學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第3課時直線與平面垂直的判定學習目標1.理解直線與平面垂直的定義。2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能靈活應用判定定理證明直線與平面垂直．知識點一直線與平面垂直的定義定義如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α互相垂直記法a⊥α有關概念直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點P稱為垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸）．觀察折痕AD與桌面的位置關系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？答案當AD⊥BD且AD⊥CD時,折痕AD與桌面垂直．梳理文字語言如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面符號語言a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，?a⊥α圖形語言1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內的直線可能相交，可能異面，也可能平行．（×)2．若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α.（×）3．若a⊥b，b⊥α,則a∥α.（×)類型一線面垂直的定義例1下列命題中,正確的序號是________．①若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直；④過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．答案③④解析當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當l與α不垂直時,l可能與α內的無數條平行直線垂直,所以②不正確，③正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以④正確．故填③④.反思與感悟(1）直線和平面垂直的定義是描述性定義,對直線的任意性要注意理解．實際上，“任意一條”與“所有”表達相同的含義．當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直．（2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b。跟蹤訓練1設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面,則下列命題正確的是________．（填序號）①若l⊥m,m?α，則l⊥α;②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α,則l∥m.答案②解析對于①，直線l⊥m，m并不代表平面α內任意一條直線，所以不能判定線面垂直;對于②，因為l⊥α，則l垂直于α內任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故②正確;對于③，也有可能是l，m異面；對于④，l，m還可能相交或異面．類型二線面垂直的判定定理的應用eq\x（命題角度1證明線面垂直）例2如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過點A作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC。證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC。又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他條件不變，作AF⊥PB于點F，求證：PB⊥平面AEF.證明∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC,∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB,又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF。反思與感悟應用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決．跟蹤訓練2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點,O是底面正方形ABCD的中心，求證:OE⊥平面ACD1.證明連結BD，AE，CE，D1O,D1E，B1D1，設正方體的棱長為a，易證AE＝CE.∵AO＝OC，∴OE⊥AC。在正方體中易求出D1O＝eq\r(DD\o\al(2，1)＋DO2）＝eq\r（a2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2）,2）a))2）＝eq\f（\r（6），2)a，OE＝eq\r（BE2＋OB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2））)2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2），2）a))2）＝eq\f（\r（3)，2)a，D1E＝eq\r(D1B\o\al(2，1）＋B1E2)＝eq\r（\r（2）a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，2）））2)＝eq\f（3,2）a,∴D1O2＋OE2＝D1E2，∴D1O⊥OE?！逥1O∩AC＝O，D1O，AC?平面ACD1，∴OE⊥平面ACD1.eq\x（命題角度2證明線線垂直）例3如圖(1）,在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如圖（2）．（1）求證：DE∥平面A1CB；(2）求證：A1F⊥BE.證明（1)因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC。又因為DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,所以DE∥平面A1CB。（2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC。所以DE⊥A1D，DE⊥CD。所以DE⊥平面A1DC。而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F。又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE?平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE。反思與感悟線線垂直的證明，常用方法是利用線面垂直的定義證明，即欲證線線垂直，可先證線面垂直．跟蹤訓練3如圖所示,若MC⊥菱形ABCD所在的平面,求證:MA⊥BD。證明連結AC,因為ABCD是菱形,所以BD⊥AC。又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC。因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD。1．若一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，則能保證該直線與平面垂直的是_____．（填序號)①三角形的兩邊;②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．答案①③解析由線面垂直的判定定理可知,①③能判定直線與平面垂直;②中梯形的兩邊不一定相交，所以無法判定直線與平面垂直;④中正六邊形的兩邊不一定相交,所以無法判定直線與平面垂直．2．給出下列命題，其中正確命題的序號是________．①垂直于平面內任意一條直線的直線垂直于這個平面；②垂直于平面的直線垂直于這個平面內的任意一條直線；③過一點和已知平面垂直的直線只有一條;④過一點和已知直線垂直的平面只有一個．答案①②③④解析由直線與平面垂直的定義知,①②正確；③④顯然正確．3.如圖，平行四邊形ADEF的邊AF垂直于平面ABCD,AF＝2，CD＝3,則CE＝________.答案eq\r(13)解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝eq\r(DE2＋CD2）＝eq\r（22＋32)＝eq\r(13)。4．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD的形狀是________．答案菱形解析如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD。又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，則平行四邊形ABCD是菱形．5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2,BC＝2eq\r(2），E，F分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.證明如圖，連結PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA＝AB＝CD,AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點，所以EF⊥PC.因為BP＝eq\r（AP2＋AB2)＝2eq\r（2）＝BC，又F是PC的中點，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．線線垂直和線面垂直的相互轉化2．證明線面垂直的方法（1)線面垂直的定義．（2)線面垂直的判定定理．（3)如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面．（4）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．3．直線與平面垂直的性質定理是平行關系與垂直關系的完美結合，利用垂直關系可判斷平行，反過來由平行關系也可判定垂直，即兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面．一、填空題1．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是________．(填序號)①m⊥b，m⊥c，b⊥α,c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α;④m∥b，b⊥α.答案④解析由線線平行及線面垂直的判定知④正確．2．如圖(1），在正方形SG1G2G3中，E，F分別是邊G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個如圖(2)所示的幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，則下面結論成立的是________．(填序號）①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF。答案①解析在圖（1)中，SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,因此在圖（2)中，SG⊥GE,SG⊥GF。又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG。3．已知ABCD—A1B1C1D1為正方體，下列結論正確的是________．（填序號）①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1；④AC1⊥BD1.答案①②③解析正方體中由BD∥B1D1，易知①正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即②正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．故填①②③。4.如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M為線段BB1上的一動點，則直線AM與直線BC的位置關系為________．答案AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC。又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM?平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直線l，m，n與平面α，給出下列說法：①若l⊥α，則l與α相交;②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m⊥α,n⊥α,則l∥n；④若m∥n,n?α，則m∥α.其中正確的說法為________．(填序號)答案①③解析由l⊥α，得l與α相交，所以①正確；若m?α，n?α,l⊥m,l⊥n，因為m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正確；由m⊥α,n⊥α,可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正確；由m∥n，n?α，得m∥α或m?α，所以④不正確．6。如圖所示，PA⊥平面ABC,在△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________．答案4解析∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC，∴PA⊥BC。又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC，△PBC，共4個．7.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面,C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角答案2解析因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在Rt△PAC中,AC＝eq\f（1,2）AB＝eq\f(1，2)PA,所以tan∠PCA＝eq\f（PA,AC)＝2.8．在三棱錐P－ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC,PC⊥PB，則定點P在底面上的投影是底面△ABC________心．考點直線與平面垂直的判定題點三角形的四心答案垂解析設O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P,∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC。①又∵O是P在底面ABC上的投影,∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC。②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC,∴O是△ABC的垂心．9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M,N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______。答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°。10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，當底面A1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1。（注：填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況)答案A1C1⊥B1C1(答案不唯一）解析如圖所示,連結B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此,要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件,如∠A1C1B1＝90°等）11．在正四棱錐P—ABCD中，PA＝eq\f（\r(3），2）AB，M是BC的中點，G是△PAD的重心，則在平面PAD中經過G點且與直線PM垂直的直線有________條．答案無數解析設正四棱錐的底面邊長為a,則側棱長為eq\f(\r（3),2）a.∵PM⊥BC，∴PM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a）)2－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,2）))2）＝eq\f(\r（2),2）a.連結PG并延長與AD相交于N點，則PN＝eq\f（\r(2），2）a,MN＝AB＝a.∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN.∵AD∥BC,∴PM⊥AD，又PN∩AD＝N,∴PM⊥平面PAD，∴在平面PAD中經過G點的任意一條直線都與PM垂直．二、解答題12.如圖,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r（2），AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3.證明:BE⊥平面BB1C1C.證明過點B作CD的垂線交CD于點F，則BF＝AD＝eq\r（2）,EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝eq\r(3）,在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6）.在△BEC中，因為BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC。又由BB1⊥平面ABCD,得BE⊥BB1,且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C。13。如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面,E，F分別是AB，PC的中點,PA＝AD.求證:(1）CD⊥PD;（2）EF⊥平面PCD。證明(1）因為PA⊥底面ABCD，所以CD⊥PA。又在矩形ABCD中,CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD。(2)取PD的中點G,連結AG,FG.因為底面ABCD是矩形，E,F分別是AB，PC的中點,所以GF綊eq\f（1,2)CD，所以GF綊AE，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以AG∥EF。因為PA＝AD，G是PD的中點,所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，由(1）知，CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.因為PD∩CD＝D,所以EF⊥平面PCD。三、探究與拓展14．設三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中點,則PA＝PB＝PC。其中正確命題的序號是