學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精初中、高中銜接課知識點一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)（a－b)＝a2－b2。（2）立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3。(3)立方和公式：（a＋b)（a2－ab＋b2）＝a3＋b3.(4)完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三數和平方公式：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。（6）完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.例1計算：（x＋1)（x－1）(x2－x＋1）（x2＋x＋1)．解方法一原式＝（x2－1)［（x2＋1）2－x2］＝(x2－1）（x4＋x2＋1)＝x6－1.方法二原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）(x2＋x＋1）＝(x3＋1)（x3－1)＝x6－1.練習1分解因式：2x3－x－1。解2x3－x－1＝2x3－2＋1－x＝2(x－1)（x2＋x＋1)－(x－1)＝(x－1）［2（x2＋x＋1）－1]＝（x－1)（2x2＋2x＋1）．知識點二二次根式(1)定義：一般地，形如eq\r（a）(a≥0）的代數式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式．(2)二次根式eq\r(a2)的意義:eq\r（a2）＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0,，－a，a〈0.))(3)分母(子）有理化：①定義:把分母(子）中的根號化去，叫做分母(子）有理化．為了進行分母（子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式．②方法:（?。┓帜赣欣砘姆椒ㄊ欠帜负头肿佣汲艘苑帜傅挠欣砘蚴剑シ帜钢械母柕倪^程；（ⅱ）分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號的過程．例2化簡：eq\r(3－2\r(2)）。解eq\r（3－2\r（2））＝eq\r（2－2\r(2）＋1)＝eq\r（\r（2）2－2\r（2）＋12）＝eq\r(\r(2）－12)＝｜eq\r（2)－1|，∵eq\r（2）－1〉0，∴原式＝eq\r(2)－1.練習2化簡：eq\r(5－2\r(6）)。解eq\r(5－2\r（6）)＝eq\r（\r（3)2－2\r(2）·\r(3)＋\r（2）2）＝eq\r（\r（3)－\r(2）2)＝eq\r(3)－eq\r（2)。例3計算：(16＋6eq\r（5）)÷（3＋eq\r（5)）．解原式＝eq\f(16＋6\r（5）3－\r(5)，3＋\r(5）3－\r(5））＝eq\f（48－16\r（5）＋18\r(5）－30,4)＝eq\f(9＋\r(5），2）.練習3計算：eq\f（1,\r（2）＋\r(3))＋eq\f(1，\r(3）＋\r（4））＋…＋eq\f（1，\r(7）＋\r(8)）。解∵eq\f（1，\r（2）＋\r(3）)＝eq\f（\r（3）－\r（2)，\r(2)＋\r（3)\r(3）－\r（2））＝eq\f（\r(3)－\r（2）,\r（3）2－\r(2）2)＝eq\r(3)－eq\r(2).類似地，eq\f(1,\r(3）＋\r（4)）＝eq\r（4）－eq\r（3)，…，∴原式＝(eq\r(3)－eq\r（2））＋（eq\r（4）－eq\r（3))＋（eq\r(5)－eq\r(4)）＋…＋（eq\r(8）－eq\r(7)）＝eq\r(8）－eq\r（2)＝2eq\r(2）－eq\r（2)＝eq\r（2)。知識點三因式分解的常用方法(1）十字相乘法:十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項系數，即運用乘法公式(x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab的逆運算進行因式分解．（2）提取公因式法：當多項式的各項有公因式時，可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積形式的方法．(3）公式法:把乘法公式反過來用，把某些多項式因式分解的方法．（4)求根法：若關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數根是x1，x2，則二次三項式ax2＋bx＋c（a≠0）就可分解為a（x－x1）（x－x2）．（5）試根法：對于簡單的高次因式，可以通過先試根再分解的方法分解因式．如2x3－x－1，試根知x＝1為2x3－x－1＝0的根，通過拆項，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式．例4分解因式：(1)x2－3x＋2；（2)x2＋4x－12；（3）x2－（a＋b)xy＋aby2；（4）xy－1＋x－y。解(1）如圖①，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個式子乘積的和為－3x,就是x2－3x＋2中的一次項，所以，x2－3x＋2＝(x－1）(x－2)．說明:今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖①中的兩個x用1來表示（如圖②所示）．（2）由圖③，得x2＋4x－12＝（x－2）(x＋6)．(3)由圖④,得x2－(a＋b）xy＋aby2＝（x－ay）(x－by）．(4)xy－1＋x－y＝xy＋（x－y)－1＝(x－1）(y＋1）（如圖⑤所示)．練習4選用恰當的方法解下列一元二次方程:(1）x2＋x＝0;（2）x2＋6x＋9＝0;（3)x2－2x－15＝0；（4）ax2＋（a＋1)x＋1＝0(a≠0)．解(1）方程變為x（x＋1）＝0，解得x1＝0，x2＝－1.（2)方程變為（x＋3）2＝0,解得x＝－3。(3)方程變為（x＋3）(x－5）＝0，解得x1＝－3,x2＝5.(4）方程變為(ax＋1）(x＋1)＝0,解得x1＝－eq\f（1,a)，x2＝－1.知識點四一元二次方程與二次函數（1）配方法當a≠0時,y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(b，a）x））＋c＝aeq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(b,a)x＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(b，2a）)）2－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b，2a）)）2)）＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（b,2a)))2＋eq\f（4ac－b2,4a).①（2）由①式可得一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與性質.a〉0a<0圖象頂點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a)，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b，2a)x<－eq\f（b,2a）時，隨x增大y減小y增大x〉－eq\f(b，2a)時，隨x增大y增大y減小(3)判別式在①式中,令y＝0，即aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a）＝0，可得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(b，2a）)）2＝eq\f（b2－4ac，4a2)。當b2－4ac≥0時，才可開方解出x＝eq\f（－b±\r(b2－4ac），2a)。當b2－4ac〈0時，ax2＋bx＋c＝0無解．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ"來表示．(4）求根公式：當Δ>0時方程有兩個不相等的實數根x1,2＝eq\f(－b±\r（b2－4ac),2a)；當Δ＝0時,方程有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f（b，2a）;(5）根與系數的關系(韋達定理）如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1,x2,那么x1＋x2＝－eq\f（b,a)，x1x2＝eq\f(c,a）。這一關系也被稱為韋達定理．應用:若已知x1，x2是一元二次方程的兩個根，則可設一元二次方程為x2－(x1＋x2）x＋x1x2＝0;對應的一元二次函數設為f(x）＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2或f（x）＝(x－x1）（x－x2）．例5如圖，已知拋物線y＝－x2＋mx＋3與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3,0）．（1)求m的值及拋物線的頂點坐標；（2)解方程－x2＋mx＋3＝0；（3）當x取哪些值時，y>0?解（1）把點B的坐標(3,0）代入拋物線y＝－x2＋mx＋3,得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，所以y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1）2＋4,所以頂點坐標為(1，4)．（2)方法一由（1)知m＝2，∴－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.得（x－3）（x＋1）＝0，∴x＝3或x＝－1.方法二由（1)知，A，B關于x＝1對稱，∴當B為(3，0)時,A(－1,0)．∴方程－x2＋mx＋3＝0的根，即y＝－x2＋mx＋3中y＝0時對應點A，B的橫坐標，即－x2＋mx＋3＝0有2根x＝3或x＝－1。(3)由題圖知，當拋物線在x軸上方時，圖象上點的縱坐標大于0。這部分圖象上點的橫坐標介于A，B之間．∴當－1〈x〈3時，y>0。練習5判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數),若方程有實數根，寫出方程的實數根．(1）x2－ax－1＝0；(2）x2－ax＋(a－1）＝0；(3）x2－2x＋a＝0；解(1）Δ＝a2＋4〉0，所以方程有兩個不相等的實數根，解得x1＝eq\f(a－\r(a2＋4)，2)，x2＝eq\f(a＋\r（a2＋4）,2）。（2)因為Δ＝a2－4a＋4≥0，方程有實數根,方程變為(x－1)［x－（a－1）]＝0，解得x1＝1，x2＝a－1，當a＝2時，方程有兩個相等的實數根x＝1，當a≠2時,方程有兩個不相等的實數根x1＝1，x2＝a－1。（3)Δ＝4－4a，當a〉1時，Δ<0，方程無實數根;當a＝1時，Δ＝0，方程有兩個相等的實數根x＝1；當a〈1時，Δ〉0，方程有兩個不相等的實數根x1＝1－eq\r(1－a），x2＝1＋eq\r（1－a)。例6已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的兩個實數根，求下列式子．(1)x1＋x2;(2）(2x1－1)(2x2－1);(3)xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al(2，2)；(4)eq\f（1,x1）＋eq\f（1,x2).解（1）x1＋x2＝2.（2）（2x1－1)（2x2－1）＝4x1x2－2(x1＋x2)＋1＝4×（－1）－2×2＋1＝－7。（3)xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al(2，2)＝（x1＋x2）2－2x1x2＝22－2×（－1）＝4＋2＝6.（4）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2）＝eq\f(x1＋x2，x1x2)＝eq\f(2,－1）＝－2.練習6（1)若關于x的方程x2－x＋a－4＝0的一個根大于零,另一個根小于零，求實數a的取值范圍;(2)若關于x的方程x2＋x＋a＝0的一個根大于1，另一個根小于1，求實數a的取值范圍．解(1）設方程的兩個根為x1，x2，則