第2章復變函數的積分

復變函數積分理論是復變函數的核心內容，關于復變函數的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數積分的性質，并給出解析函數積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數理論的基礎，我們還將得到解析函數的導數仍然是解析函數這個重要的結論。第2章復變函數的積分復變函數積分理論是復變函1

2.1:復變函數的積分

2.2:柯西定理2.3:不定積分2.4:科西積分公式本章小節本章基本內容:2.1:復變函數的積分2.2:柯西定理2.3:2

重點內容:

(1)柯西定理(單、復連通區域);

(2)柯西積分公式(單、復連通,無界區域);

重點內容:

(1)柯西定理(單、復連通區域32.1復變函數的積分2.1.1復變函數積分的概念在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：2.1復變函數的積分2.1.1復變函數積分的概念4定義2.1.1有向曲線

在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：(1)如果曲線是開口弧段，若規定它的端點為起點，為終點，則沿曲線從到的方向為曲線的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為或.而由到的方向稱為的負方向（簡稱負向），負向曲線記為.第3章復變函數的積分課件5(2)如果是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向．(3)如果是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則的正方向這樣規定：當人沿曲線行走時，區域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向．(2)如果是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方向為正方6

定義2.1.2復變函數的積分

設函數在給定的光滑或逐段光滑曲線上有定義，且是以為起點，為終點的一條有向曲線，如圖2.1所示．把曲線任意分成n個小弧段，設分點依次為,在某小弧段上任意取一點，并作和其中定義2.1.2復變函數的積分7

則當n無限增大，且時，如果無論對L的分法及的取法如何，都有惟一的極限存在，那么稱這個極限值為函數沿曲線L的積分，記作，即

我們稱之為復變函數的積分，簡稱復積分．

8第3章復變函數的積分課件9

定義2.1.3閉合環路積分

當L為封閉曲線時，那么沿L的積分為，并稱為復變函數的閉合環路積分（簡稱環路積分）.為了方便，我們還可以在積分中標出環路積分的方向,若沿逆時針方向積分，可用環路積分表示.若沿順時針方向積分，可用表示.定義2.1.3閉合環路積分10

由此可知，當，且小弧段長度的最大值時，不論對L的分法如何，點的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于連續，則都是連續函數，根據曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到

(2.1.1)由此可知，當，且小弧段長11

即我們可以把復積分的計算化為兩個二元實變函數的曲線積分．為便于記憶公式，可把理解為，則 上式說明了兩個問題：(1)當是連續函數，且L是光滑曲線時，積分一定存在；(2)可以通過兩個二元實變函數的線積分來計算.即我們可以把復積分的122.1.2復積分的基本性質2.1.2復積分的基本性質13(1)若沿可積，且由和連接而成，則（2.1.2）(2)常數因子可以提到積分號外，即（2.1.3）

(3)函數和（差）的積分等于各函數積分的和（差），即

(1)若沿可積，且由和14(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即（2.1.4）為的負向曲線．(5)積分的模不大于被積表達式模的積分，即(2.1.5)這里表示弧長的微分，即

(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即15【證明】因為，其中分別表示曲線上弧段對應的弦長和弧長，兩邊取極限就得到【證明】因為16（6）積分估值定理若沿曲線，連續，且在上滿足，則(2.1.6)其中為曲線的長度．（6）積分估值定理若沿曲線，連續，且17【證明】由于在上恒有，所以又，則

成立。【證明】由于在上恒有182.1.3復積分的計算典型實例

公式（2.1.1）提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數的曲線積分．當曲線積分的積分路徑C由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分．

2.1.3復積分的計算典型實例公式（2.1.19第3章復變函數的積分課件20第3章復變函數的積分課件21第3章復變函數的積分課件22第3章復變函數的積分課件232.2柯西定理2.2柯西定理24

早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數論中的一條基本定理，現稱為柯西積分定理（簡稱柯西定理）．

定理2.2.1柯西積分定理如果函數在單連通區域內及其邊界線L上解析（即為在單連通閉區域解析），那么函數沿邊界L或區域內任意閉曲線的積分為零，即（2.2.1）或（2.2.2）早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數論25

證明：如圖2.2所示，由于對函數

在閉區域解析概念的理解，故函數的導數即在區域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續的．再根據格林定理有

26由于函數在閉區域解析，故滿足C-R條件代入即得由于函數在閉區域解析，故滿足C-R條件27

如果我們在該閉區域內任選某一單連通閉區域，其邊界為．由上述推導中將,則同理可證明故結論成立.這個定理是柯西(Cauchy)于1825年發表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古莎定理.如果我們在該閉區域內任選某一單連通閉區域28說明：[1]根據第二章，函數在單連通區域D內及閉曲線L上解析，即為在閉區域解析，我們應該理解為函數在比邊界稍大一些的區域內部也是解析的；[2]邊界正方向規定：當沿邊界線環行時，其邊界線所包圍的解析區域始終在左邊，則前進的方向為邊界線的正方向．據此規定，故有界單連通區域積分的邊界線沿逆時針方向為正方向．而對于有界復連通區域，外邊界取逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方向．（注意：對于無界區域則相反，內邊界取順時針方向為邊界線的正方向）；說明：[1]根據第二章，函數在單連通區域D內及閉曲線L29

[3]格林（Green）定理（或格林公式：在單連通區域內，若有連續的偏導數，則其中L是區域的邊界；[4]進一步指出，經修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為在區域內解析，在邊界上連續．以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立．[3]格林（Green）定理（或格林公式：30第3章復變函數的積分課件31第3章復變函數的積分課件322.2.2不定積分：復積分的牛頓－萊布尼茲公式

定理2.2.3由定理2.2.2知道，解析函數 在單連通域內的積分只與起點和終點有關，假設是區域內連接和 的兩條簡單曲線，則和分別稱為積分的上限和下限，當下限固定，而上限在內變動時，積分可以看作是上限的函數，記為

對，有以下的定理．2.2.2不定積分：復積分的牛頓－萊布尼茲公式33定理2.2.4如果在單連通域內處處解析，則在D內也解析，并且定理2.2.4如果34第3章復變函數的積分課件35

定理2.2.5

任何兩個原函數相差一個常數．【證明】若均為的原函數，則

利用原函數這個關系，我們可以得出：定理3.2.6若函數在單連通域內處處解析，為的一個原函數，那么

其中,為中任意兩點．上式稱為復積分的牛頓－萊布尼茲公式：

362.2.3復合閉路定理2.2.3復合閉路定理37第3章復變函數的積分課件38不失一般性，取n＝1進行證明.有下述定理：不失一般性，取n＝1進行證明.有下述定理：39

（1）（2）

定理設L和為復連通區域內的兩條簡單閉曲線，如圖2.5所示，在L內部且彼此不相交，以和L為邊界所圍成的閉區域全含于D．則對于區域D內的解析函數有定理設L和為復連通區域內的兩條簡單閉曲線，40第3章復變函數的積分課件41

總結：單連通和復連通區域的柯西定理可以表述為：(i)在閉單連通區域中的解析函數，沿邊界線或區域內任一閉合曲線的積分為零；(ii)在閉復連通區域中的解析函數，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）的積分為零；(iii)在閉復連通區域中的解析函數，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分之和．總結：單連通和復連通區域的柯西定理可以表述為：42

關于常用積分符號的說明：為了以后計算環路積分的方便，在有界區域我們規定記號：（i）C代表取逆時針方向積分；（ii）代表順時針方向積分；（iii）而且成立上述定理3.3.2還說明在區域內的一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變其值．因此可得到閉路變形定理．關于常用積分符號的說明：為了以后計算環路積分的方432.3柯西積分公式2.3.1有界區域的單連通柯西積分公式定理（柯西積分公式）如果在有界區域D處處解析，L為D內的任何一條正向簡單閉曲線，且其內部全含于D,為L內的任一點，那么

稱為柯西積分公式,簡稱柯西公式．但一定要注意其與柯西定理稱謂上的區別．2.3柯西積分公式2.3.1有界區域的單連通柯西44由復積分性質知道根據在連續，則對任意小的對應于R足夠小，有．又顯見該積分的值與R無關．這就證明了，即為柯西積分公式第3章復變函數的積分課件45第3章復變函數的積分課件46

它表明：對于解析函數，只要知道了它在區域邊界上的值，那么通過上述積分公式，區域內部點上的值就完全確定了．特別地，從這里我們可以得到這樣一個重要的結論：如果兩個解析函數在區域的邊界上處處相等，則它們在整個區域上也相等．它表明：對于解析函數，只要知道了它在區域邊472.3.2無界區域中的柯西積分公式上面對柯西積分公式討論了（1）單連通區域;(2)復連通區域.但所涉及的積分區域都是有限的區域，若遇到函數在無界區域求積分的問題又如何求解？我們可以證明如下的無界區域柯西積分公式仍然成立．2.3.2無界區域中的柯西積分公式上面對柯西積分公式討48無界區域柯西積分公式定理無界區域中的柯西積分公式（當滿足時）：若在某一閉曲線L的外部解析，并且當時，則對于L外部區域中的點有

這就是無界區域的柯西積分公式．無界區域柯西積分公式49第3章復變函數的積分課件501解析函數的無限次可微性（高階導數公式）作為柯西積分公式的推廣，我們可以證明一個解析函數的導函數仍為解析函數，從而可以證明解析函數具有任意階導數．請特別注意：這一點和實函數完全不一樣，一個實函數有一階導數，不一定有二階或更高階導數存在．柯西積分公式的幾個重要推論1解析函數的無限次可微性（高階導數公式）柯西積分公式的幾個重51

解析函數的導數仍為解析函數，它的n階導數為

其中為的解析區域內并包含的任一簡單正向閉曲線，而且它的內部全屬于．解析函數的導數仍為解析函數，它的n階52第2章復變函數的積分

復變函數積分理論是復變函數的核心內容，關于復變函數的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數積分的性質，并給出解析函數積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數理論的基礎，我們還將得到解析函數的導數仍然是解析函數這個重要的結論。第2章復變函數的積分復變函數積分理論是復變函53

2.1:復變函數的積分

2.2:柯西定理2.3:不定積分2.4:科西積分公式本章小節本章基本內容:2.1:復變函數的積分2.2:柯西定理2.3:54

重點內容:

(1)柯西定理(單、復連通區域);

(2)柯西積分公式(單、復連通,無界區域);

重點內容:

(1)柯西定理(單、復連通區域552.1復變函數的積分2.1.1復變函數積分的概念在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：2.1復變函數的積分2.1.1復變函數積分的概念56定義2.1.1有向曲線

在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：(1)如果曲線是開口弧段，若規定它的端點為起點，為終點，則沿曲線從到的方向為曲線的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為或.而由到的方向稱為的負方向（簡稱負向），負向曲線記為.第3章復變函數的積分課件57(2)如果是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向．(3)如果是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則的正方向這樣規定：當人沿曲線行走時，區域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向．(2)如果是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方向為正方58

定義2.1.2復變函數的積分

設函數在給定的光滑或逐段光滑曲線上有定義，且是以為起點，為終點的一條有向曲線，如圖2.1所示．把曲線任意分成n個小弧段，設分點依次為,在某小弧段上任意取一點，并作和其中定義2.1.2復變函數的積分59

則當n無限增大，且時，如果無論對L的分法及的取法如何，都有惟一的極限存在，那么稱這個極限值為函數沿曲線L的積分，記作，即

我們稱之為復變函數的積分，簡稱復積分．

60第3章復變函數的積分課件61

定義2.1.3閉合環路積分

當L為封閉曲線時，那么沿L的積分為，并稱為復變函數的閉合環路積分（簡稱環路積分）.為了方便，我們還可以在積分中標出環路積分的方向,若沿逆時針方向積分，可用環路積分表示.若沿順時針方向積分，可用表示.定義2.1.3閉合環路積分62

由此可知，當，且小弧段長度的最大值時，不論對L的分法如何，點的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于連續，則都是連續函數，根據曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到

(2.1.1)由此可知，當，且小弧段長63

即我們可以把復積分的計算化為兩個二元實變函數的曲線積分．為便于記憶公式，可把理解為，則 上式說明了兩個問題：(1)當是連續函數，且L是光滑曲線時，積分一定存在；(2)可以通過兩個二元實變函數的線積分來計算.即我們可以把復積分的642.1.2復積分的基本性質2.1.2復積分的基本性質65(1)若沿可積，且由和連接而成，則（2.1.2）(2)常數因子可以提到積分號外，即（2.1.3）

(3)函數和（差）的積分等于各函數積分的和（差），即

(1)若沿可積，且由和66(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即（2.1.4）為的負向曲線．(5)積分的模不大于被積表達式模的積分，即(2.1.5)這里表示弧長的微分，即

(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即67【證明】因為，其中分別表示曲線上弧段對應的弦長和弧長，兩邊取極限就得到【證明】因為68（6）積分估值定理若沿曲線，連續，且在上滿足，則(2.1.6)其中為曲線的長度．（6）積分估值定理若沿曲線，連續，且69【證明】由于在上恒有，所以又，則

成立。【證明】由于在上恒有702.1.3復積分的計算典型實例

公式（2.1.1）提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數的曲線積分．當曲線積分的積分路徑C由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分．

2.1.3復積分的計算典型實例公式（2.1.71第3章復變函數的積分課件72第3章復變函數的積分課件73第3章復變函數的積分課件74第3章復變函數的積分課件752.2柯西定理2.2柯西定理76

早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數論中的一條基本定理，現稱為柯西積分定理（簡稱柯西定理）．

定理2.2.1柯西積分定理如果函數在單連通區域內及其邊界線L上解析（即為在單連通閉區域解析），那么函數沿邊界L或區域內任意閉曲線的積分為零，即（2.2.1）或（2.2.2）早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數論77

證明：如圖2.2所示，由于對函數

在閉區域解析概念的理解，故函數的導數即在區域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續的．再根據格林定理有

78由于函數在閉區域解析，故滿足C-R條件代入即得由于函數在閉區域解析，故滿足C-R條件79

如果我們在該閉區域內任選某一單連通閉區域，其邊界為．由上述推導中將,則同理可證明故結論成立.這個定理是柯西(Cauchy)于1825年發表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古莎定理.如果我們在該閉區域內任選某一單連通閉區域80說明：[1]根據第二章，函數在單連通區域D內及閉曲線L上解析，即為在閉區域解析，我們應該理解為函數在比邊界稍大一些的區域內部也是解析的；[2]邊界正方向規定：當沿邊界線環行時，其邊界線所包圍的解析區域始終在左邊，則前進的方向為邊界線的正方向．據此規定，故有界單連通區域積分的邊界線沿逆時針方向為正方向．而對于有界復連通區域，外邊界取逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方向．（注意：對于無界區域則相反，內邊界取順時針方向為邊界線的正方向）；說明：[1]根據第二章，函數在單連通區域D內及閉曲線L81

[3]格林（Green）定理（或格林公式：在單連通區域內，若有連續的偏導數，則其中L是區域的邊界；[4]進一步指出，經修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為在區域內解析，在邊界上連續．以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立．[3]格林（Green）定理（或格林公式：82第3章復變函數的積分課件83第3章復變函數的積分課件842.2.2不定積分：復積分的牛頓－萊布尼茲公式

定理2.2.3由定理2.2.2知道，解析函數 在單連通域內的積分只與起點和終點有關，假設是區域內連接和 的兩條簡單曲線，則和分別稱為積分的上限和下限，當下限固定，而上限在內變動時，積分可以看作是上限的函數，記為

對，有以下的定理．2.2.2不定積分：復積分的牛頓－萊布尼茲公式85定理2.2.4如果在單連通域內處處解析，則在D內也解析，并且定理2.2.4如果86第3章復變函數的積分課件87

定理2.2.5

任何兩個原函數相差一個常數．【證明】若均為的原函數，則

利用原函數這個關系，我們可以得出：定理3.2.6若函數在單連通域內處處解析，為的一個原函數，那么

其中,為中任意兩點．上式稱為復積分的牛頓－萊布尼茲公式：

882.2.3復合閉路定理2.2.3復合閉路定理89第3章復變函數的積分課件90不失一般性，取n＝1進行證明.有下述定理：不失一般性，取n＝1進行證明.有下述定理：91

（1）（2）

定理設L和為復連通區域內的兩條簡單閉曲線，如圖2.5所示，在L內部且彼此不相交，以和L為邊界所圍成的閉區域全含于D．則對于區域D內的解析函數有定理設L和為復連通區域內的兩條簡單閉曲線，92第3章復變函數的積分課件93

總結：單連通和復連通區域的柯西定理可以表述為：(i)在閉單連通區域中的解析函數，沿邊界線或區域內任一閉合曲線的積分為零；(ii)在閉復連通區域中的解析函數，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）的積分為零；(iii)在閉復連通區域中的解析函數，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分之和．總結：單連通和復連通區域的柯西定理可以表述為：94

關于常用積分符號的說明：為了以后計算環路積分的方便，在有界區域我們規定記號：（i）