關于數學美在生活中第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、什么是數學美

美是人類創造性實踐活動的產物，是人類文明進步的產物。一般地說，美是人類直覺的感性形式，是人類本質力量的感性表現。通常所說的美包括自然美、社會美和藝術美，而我們這里是談數學美。什么是數學美？歷史上許多文學家、藝術家、數學家、學者對數學美從不同側面作過生動的闡述。

亞里士多德說：“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美不能和數學完全分離。因為美的主要形式就是‘秩序、勻稱和確定性’，這些正是數學所研究的原則。”

達·芬奇認為：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關系上。”第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

彭加勒說：“數學家把重大意義與他們的方法和他們的結果的美聯系起來。給我們以美感的是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱、它們的巧妙平衡。總而言之，就是引入秩序，給出統一，容許我們同時清楚地觀察和理解整體與細節的東西”。維納認為：“數學實質上是藝術的一種。”

認真研究上述看法，從美學與數學角度進行總結，可以這么說，數學美是科學本質力量的感性與理性的顯現，是一種人的本質力量通過宜人的數學思維結構的呈現。它是一種真實的美，是反映客觀世界并能動地改造客觀世界的科學美。數學美不僅有表現的形式美，而且有內容美與嚴謹美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結構美與整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創造美與應用美。

第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日剪紙圖片第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日京劇臉譜第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日生活中的軸對稱第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日建筑中的對稱美第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、對正整數的美學審視

每個人最初接觸的是正整數。那么，我們每個人就可以首先問自己：對正整數的感覺如何？很多的人可能說“沒有什么感覺。”然而，正整數曾引起過無數人的興趣和喜好，而且是一個長盛不衰的論題。

（一）完美數我們不妨要問：你喜歡哪個數？許多人未曾思索過，一時答不上。稍加思考，也覺得1，2，3，4，…，好像沒有什么差別。當然，根據我們漢語的發音，有人喜歡8，因為那似乎意味著“發”；也有人喜歡6，因為那意味著順利。但這并不是出自對數本身性質的原因而產生的喜好。我們還是再看一看1、2、3、4、5、6、7這幾個數字，它們本身就具有一種和諧美，代表不同的七個音階，就能譜出優美動人和諧的樂曲，讓世人在音樂中陶醉。

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數有許多不同的性質，人們可能不會因其有某種性質而一定喜歡它，但是一些奇妙的性質則很可能引起人們的興趣。奇妙的性質也不少，人們對數的興趣也可能各不相同，也可能有多方面的興趣。

6這個數的因數有1，2，3，6（暫約定1和6自身亦算其因數），其和恰為12，6的兩倍；如果不計6自身，則其因數之和恰是它自己。

28也具有這樣的性質，其因數是1，2，4，7，14之和恰好等于28，這是第二個具有這種性質的正整數。

496，仔細看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因數，它們的和也正等于496。第四個具有這種性質的數稍難找一些，它是8128。可是，一千八百多年之前就知道8128具有其各因數之和恰為它自己（不計它自己）的性質。

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人們把這種數稱之為完美數，即各因數之和為它的兩倍或不計它自己時恰等于它的那種數叫完美數。6，28，496，8128便是很久以前知道的4個最小的完美數。看來，完美數不多，已可初步看到，前八千多個正整數中才4個！物以稀為貴，完美數稀罕。完美數，人們用美來形容數。順便看一下漢語里以“美”字組詞的情況。美好，把美與善聯系在一起；美妙，把美與奇異聯系在一起；美滿，把美與情感聯系在一起；美言、美談、美味、……用美來形容一些行為和感覺。又有壯美、俊美、秀美、完美、……對不同性質的美的區分。漢語有關美的豐富詞匯本身反映了在我們文化中對美的多方面的準確理解。用完美來形容6、28、496、…這一類數也很恰當。這種數的完美，一方面表現在它稀罕、奇妙，一方面表現在它的完滿，各因數和不多不少等于它自己。

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第五個完美數在哪里？很不容易尋找。在距離發現第四個完美數之后一千多年，于公元1538年才發現第五個完美數——33550336。又過了50年才發現第六個是：8589869056。尋找這種數那么難，卻還是有人去尋找，到現在為止也還只發現二十多個。為什么去尋找呢？是因為這種數在現實生活中有什么特別的用途嗎？目前確實還沒有發現，是它的奇導和美麗吸引了許多的人。

（二）數的諧聲借意

人的智商是有差異的，其中最重要的表現在記憶力的強弱上。有人過目不忘，但有人苦于無法記住，我們可以借用數的諧聲來強化對數的記憶。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

上海市出租汽車公司的電話號碼為25800000，該公司的宣傳廣告語“讓我撥五個零”。就是借助上海方言對數的諧聲讓能牢記住這個號碼。又如眾所周知的火警電話號碼為“119”，數的諧聲就是“要要救”。美國紐約的火警電話號碼為“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用這個號碼來統一行動。祖沖之算出了精確的圓周率，造福于后人。我曾經編了一個順口溜，讓我的學生記住了小數點后19位的圓周率。

山巔一寺一壺酒，爾樂，氣死我，把酒吃，吃不死，樂而樂。第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、對非有理數的美學品味

古希臘的數學十分繁榮，那時的自然科學與藝術、哲學緊密聯系的。古希臘哲學（例如畢達哥拉斯流派）對數與對世界的思考幾乎是不可分割的。他們的哲學觀或世界觀是：萬物皆數。而1是最神圣的，一切蓋源于1，并且天下只有數（即正整數）及其比（又稱可比數，即今稱之為有理數）。數生成萬物，數的規律支配著萬物。中國古代有一生二、二生三、三生萬物的說法，與萬物皆數的觀點相似。古希臘時數學觀與哲學觀的和諧被數學自身的發展打破了。一種無法用兩整數之比來表達的數就被信奉那種哲學觀的流派中的成員自己發現了，這就是非有理數的發現。這種發現甚至導致了一場數學危機。然而，與其說是數學危機，不如說是數學與哲學的共同危機。危機何在？原有和諧被打破了，原有美感被動搖了，原有的理論被震撼了。

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正方形的對角線與其邊長之比就無法用兩整數之比來表示，這個今日之任何一名中學生都知道的事實竟是當年發生震撼作用的源頭。同時發現的是：正五邊形對角線長與其邊長之比也無法由一個可比數（即有理數）來表示（正六邊形對角線長與其邊長之比是2，引起麻煩的是正方形、正五邊形）。現在，我們大家都知道了這兩個數分別是

這兩個數都是無理數。說它們是無理數，不是說它們沒有道理，是因為這類數的發現是在有理數之后。

無理數之美，我們來仔細品味。是正五邊形對角線長與邊長之比，而邊長與對角線長之比則為。這兩個數之積為1，這兩個數之差也為1。因此它們是方程第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日因此稱它們為代數無理數。比值特別被人注意，它

人是自然界長期發展的產物，人體美在自然中具有最強的完整性。大詩人莎士比亞曾經贊頌道：“人類是一件多么了不得的杰作！宇宙的精華、萬物的靈長。”其實，莎士比亞也許不知道，人體相關各部分之間是符合黃金分割率的，肚臍是黃金分割的黃金點。在軀干部分，乳房位置的上下長度比；咽喉至頭頂和至肚臍之比；膝蓋至腳后跟和至肚臍之比等，都是黃金分割數0.618的近似數。如果人體上述部分比例均符合黃金律的話，就顯得協調勻稱。古希臘斷臂維納斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼達，其體型結構比例完全符合黃金律，美妙絕倫。

x(1+x)=1或

x2+x–1=0

的解，的近似值是0.618（即），這是一個有理數，人們稱其為

黃金分割比值。它被認為是最美的數值，具有很高的美學價值。第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日這幾副國旗圖案中的五角星是黃金分割的

中國美國委內瑞拉越南第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日耐人尋味的0.618打開地圖，你就會發現那些好茶產地大多位于北緯30度左右。特別是紅茶中的極品“祁紅”，產地在安徽的祁門，也恰好在此緯度上。這不免讓人聯想起許多與北緯30度有關的地方。奇石異峰，名川秀水的黃山，廬山，九寨溝等等。銜遠山，吞長江的中國三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度上。蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比,普通樹葉的寬與長之比也接近0.618;節目主持人報幕，絕對不會站在舞臺的中央，而總是站在舞臺的1／3處，站在舞臺上側近于0.618的位置才是最佳的位置;生活中用的紙為黃金矩形，這樣的長方形讓人看起來舒服順眼，正規裁法得到的紙張，不管其大小，如對于、8開、16開、32開等，都仍然是近似的黃金矩形。第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日數學美的魅力1古埃及胡夫金字塔古希臘巴特農神廟文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高這比都接近于0.618.古希臘的一些神廟，在建筑時高和寬也是按黃金比0.618來建立，他們認為這樣的長方形看來是較美觀；其大理石柱廓，就是根據黃金分割律分割整個神廟的.第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日數學美的魅力2雕塑斷臂女神維納斯的體型完全與黃金比相符,即以人的肚臍為分界點,上身與下身之比,或者說下身與全身之比約是0.618

這樣的身體給人的感覺就是非常的勻稱，充滿著美感.

著名畫家達?芬奇的蒙娜麗莎構圖就完美的體現了黃金分割在油畫藝術上的應用。通過下面兩幅圖片可以看出來，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中都處于完美的體現了黃金分割，使得這幅油畫看起來是那么的和諧和完美.

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科學家和藝術家普遍認為，黃金律是建筑藝術必須遵循的規律。在建筑造型上，人們在高塔的黃金分割點處建樓閣或設計平臺，便能使平直單調的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農神殿，當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據黃金分割的原則來建造的。在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫字臺面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長邊之比為0.618，你會因此比例協調而賞心悅目。甚至連火柴盒、國旗的長寬比例設計，都恪守0.618之處；二胡要獲得最佳音色，其“千斤”則須放在琴弦長度的0.618處。最有趣的是，在消費領域中也可妙用0.618這個“黃金數”，獲得第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日

不少植物葉，相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角為137°28′，自然，圓周角的另一部分是360°－137°28′=222°32′。然而，又恰有“物美價廉”的效果。據專家介紹，在同一商品有多個品種、多種價值情況下，將高檔價格減去低檔價格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價格。

正因為黃金比體現了美與適用，溝通了人與自然，所以在某些名曲中，樂章的高潮出現在全曲的0.618處。并且，這個角度對于植物葉子的通風、采光而言，都是最佳的，從而最有利于植物的生長。=0.618第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

當植物的枝干的夾角137°28′時,通風和采光能達到最好效果,你知道這是為什么嗎?≈0.618大自然的魅力第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

1、人們為何留戀春天？因為人在春季感到舒暢，因為這時的環境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0.618的乘積為22.8攝氏度，人在這一環境溫度中，機體的新陳代謝、生理動均處于最佳狀態。生活百科第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日

2、一天要喝5杯水。

人體內的水分占體重的61.8％，不計出汗，每天失去和需要補充的水達2500毫升。其中半固體食物供給的水和人體內部合成的水約1500毫升，大約占61.8％。其余1000毫升需要補充，才能保持水平衡。因此，每人一天要喝5杯水。

生活百