2x+3=0的一個根，則a=﹣1．【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x=1代入方程得到關于a的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把x=1代入方程，得a﹣2+3=0，解得a=﹣1．故答案為﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．19．方程﹣=1的解為x=﹣2．【分析】先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：方程兩邊都除以（x+1）（x﹣1）得：2﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得：x=﹣2或1，經檢驗x=1不是原方程的解，x=﹣2是原方程的解，故答案為：﹣2．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．20．若關于x的分式方程+3=無解，則實數m=3或7．【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理，得（m﹣3）x=4，當整式方程無解時，m﹣3=0，m=3；當整式方程的解為分式方程的增根時，x=1，∴m﹣3=4，m=7，∴m的值為3或7．故答案為3或7．【點評】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內容．21．不等式組的解集是﹣1＜x≤3．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤3．故不等式組的解集為﹣1＜x≤3．故答案為：﹣1＜x≤3．【點評】考查了解一元一次不等式組，解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．三．解答題（共19小題）22．嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時，對于b2﹣4ac＞0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法從第四步開始出現錯誤；事實上，當b2﹣4ac＞0時，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【分析】第四步，開方時出錯；把常數項24移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣2的一半的平方．【解答】解：在第四步中，開方應該是x+=±．所以求根公式為：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移項，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，開方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0，然后配方．23．老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了如圖所示的一個二次三項式，形式如圖：（1）求所捂的二次三項式；（2）若x=+1，求所捂二次三項式的值．【分析】（1）根據題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；（2）把x的值代入計算即可求出值．【解答】解：（1）設所捂的二次三項式為A，根據題意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；（2）當x=+1時，原式=7+2﹣2﹣2+1=6．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．24．某廠按用戶的月需求量x（件）完成一種產品的生產，其中x＞0，每件的售價為18萬元，每件的成本y（萬元）是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量x（件）成反比，經市場調研發現，月需求量x與月份n（n為整數，1≤n≤12），符合關系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k為常數），且得到了表中的數據．月份n（月）12成本y（萬元/件）1112需求量x（件/月）120100（1）求y與x滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元；（2）求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；（3）在這一年12個月中，若第m個月和第（m+1）個月的利潤相差最大，求m．【分析】（1）設y=a+，將表中相關數據代入可求得a、b，根據12=18﹣（6+），則=0可作出判斷；（2）將n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+求得x=50，根據50=2n2﹣26n+144可判斷；（3）第m個月的利潤W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）個月的利潤為W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情況作差結合m的范圍，由一次函數性質可得．【解答】解：（1）由題意，設y=a+，由表中數據可得：，解得：，∴y=6+，由題意，若12=18﹣（6+），則=0，∵x＞0，∴＞0，∴不可能；（2）將n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，解得：k=13，∴x=2n2﹣26n+144，將n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，∴k=13；由題意，得：18=6+，解得：x=50，∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，∴方程無實數根，∴不存在；（3）第m個月的利潤為W，W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+）=12（x﹣50）=24（m2﹣13m+47），∴第（m+1）個月的利潤為W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；若W＜W′，W′﹣W=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值240；∴m=1或11．【點評】本題主要考查二次函數的應用，理解題意準確梳理所涉變量，并熟練掌握待定系數法求函數解析式、利潤的相等關系列出解析式是解題的關鍵．25．某商場服裝部銷售一種名牌襯衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．為了擴大銷售，減少庫存，商場決定降價銷售，經調查，每件降價1元時，平均每天可多賣出2件．（1）若商場要求該服裝部每天盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）試說明每件襯衫降價多少元時，商場服裝部每天盈利最多．【分析】（1）本題的關鍵語“每件降價1元時，平均每天可多賣出2件”，設每件應降價x元，用x來表示出商場所要求的每件盈利的數額量，然后根據盈利1200元來列出方程；（2）根據（1）中的方程，然后按一元二次方程的特點，來求出最大值．【解答】解：（1）設每件應降價x元，由題意可列方程為（40﹣x）?（30+2x）=1200，解得x1=0，x2=25，當x=0時，能賣出30件；當x=25時，能賣出80件．根據題意，x=25時能賣出80件，符合題意，不降價也能盈利1200元，符合題意．因為要減少庫存，所以應降價25元．答：每件襯衫應降價25元；（2）設商場每天盈利為W元．W=（40﹣x）（30+2x）=﹣2x2+50x+1200=﹣2（x2﹣25x）+1200=﹣2（x﹣12.5）2+1512.5．當每件襯衫降價為12.5元時，商場服裝部每天盈利最多，為1512.5元．【點評】本題要讀清題意，根據題目給出的關鍵語來列出方程．26．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始，沿AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發：（1）幾秒后四邊形APQC的面積是31平方厘米；（2）若用S表示四邊形APQC的面積，在經過多長時間S取得最小值？并求出最小值．【分析】（1）設經過x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，根據面積為31列出方程，求出方程的解即可得到結果；（2）根據題意列出S關于x的函數關系式，利用函數的性質來求最值．【解答】解：（1）設經過x秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米，根據題意得：BP?BQ=AB?BC﹣31，即（6﹣x）?2x=×6×12﹣31，整理得（x﹣1）（x﹣5）=0，解得：x1=1，x2=5．答：經過1或5秒鐘，可使得四邊形APQC的面積是31平方厘米；（2）依題意得，S四邊形APQC=S△ABC﹣S△BPQ，即S=AB?BC﹣BP?BQ=×6×12﹣（6﹣x）?2x=（x﹣3）2+27（0＜x＜6），當x﹣3=0，即x=3時，S最小=27．答：經過3秒時，S取得最小值27平方厘米．【點評】此題考查了一元二次方程的應用、二次函數的性質，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．27．學校“百變魔方”社團準備購買A，B兩種魔方，已知購買2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購買3個A種魔方和4個B種魔方所需款數相同．（1）求這兩種魔方的單價；（2）結合社員們的需求，社團決定購買A，B兩種魔方共100個（其中A種魔方不超過50個）．某商店有兩種優惠活動，如圖所示．請根據以上信息，說明選擇哪種優惠活動購買魔方更實惠．【分析】（按買3個A種魔方和買4個B種魔方錢數相同解答）（1）設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據“購買2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購買3個A種魔方和4個B種魔方所需款數相同”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進A種魔方m個（0＜m≤50），總價格為w元，則購進B種魔方（100﹣m）個，根據兩種活動方案即可得出w活動一、w活動二關于m的函數關系式，再分別令w活動一＜w活動二、w活動一=w活動二和w活動一＞w活動二，解出m的取值范圍，此題得解．（按購買3個A種魔方和4個B種魔方需要130元解答）（1）設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據“購買2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購買3個A種魔方和4個B種魔方所需款數相同”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進A種魔方m個（0＜m≤50），總價格為w元，則購進B種魔方（100﹣m）個，根據兩種活動方案即可得出w活動一、w活動二關于m的函數關系式，再分別令w活動一＜w活動二、w活動一=w活動二和w活動一＞w活動二，解出m的取值范圍，此題得解．【解答】（按買3個A種魔方和買4個B種魔方錢數相同解答）解：（1）設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據題意得：，解得：．答：A種魔方的單價為20元/個，B種魔方的單價為15元/個．（2）設購進A種魔方m個（0＜m≤50），總價格為w元，則購進B種魔方（100﹣m）個，根據題意得：w活動一=20m×