第九章統計與統計案例第1講隨機抽樣［考綱解讀］1.理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本.了解分層抽樣與系統抽樣的意義，能利用分層抽樣與系統抽樣解決實際問題.(重點)［考向預測］從近三年高考情況來看，本講內容為高考中的冷考點.預測2021年高考對本講將會以實際應用為背景命題考查分層抽樣或系統抽樣，同時也可能與統計相結合命題.試題以客觀題的形式呈現，難度不大，以中、低檔題目為主.?基礎知識過關簡單隨機抽樣定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個但不放回地抽取n個個體作為樣本(nWN)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都02相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.最常用的簡單隨機抽樣的方法：03抽簽法和04隨機數表法.系統抽樣定義：當總體中的個體數目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統抽樣.系統抽樣的操作步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個個體編號；N確定01分段間隔k，對編號進行分段，當N(n是樣本容量)是整數時，取kNNN—x=n；當云不是整數時，可隨機地從總體中剔除余數X，取k=一廠；在第1段用02簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lWk)；按照一定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號031土k再加k得到第3個個體編號04出k依次進行下去，直到獲取整個樣本.分層抽樣定義：在抽樣時，將總體分成□互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.應用范圍：當總體是由宓差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.注：三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯系適用范圍簡單隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會(概率)相等從總體中逐個抽取—總體中的個數較少系統抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規貝h在各部分抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個數比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或者系統抽樣總體由差異明顯的幾部分組成0診斷自測概念辨析簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.()系統抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.()在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體抽取到的可能性越大.()要從1002個學生中用系統抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平.()答案⑴X⑵V⑶X(4)X小題熱身(1)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析，在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()總體個體樣本容量從總體中抽取的一個樣本答案A解析從5000名居民某天的閱讀時間中抽取200名居民的閱讀時間樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時間是一個樣本，每名居民的閱讀時間就是一個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體.對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為Pi，p2,p3，則()A?p1=p2vp3B.p2=p3<p1C?p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案D解析因為采取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率相等.故選D.某中學將參加期中測試的1200名學生編號為1,2,3，…，1200,現從中抽取一個容量為50的樣本進行學習情況調查，按系統抽樣的方法分為50組，如果第一組中抽出的學生編號為20，則第四組中抽取的學生編號為()A.68B.92C.82D.170答案B解析第四組中抽取的學生編號為20+(1200-50)X3=92.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100件.為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取件.答案18解析由題意，知應從丙型產品中抽取

30060X200+400+300+100=60XlO=18（件）-經典題型沖關300題型一簡單隨機抽樣I【舉例說明】下列抽樣檢驗中，適合用抽簽法的是（）從某廠生產的5000件產品中抽取600件進行質量檢驗從某廠生產的兩箱（每箱18件）產品中抽取6件進行質量檢驗從甲、乙兩廠生產的兩箱（每箱18件）產品中抽取6件進行質量檢驗從某廠生產的5000件產品中抽取10件進行質量檢驗答案B解析A,D中總體的個體數較多，不適宜用抽簽法，C中，一般甲、乙兩廠的產品質量有區別，也不適宜用抽簽法.故選B.利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為3,則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為（）1a-4cW1B.3101a-4cW答案C解析根據題意，^=1，解得n=28.n-13古攵在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為祟=自.28143.（2019-衡水二模）某工廠利用隨機數表對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002，…，599,600，從中抽取60個樣本，如下提供是隨機數表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列開始向右依次讀取數據，則得到的第6個樣本編號是答案578解析從第6行第6列的數開始，滿足條件的6個編號依次為436,535,577,348,522,578，則第6個編號為578.I【據例說法1簡單隨機抽樣的特點抽取的個體數較少.(2)是逐個抽取.(3)是不放回抽取.(4)是等可能抽取.只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.抽簽法與隨機數表法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個體數較少的情況，隨機數表法適用于總體中個體數較多的情況.⑵一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.I【鞏固遷移】1.下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的為()在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗答案D解析A,B是系統抽樣，C是分層抽樣，D是簡單隨機抽樣.

總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）TOC\o"1-5"\h\z7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07D.01CD.01答案D解析選出的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01.故選D.題型二系統抽樣多雄探究題型二系統抽樣多雄探究【舉例說明】（2019-全國卷I）某學校為了解1000名新生的身體素質，將這些學生編號為1,2，???，1000，從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗.若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是（）A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生答案C解析根據題意，系統抽樣是等距抽樣，所以抽樣間隔為1100=10-因為46除以10余6,所以抽到的號碼都是除以10余6的數，結合選項知應為616.故選C.結論探究本例條件不變，則被抽到的學生的最小編號為，最大編號為■答案6996解析根據題意可知此系統抽樣的抽樣間隔為皿°°=10，共分100組，46,100,，號在第5組，故被抽到的最小編號在第一組，是46-10X4=6，最大編號在第100組，是46+10X95=996.I【據例說法1系統抽樣的注意點系統抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大.若不改變抽樣規則，則所抽取的號碼構成一個等差數列，其首項為第一組所抽取的號碼，公差為樣本間隔.故問題可轉化為等差數列問題解決.抽樣規則改變，應注意每組抽取一個個體這一特性不變.如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機地從總體中剔除余數，然后再按系統抽樣的方法抽樣，其中起始編號的確定應用簡單隨機抽樣的方法.I【鞏固遷移】1.某校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統抽樣法(按等距的規則)抽取40名同學進行檢查，將學生從1?1000進行編號，現已知第18組抽取的號碼為443，則第一組用簡單隨機抽樣抽取的號碼為()A.16B.17C.18D.19答案C解析?.從1000名學生中抽取一個容量為40的樣本,.??系統抽樣的分段間隔為喘0=25.設第一組隨機抽取一個號碼為對則第18組的抽取編號為x+17X25=443,.?.x=18.2.(2019?安徽蕪湖模擬)為了解高中生在寒假期間每天自主學習的時間，某校采用系統抽樣的方法，從高三年級900名學生中抽取50名進行相關調查.先將這900名高中生從1到900進行編號，求得間隔數4=岑0=18,即每18名高中生中抽取1名，若在編號為1?18的高中生中隨機抽取1名，抽到的高中生的編號為6,則在編號為37?54的高中生中抽到的高中生的編號應該是.答案42解析根據題意，采用系統抽樣，且分段間隔為18，首組所取的號碼為6,古攵后面的組抽取的號碼為18n+6(1WnW49,nEN)，令37W18n+6W54，得n=2，故所抽取的號碼為2X18+6=42.題型三分層抽樣多角探完題型三分層抽樣多角探完I【舉例說明】。角度1求總體容量或樣本容量1.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層抽樣調查.假設四個社區駕駛員的總人數為V,其中甲社區有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43，則這四個社區駕駛員的總人數N為（）A.101B.808C.1212D.2012答案B解析甲社區每個個體被抽到的概率為92=1，樣本容量為12+21+25+43=101，所以四個社區中駕駛員的總人數N=￥=808.82.（2019?安徽六校教育研究會聯考）某工廠生產的A,B,C三種不同型號的產品的數量之比為2：3：5,為研究這三種產品的質量，現用分層抽樣的方法從該工廠生產的A,B,C三種產品中抽出樣本容量為n的樣本，若樣本中A型產品有10件，則n的值為（）A.15B.25C.50D.60答案C解析解法一：某工廠生產的A，B，C三種不同型號產品的數量之比為2:3:5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，則A型產品被抽取的抽樣比為井上=1.因為A產品有10件，所以n=平=50-故選C.5解法二：由題意，得2=四，解得n=50.故選C.2+3+5n。角度2求每層中的樣本數量分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法.在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的是（）一、…41,,甲應付51面錢24乙應付32面錢丙應付16湍錢三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析依題意由分層抽樣可知，100H560+350+180）=品，則甲應付：乂ah——*佐七、?109k560—51109（于錢）/乙應付：次ocn—12住坨、?109k350—32109（于錢）/丙應付.1056住坨、109K180—16109（^錢）,I【據例說法1分層抽樣問題類型及解題思路⑴求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算.（2）已知某層個體數量，求總體容量或反之：根據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算.樣本容量⑶分層抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比—總體容量—各層樣本數量”各層個體數量”.提醒：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取n.=n-N（i=1,2,…，幻個個體（其中i是層數，n是抽取的樣本容量，N.是第i層中個體的個數，N是總體容量）.I【鞏固遷移】1.一個總體分為A,B,C三層，用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為50的樣本，已知B層中每個個體被抽到的概率都為土，則總體中個體的個數為（）A.150B.200C.500D.600答案D解析運用分層抽樣的方法，在不同層中每個個體被抽到的概率相等，都等樣本容量501于?設總體中個體的個數為N,則N=12.解得N=600.故選D.2.某校共有教師200人，男學生800人，女學生600人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從男學生中抽取的人數為100,那么n=（）A.200B.300C.400D.500答案A解析每個個體被抽到的概率等于皿0=1，應抽取的教師人數為200X1=8008，825,應抽取的女學生人數為600X8=75，故樣本容量n=25+75+100=200.（2019-河北一模）隨著時代的發展，移動通訊技術的進步，各種智能手機不斷更新換代，給人們的生活帶來了巨大的便利，但與此同時，長時間低頭看手機對人的身體如頸椎、眼睛等會造成一定的損害，“低頭族”由此而來.為了解某群體中“低頭族”的比例，現從該群體包含老、中、青三個年齡段的1500人中采用分層抽樣的方法抽取50人進行調查，已知這50人里老、中、青三個年齡段所占的比例如圖所示，則這個群體里老年人人數為()A.490B.390C.1110D.410答案B解析由題圖，知這50人里老、中、青三個年齡段所占的比例為26%,34%,40%，則這個群體里老年人人數為26%X1500=390.課時作業組基礎關(1)某學校為了了解2019年高考數學學科的考試成績，在高考后對1200名學生進行抽樣調查，其中文科400名考生，理科600名考生，藝術和體育類考生共200名，從中抽取120名考生作為樣本.(2)從30名家長中抽取5名參加座談會.I.簡單隨機抽樣法'II.系統抽樣法'III.分層抽樣法問題與方法配對正確的是()A.(1)111，(2)IB.(1)I，(2)11C.(1)11，⑵ID.(1)111，(2)11答案A解析⑴是分層抽樣，⑵是簡單隨機抽樣.2.(2020-北京西城區模擬)某校共有學生1000人，其中男生600人，女生400人，學校為檢測學生的體質健康狀況，統一從學生學籍檔案管理庫(簡稱“CIMS系統”)中隨機選取參加測試的學生，現采用分層抽樣的方法從中抽取容量為30的樣本進行檢測，那么應抽取女生的人數為（）A.12B.15C.18D.20答案A解析某校共有學生1000人，其中男生600人，女生400人，采用分層抽樣的方法從中抽取容量為30的樣本進行檢測，則應抽取女生的人數為30X101=12.3.（2019-唐山三模）為了調查某工廠生產的一種產品的尺寸是否合格，現從500件產品中抽出10件進行檢驗.先將500件產品編號為000,001,002,…，499,在隨機數表中任選一個數開始，例如選出第6行第8列的數4開始向右讀（為了便于說明，下面摘取了隨機數表，附表1的第6行至第8行），即第一個號碼為439,則選出的第4個號碼是（)162277943949544354821737932378844217533157245506887704744767630163785916955567199810507175A.548B.443C.379D.217答案D解析從第6行第8列的數4開始向右讀，則選出的前4個號碼是：439,495,443,217,.??選出的第4個號碼是217.某工廠甲、乙、丙、丁四個車間生產了同一種產品共計2800件，現要用分層抽樣的方法從中抽取140件進行質量檢測，且從甲、丙兩個車間總共抽取的產品數量為60件，則乙、丁兩車間生產的產品總共有（）A.1000件B.1200件C.1400件D.1600件答案D解析由已知條件得，抽樣比為黑=&廣?從甲、丙兩個車間總共抽取的280020產品數量為60件，.?從乙、丁兩個車間抽取的產品數量為140-60=80件，乙、丁兩車間生產的產品總共有半=1600件.205.（2019-保定二模）某工廠生產A,B,C三種不同型號的產品，其中某月生產的產品數量之比依次為m：3：2,現用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本，已知A種型號產品抽取了45件，則m=（）A.1B.2C.3D.4答案C解析設該工廠生產A型號的產品數量為mk，則生產B型號的產品數量為3k,生產C型號的產品數量為2k，則4!=—座一，解得m=3.mkmk+3k+2k（2019-江西八校聯考）從編號為001,002，…，500的500個產品中用系統抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007,032,則樣本中最大的編號應該為（）A.480B.481C.482D.483答案C解析根據系統抽樣的定義，知樣本的編號成等差數列，令％=7，a2=32，則d=25，所以7+25（〃-1）W500，所以nW*，n的最大值為20，得最大的編號為7+25X19=482.用系統抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將學生隨機地從1?160編號，按編號順序平均分成20組（1?8,9?16，…，153?160）.若第16組得到的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是.答案6解析設第1組抽出的號碼為x，則第16組應抽出的號碼是邪X15+x=126,Ax=6.8.某商場有四類食品，食品類別和種數見下表:類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類種類40103020現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為.答案6解析因為總體的個數為40+10+30+20=100，所以根據分層抽樣的定義可知，抽取的植物油類食品種數為/X20=2，抽取的果蔬類食品種數為落X20=4,所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為2+4=6.組能力關(2019-湖北荊州模擬)我國古代數學算經十書之一的《九章算術》有一衰分問題：今有北鄉八千一百人，西鄉