教案2006-2007學(xué)年第二學(xué)期課程名稱： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程編號(hào)： 4111105學(xué)院、專業(yè)、年級(jí)：信工學(xué)院、計(jì)算機(jī)、二年級(jí)任課教師： 秦茂玲教師所在單位： 信息科學(xué)與工程學(xué)院山東師范大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案課程簡介《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是高等學(xué)校各理科專業(yè)學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)必修課、學(xué)位課和研究生入學(xué)考試課，是為培養(yǎng)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是本科相關(guān)各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生概率論的基本概念，隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律及中心極限定律，樣本及抽樣分布，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)。通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，利用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生的熟練運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析解決問題的能力。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案教學(xué)大綱課程名稱：概率統(tǒng)計(jì)課程編號(hào)：4111105課程類別：基礎(chǔ)課學(xué)時(shí)數(shù)：76學(xué)時(shí)（理論76學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)0學(xué)時(shí)）學(xué)分?jǐn)?shù)：4先修課程：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)適用年級(jí)：二年級(jí)適用專業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)一、內(nèi)容簡介本課程是信息科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課，內(nèi)容包括概率論的基本概念，隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律及中心極限定律，樣本及抽樣分布，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)。二、本課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是本科相關(guān)各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生概率論的基本概念，隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律及中心極限定律，樣本及抽樣分布，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)。通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，利用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生的熟練運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析解決問題的能力。三、本課程與其它課程的關(guān)系本課程是信息科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的基礎(chǔ)課。本課程的學(xué)習(xí)情況事關(guān)學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)，事關(guān)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定及學(xué)生未來的走向。課程基礎(chǔ)性、理論性強(qiáng)，與相關(guān)課程的學(xué)習(xí)聯(lián)系密切，是全國碩士研究生入學(xué)考試統(tǒng)考科目，關(guān)系到學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。本課程的學(xué)習(xí)情況直接關(guān)系到學(xué)院的整體教學(xué)水平。四、本課程的基本要求基本了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)理論，充分理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想。掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法、手段、技巧，并具備一定的分析論證能力和較強(qiáng)的運(yùn)算能力。能較熟練地概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的3《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案 思想方法解決應(yīng)用問題。五、課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配（一）概率論的基本概念（12學(xué)時(shí)）基本要求：1、熟悉了解樣本空間、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件等的概念。2、熟練掌握事件之間的關(guān)系和事件之間的運(yùn)算。3、掌握概率的定義，會(huì)運(yùn)用它的性質(zhì)計(jì)算概率。4、掌握等可能概型，熟悉它的性質(zhì)。5、弄懂條件概念的含義，掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式。6、掌握獨(dú)立性的概念、并記住在這個(gè)條件相應(yīng)的事件的運(yùn)算法則。重點(diǎn)：掌握概率的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。難點(diǎn)：掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法。（二）隨機(jī)變量及其分布（10學(xué)時(shí)）基本要求：1、掌握隨機(jī)變量、分布函數(shù)、分布率、概率密度的定義及性質(zhì)。2、掌握幾種重要的隨機(jī)變量的分布：（0-1）分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、均勻分布和正態(tài)分布。重點(diǎn)：熟練掌握（0-1）分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、均勻分布和正態(tài)分布的概率密度表達(dá)式及其性質(zhì)，會(huì)利用它進(jìn)行概率計(jì)算。難點(diǎn)：運(yùn)用正態(tài)分布概率密度公式的計(jì)算。（三）多維隨機(jī)變量及其分布（10學(xué)時(shí)）基本要求：1、理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式。掌握離散型聯(lián)合概率分布、邊緣分布和條件分布的求法。2、理解連續(xù)型聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度，會(huì)利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。3、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件。4、掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。重點(diǎn)：二維變量的概率分布及概率密度。難點(diǎn)：求概率分布或概率密度時(shí)，確定積分的積分區(qū)域和積分的上下限。（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征（8學(xué)時(shí)）基本要求：1、熟練掌握計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，了解判斷數(shù)學(xué)期望存在的條件。2、掌握數(shù)學(xué)期望和方差的幾個(gè)重要性質(zhì)。3、了解協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念及其性質(zhì)，并掌握他們的求解方法。4、了解矩和協(xié)方差矩陣的概念。5、熟悉n維正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)。重點(diǎn)：求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。難點(diǎn)：矩、協(xié)方差矩陣。（五）大數(shù)定律及中心極限定理（6學(xué)時(shí)）基本要求：1、掌握依概率收斂的涵義。2、掌握契比雪夫定理的特殊情況。3、掌握伯努利大數(shù)定理。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案4、了解辛欽定理。5、掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理。了解李雅普諾夫定理。6、了解棣莫弗寸拉普拉斯定理。重點(diǎn)：1、掌握依概率收斂的涵義。2、掌握伯努利大數(shù)定理。3、掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理。難點(diǎn)：1、理解辛欽定理。運(yùn)用棣莫弗-拉普拉斯定理。（六）樣本及抽樣分布（8學(xué)時(shí)）基本要求：1、理解總體、簡單隨機(jī)樣本的概念。2、理解統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。3、了解2分布、t分布和F分布概念的性質(zhì)。4、了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表。5、了解正態(tài)總體的常用抽樣分布。重點(diǎn)：2分布、t分布和F分布的性質(zhì)及應(yīng)用。難點(diǎn)：正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布。（七）參數(shù)估計(jì)（10學(xué)時(shí)）基本要求：1、理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念。2、掌握矩估計(jì)法（一階、二階）和最大似然估計(jì)法。3、了解估計(jì)量的無偏差、有效性和一致性的概念。4、會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無偏差性。5、了解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。重點(diǎn)：用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。難點(diǎn)：為未知參數(shù)，如何評(píng)價(jià)一個(gè)區(qū)間估計(jì)量（『2）的優(yōu)劣。（八）假設(shè)檢驗(yàn)（8學(xué)時(shí)）基本要求：1、理解假設(shè)檢驗(yàn)的概念。2、掌握正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)。3、掌握正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)。重點(diǎn)：掌握正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。難點(diǎn)：理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。六、教材與參考書教材《概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版）浙江大學(xué)盛驟等編，高等教育出版社，2001，12。參考書[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，華東師范大學(xué)，魏宗書等編，高等教育出版社七、本課程的教學(xué)方式本課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)，思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的問題概念與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的必要性。注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機(jī)聯(lián)系，特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)概率論與5

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案 數(shù)理統(tǒng)計(jì)。由于學(xué)科特點(diǎn)，本課程教學(xué)應(yīng)突出教師的中心地位，通過教師的努力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。授課時(shí)間第一周 第1、2次課授課章節(jié)第一章概率論的基本概念1.1隨機(jī)試驗(yàn)1.2樣本空間、隨機(jī)事件1.3頻率與概率任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版），浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件、頻率、概率等基本概念。.掌握樣本空間、隨機(jī)事件、概率等基本概念。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：樣本空間、隨機(jī)事件、概率等基本概念。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案教學(xué)內(nèi)容：第一章概率論的基本概念1.1隨機(jī)試驗(yàn)這里試驗(yàn)的含義十分廣泛，它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對(duì)事物的某一特征的觀察。其典型的例子有：E1：拋一枚硬幣，觀察正面口（Heads）、反面T（TailS出現(xiàn)的情況。E2:將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。這些實(shí)驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果；進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。1.2樣本空間、隨機(jī)事件一、基本概念定義 將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素,即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。S1: {H,T}S2: {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3：{0,1,2,3}S4：{1,2,3,4,5,6}《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案E5：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。S5:{0,1,2,3 }S6:{tt0}S7:{（x,y“kTyT1}定義：隨機(jī)事件：稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件；基本事件：有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件：樣本空間S本身;不可能事件：空集。我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn).例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出現(xiàn)的是正面” S6中事件B1二{t|t<1000}表示“燈泡是次品” 事件B2={t|t1000}表示 “燈泡是合格品”事件ABB3={t|1500}表示“燈泡是一級(jí)品”二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算10 包含關(guān)系20和事件30 積事件40差事件50 互不相容60 對(duì)立事件隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律:交換律結(jié)合律分配律:DeMorgan定律:1.3頻率與概率1） 頻率的定義和性質(zhì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案定義在相同的條件下，進(jìn)行了「次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA/n稱為事件人發(fā)生的頻率，并記成￡(A)。它具有下述性質(zhì)：0fn(A)1;fn(S)1;若AjA2,,Ak是兩兩互不相容事件，則fn(A1A2 Ak)"fn(A。與久) fn(A)2) P(A1A2 )P(A1)P(A2)頻率的穩(wěn)定性100P(A);3)概率的定義定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為稱為事件A的概率，要求集合函數(shù)滿足下列條件：20P(S)1;30若44,是兩兩互不相容事件，則1 2性質(zhì)1P()0;性質(zhì)2若AjAr,An是兩兩互不相容事件，則P(A1A2 A)2n P(A1)P(A2)nP(An)性質(zhì)3ABP(BA)P(B)P(A)P(B)P(A)性質(zhì)4P(A)1;4)概率的性質(zhì)與推廣10《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案授課時(shí)間第二周 第3、4次課授課章節(jié)第一章概率論的基本概念1.4等可能概型1.5條件概率任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版），浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解古典概型，條件概率、劃分等基本概念。.掌握古典概型公式，條件概率公式、全概率公式、貝葉斯公式。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：條件概率的概念及全概率公式、貝葉斯公式。教學(xué)內(nèi)容：4等可能概型生〉活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是：樣本空間的兀素只有有限個(gè)； 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同比如：足球比賽中扔硬幣挑邊，圍棋比賽中猜先。我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型,考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。設(shè)S={eye2,叱},由古典概型的等可能性，得P{ei}二P{e2}2P{en}又由于基本事件兩兩互不相容；所以P{S}P{e}P{e} P{e},11 2 nP{e.}—,i1,2,,n.in11

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案若事件A包含k個(gè)基本事件，即A={e1,e2,?復(fù)},則有：例1將一枚硬P(A)kn人包含的基本事件數(shù)

P(A)kn人包含的基本事件數(shù)

S中基本事件總數(shù)幣拋擲三次。設(shè)：事件A］為“恰有一次出現(xiàn)正面”,事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”求pA1),pA2。解：根據(jù)上一節(jié)的記號(hào)，E2的樣本空間S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,HT,TTH,TTT},n=8,即S2中包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生k=7,P(A)=幺=工，

2 2n8的可能性相同屬于古典概型A］為“恰有一次出現(xiàn)正面”,A］={HTT,HT,TH},事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”用廣{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,HT,k=3,P(A)=k=3,1n8TTH例2一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只。考慮兩種取球方式：放回抽樣第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。不放回抽樣第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：1)取到的兩只都是白球的概率；2)取到的兩只球顏色相同的概率；3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。12《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)基本事件。設(shè)人=，取到的兩只都是白球”8=，取到的兩只球顏色相同"，C=^^」的兩只球中至少有一只是白球”P(A)工P(B)C2qP(C)1PC)1cxTOC\o"1-5"\h\zC2 C2 C2/\42 6 42226 /. L、 226P(A)一0.444P(B) 0.556 P(C)1P(T)1—0.88962 62 62有放回抽取:無放回抽取例3將n只球隨機(jī)的放入N(Nn)個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率設(shè)盒子的容量不限)。例4設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有口件次品，今從中任取n件，問其中恰有口口)件次品的概率是多少?例5將15名新生隨機(jī)地平均分配到3個(gè)班中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：(1每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？⑵3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的。問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？L5條件概率 pa0 pR.PAB一、條件概率 PB|A-p^-條件概率是概率論中一個(gè)重要而實(shí)用的概念。它所考慮的是事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且 則稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率,簡稱為B在A之下的條件概率。13《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案條件概率的性質(zhì)：(1琲負(fù)性：對(duì)任意事件B,P(B1A)0(2規(guī)范性:P(S|A)0⑶可列可加性：如果隨機(jī)事件B1,B2,B3,…兩兩互不相容，則P(B1B2B3…)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+??例1已知某家庭有3個(gè)小孩，且至少有一個(gè)是女孩，求pABPAPB|A該家庭至少有一個(gè)男孩的概率.由條件概率的計(jì)算公式，我們得這就是兩個(gè)事件的乘法公式.例2袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹?求取了門次都未取出黑球的概率.例3設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/1Q若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10求透鏡落下三次而未打破的概率。定義設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,B3,…,Bn為E的一組事件。若滿足：(1)兩互不相容；(2)它們的和事件是必然事件。則稱B1,B2,B3,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,B3,…,Bn為S的一個(gè)劃分，A為S的事件，且P(Bi)〉0則有P(A)二.一P(Bi)P(A|Bi)1=1ton14《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案例4某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別為2、6、9、3名.又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85.0.640.45,0.32今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率.2.Bayes公式設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,B3,…,Bn為S的一個(gè)劃分，A為S的事件,且P(A)〉0，則有p(B|a) m…)，i1,2,,niP(A)n?P(A|B)P(B)j1jj例5某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0.020.15 2 0.01 0.80 3 0.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。(1)在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管,求它是次品的概率。(2)在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，若已知取到的是次品試分析此次品出自那家工廠的可能性最大?例6對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？1516授課章節(jié)第一章概率論的基本概念1.6獨(dú)立性習(xí)題課任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解事件的獨(dú)立性的概念。.掌握事件的力獨(dú)立性的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：事件的獨(dú)立性的概念。教學(xué)內(nèi)容：1.6獨(dú)立性一、事件獨(dú)立性的定義設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果則稱A與B是相互獨(dú)立的隨 PABPAPB機(jī)事件.事件獨(dú)立性的性質(zhì)：1)如果事件A與B相互獨(dú)立，而且P(A)>0,則有P(B|A)=P(B).2)必然事件5與任意隨機(jī)事件人相互獨(dú)立；不可能事件①與任意隨機(jī)事件人相互獨(dú)立.3)若隨機(jī)事元與8、人與百、元與百件A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.注意：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直PAPB0接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算.例1設(shè)事件A與B滿足：若事件A與B相互獨(dú)立，則AB手①；授課時(shí)間第二周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第5、6次課17

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案若AB二①，則事件A與B不相互獨(dú)立.此例說明：互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。二、三個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，如PABPAPBPBC PBPCPAC PAPCPABCPAPBPC設(shè)A1，A2， ，A”為口個(gè)隨機(jī)事件，如果下列等式成立：則稱A、B、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件獨(dú)立性式是缺一個(gè)等式的PAAPAPA1ijnijijPAAAPAPAPA1ijknijk ijk "的隨機(jī)事件獨(dú)立性式是缺一個(gè)等式的PAAPAPA1ijnijijPAAAPAPAPA1ijknijk ijk "PAiAiPA1A2 AnPAiPAiP(Ai)1 ii i2PA1PA2 5件.注意在三個(gè)事的定義中，四個(gè)等imn不可的.即：前三成立不能推出第四個(gè)等式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出前三個(gè)等式的成立.”個(gè)事件的相互獨(dú)立性則稱A1,A2, ,A”這”個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立.例2設(shè)有電路如圖，其中1,2,3,為繼電器接點(diǎn)。設(shè)各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，且每一個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為P。求L至R為通路的概率。例3要驗(yàn)收一批（100件）樂器。驗(yàn)收方案如下：自該批樂器中隨機(jī)地抽取3件測試（設(shè)3件樂器的測試是相互獨(dú)立的），如果至少有一件被測試為音色不純，則拒絕接受這批樂器。設(shè)一件音色不純的樂器被測試出來的概率為0.95,而一件音色純的樂器被誤測為不純的概率為0.0118《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案如果這件樂器中恰有4件是音色不純的，問這批樂器被接受的概率是多少？例4袋中裝有4個(gè)外形相同的球，其中三個(gè)球分別涂有紅、白、黑色，另一個(gè)球涂有紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)從袋中任意取出一球，令：A=｛取出的球涂有紅色｝B=｛取出的球涂有白色｝C=｛取出的球涂有黑色｝試判斷人，B,C的獨(dú)立性。第一章小結(jié)1闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算。2給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性質(zhì)。3給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。4給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。1920授課章節(jié)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解隨機(jī)變量的基本概念。.掌握用隨機(jī)變量表示事件的方法、離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì)、常見的幾種離散分布。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：隨機(jī)變量、分布律等基本概念。教學(xué)內(nèi)容：第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念 XXe eS設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試 驗(yàn)，S是其樣本空間.我們稱樣本空間上的函數(shù) 丫 丫e:XexXx為一個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)乂，集合都是隨機(jī)事件, 隨機(jī)變量常用大寫的英文字母乂、Y、Z…或希臘字母、、等來表示。(2)對(duì)于隨機(jī)變量，我們常常關(guān)心的是它的取值。我們?cè)O(shè)立隨機(jī)變量，是要用隨機(jī)變量的取值來描述隨機(jī)事件?例1擲一顆骰子，令*:出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則X就是一個(gè)隨機(jī)變量.它的取值為1,2,3,4,5,6.則{X4}表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過4這一隨機(jī)事件；《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第7、8次課授課時(shí)間第四周21

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案{X取偶數(shù)表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件.例2一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品.現(xiàn)從中取出6件，令*:取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù).貝子就是一個(gè)隨機(jī)變量.它的取值為0,1,2,…，6,則{X=0}表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件； {X1}表示取出的產(chǎn)品至少有一件次品這一隨機(jī)事件.例3上午8:0廠9:00在某路口觀察，令Y:該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)，則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量.它的取值為0,1,….貝u {Y<100}表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件； {50<Y100表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件.注意Y的取值是可列無窮個(gè)!2離散型隨機(jī)變量及其分布律-.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì).離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱X為離x個(gè)，則稱X為離x1，x2， ,xn,的分布PXx取值為 nn1,2,散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能并設(shè)則稱上式為離散型隨機(jī)變量X并設(shè)則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的分布律.22《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案說明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃.即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定.3.離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)：對(duì)任意的自然數(shù)k有pk0;例1從1—10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令*:取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值.試求X的分布律.解：X的取值為5,6,7,8,9,10.并且具體寫出，即可得X的分布律。, C4 , ° …PXk k5,6, ,10C510例2將1枚硬幣擲3次，令*：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差.試求X的分布律.例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為試求常數(shù)c.nPXnc4n1,2,例4設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以*表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X的分布律.（信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的）.二、一些常用的離散型隨機(jī)變量8。皿0成分布如果隨機(jī)變量X的分布律為PX0 1p,PX1p23《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的8。m041分布例515件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品.從中取出1件.令15 15*：取出px011，px1二的一件產(chǎn)品中的次品數(shù).則X的取即：X~B1,15.值為0或者1，并且42)二項(xiàng)分布nCkpk1pnkp1pn1nk0Ckpk1pnk0 k0,1, ,nn如果隨機(jī)變量X的分布律為 PXkCkpk1pnkk0,1, ,nn則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記d、X~B(n,p).分布律的驗(yàn)證⑴.由于0 PXkCkpk1pnkk0,1,np1以及n為自然數(shù)，可知⑵.又由二項(xiàng)式定理，可知所以是分布律.例6一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的.某學(xué)生靠猜測至少能答對(duì)4道題的概率是多少？24《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案3)Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為其中 為常數(shù)，則稱隨機(jī)變PXk—ek0,1,2,k!量X服從參數(shù)為2的Poisson分布TOC\o"1-5"\h\zk kTTe e ITk0 k0k ek!可知對(duì)任意的自然數(shù)k,有⑵又由冪級(jí)數(shù)的分布律的驗(yàn)證可知對(duì)任意的自然數(shù)k,有⑵又由冪級(jí)數(shù)的Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一.自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布.PXk—e k0,1,2,k!例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的.25《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:習(xí)題二：3、4、6、12下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn).分布函數(shù)的概念。.連續(xù)型隨機(jī)變量的定義、連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)。實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生掌握情況良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日26

授課章節(jié)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3隨機(jī)變量的分布函1數(shù)2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解分布函數(shù)的概念。.掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的定義、連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：分布函數(shù)的概念、連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的定義及性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容：2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.概念定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)P(Xx}稱為X的分布函數(shù).對(duì)于任意的實(shí)數(shù)2々&]＜々)，有：P{xXx}P{Xx}P{Xx}F(x)F(x).2 1例1一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).2.分布函數(shù)的性質(zhì)分別觀察離散型、連續(xù)型分布函數(shù)的圖象，可以看出，分布函數(shù)F(x)具有以下基本性質(zhì)：授課時(shí)間第五周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第9、10次課27《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案10 10 F(x)是一個(gè)不減的函數(shù).2030F(x0)F(x)，即F(x)是右連續(xù)的FxABarctgx試求常數(shù)A、B.2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度0F(x)1,且F()limF(x)0;F()limF(x)1.x x例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x一.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)定義如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)冬有F(x)x一加七則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度.由定義知道，概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：(2)f(x)dx1.3043040x2f(x)dx.(xx)1 2x1若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F(x)f(x).是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為￡乂C4x2x20x20其它(1)求常數(shù)(1)求常數(shù)C；(2)求P{X>1}.2828《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案二.一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量.均勻分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1fxtaxb則稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間[a,b上的0其它均勻分布.記作X?U[a,b].密度函數(shù)的驗(yàn)證X服從區(qū)間[a,b上的均勻分布，f(x是其密度函數(shù)，則有：f(x)a b b0.⑵.fxdxfxdxfxdxfxdx dx由此可知，f(x)5角是密度函baa b a數(shù).例2設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車，如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量.試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率..指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為￡*exx。其中 為常數(shù),0x0則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)X?參數(shù)為的指數(shù)分布，f*是其密度函數(shù)，則有：⑴.對(duì)任意的羽有fx0;29《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案⑵.fxdxfxdxfxdxexdx ex=100 0由此可知，fxexx0確是一密度函數(shù).0x0例3設(shè)打一次電話所用的時(shí)間X(單位：分鐘)是以 為參數(shù)的指數(shù)隨機(jī)變量，如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間，求你需等待10分鐘到20分鐘的概率。.正態(tài)分布1 _x_2如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fx-^e22 xv2則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為，2的正態(tài)分布.記作乂?N(, 2).正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)⑴.曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱，這表明：對(duì)于任意的卜0,有PhXPXh⑵.當(dāng)x時(shí)，￡乂取到最大值f」2x離越遠(yuǎn)，￡乂的值就越小.這表明，對(duì)于同樣長度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)時(shí)，隨機(jī)變量X落在該區(qū)間中的概率就越小.⑶.曲線y￡乂在乂 處有拐點(diǎn)；曲線y￡乂以0乂軸為漸近線.⑷.若固定，而改變的值，貝f乂的圖形沿乂軸平行移動(dòng)，但不改變其形狀.因此yfx圖形的位置完全由參數(shù)所確定.⑸.若固定，而改變的值，由于￡乂的最大值為fA2可知，當(dāng)越小時(shí)，yfx圖形越陡，因而X落在附近的概率越大；反之，當(dāng)越大時(shí)，yf乂的圖形越平坦，這表明乂的取值越分散.3031概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案授課時(shí)間第六周 第11、12次課授課章節(jié)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（續(xù)）2.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版），浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解隨機(jī)變量的函數(shù)的基本概念。.掌握隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的求法。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：隨機(jī)變量的函數(shù)的基本概念。教學(xué)內(nèi)容：正態(tài)分布的重要性止態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：⑴.正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一,大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的.可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從止念分布.⑶.正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的.正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布.標(biāo)）隹止態(tài)分布若0, 1,我們稱N0,1為標(biāo)隹正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為x工” x32《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案般正態(tài)分布的計(jì)算設(shè)X~N, 2,則丫-—~N(0,1)Fy(x)P{Xx}P{-——--} (-一)X故對(duì)任意的@b,有P{aXb} (b—) (-一).例4設(shè)隨機(jī)變量X?N2,9,試求：⑴.P1X5;⑵.PX2|6;⑶.PX0.上分位點(diǎn)的定義設(shè)X?N(0,1)，若z滿足條件P{Xz} ,0 1,則稱點(diǎn)z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。2.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)X是一隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)，Y=g(X)，貝UY也是一隨機(jī)變量，當(dāng)X取x值時(shí)，Y取y=g(x)。現(xiàn)在已知隨機(jī)變量X的分布，要求Y的分布。設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為fXx,再設(shè)丫gX是乂的函數(shù)，我們假定Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量.我們要求的是YgX的密度函數(shù)fYy.解題思路⑴.先求YgX的分布函數(shù)FYyPYyPgXy fX(x)dxg(x)y⑵.利用YgX的分布函數(shù)與密度函數(shù)之間的關(guān)系求Y gX的密度函數(shù) (y FYyx.0x4.例1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度：％(X) 8' 'X0,其它.33《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案試求Y=2X+8的概率密度.例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),x，求Y=X2的概率密度.定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x), x,又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)，且有g(shù)(x)0或恒有g(shù)(x)0)則Y=g(X)是一fX［h(y)］|h(y)|,y,個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量y，其概率密度為fY(y)x 其中Y 0, 其它.h(y)是g(x)的反函數(shù)，即xg1(y)h(y),min{g( ),g()},max(g( ),g()}.若f(x)在有限區(qū)間值加］以外等于零，則只須假設(shè)在［a,b］上恒有g(shù)(x)0或恒有g(shù)(x)0),此時(shí)仍有：這里min{g(a),g(b)},max{g(a),g(b)}.例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2),試證明乂的線性函數(shù)丫aXb(a0)也服從正態(tài)分布個(gè)隨機(jī)變量，在區(qū)間設(shè)電壓VAsin，其中A是一個(gè)已知的正常數(shù)，相角是萬,萬上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量丫的概率密度.個(gè)隨機(jī)變量，在區(qū)間第二章小結(jié)1引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件。2給出了分布函數(shù)的定義及性質(zhì)，要會(huì)利用分布函數(shù)示事件的概率。3給出了離散型隨機(jī)變量及其分布率的定義、性質(zhì)，要會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布率及分布函數(shù)，掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布。4給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)，要掌握概率密度與分布函數(shù)之間關(guān)系及其運(yùn)算，掌握常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布：均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。5會(huì)求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。34《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:習(xí)題二：24、28、33下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn).二維隨機(jī)變量的定義。.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念。.二維離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì)，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)。.二維隨機(jī)變量的邊緣分布。實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生掌握情況良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日35

授課章節(jié)第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量3.2邊緣分布任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版），浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解—維隨機(jī)變量、—維隨機(jī)變量的分布函數(shù)、—維隨機(jī)變量的邊緣分布等基本概念。.掌握—維離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì)，—維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)、—維隨機(jī)變量的邊緣分布等基本概念。教學(xué)內(nèi)容：第二章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S={e},設(shè)X=X（e）和Y=Y（e）是定義在S上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X,Y）,叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。說明：（1）我們應(yīng)把二維隨機(jī)變量（X,Y）看作一個(gè)整體，因?yàn)閄與Y之間是有聯(lián)系的。在幾何上，二維隨機(jī)變 量區(qū)丫）可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)。二維隨機(jī)變量的例子⑴考察某地區(qū)成年男子的身體狀況，令X：該地區(qū)成年男子的身高；Y:該地區(qū)成年男子的體重；授課時(shí)間第七周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第13、14次課36

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案貝U(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，令：彈著點(diǎn)與

目標(biāo)的水平距離；Y：彈著點(diǎn)與目標(biāo)的垂直距離； 則(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。二、二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義設(shè)X,Y是一個(gè)二維隨機(jī)變量，則對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,Fx,yPXx,Yy是x,y的函數(shù),我們稱此函數(shù)為二維隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù).二元分布函數(shù)的幾何意義表示平面上的隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為右上頂點(diǎn)的無窮矩形中的概率。一個(gè)重要的公式設(shè)：x1x2Px1X xPx1X x2, y1X y2Fx2,%Fx2,1 Fx/'Fy1分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)(1)F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y,當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y);對(duì)于任意固定的x,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2);0F(x,y)1,且對(duì)于任意固定的y,F(,y)0;對(duì)于任意固定的x,F(x,)0;F(對(duì)于任意固定的x,F(x,)0;F()0;F(,)1;37《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）,即F（x,y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù).（4）F（x2,y2）F（x2,y1）F（x1,y1）F（x1,y2）0.說明：上述四條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的最基本的性質(zhì)，即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么,它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)（證明略）.三、「維隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是其樣本空間，XiXieeSi1,2, ,n是該樣本空間上的「個(gè)隨機(jī)變量.貝咻爾X],X2， ,XX1e,X2e,,XeeS為樣本空間$上的「維隨機(jī)變量.四、二維離散型隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量（X,Y）的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量。（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，X的取值為X],x2, ,xi, 丫的取值為y],y2, ,yj,則稱PijPXxi,Yyjij12,為二維隨機(jī)變量（X,Y）的（聯(lián)合）分布律.二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意的（1）,1門=1,…有口口PXxi,Yyj0性質(zhì)2 pij1 " 1Jij38《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案例1將兩個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.放入1號(hào)盒中的球數(shù)；放入2號(hào)盒中的球數(shù)；試求(X,Y)的聯(lián)合分布律.例2設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,四個(gè)數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1?X中等可能地取一整數(shù)值。試求(X,Y)的分布律。二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其(聯(lián)合)分布律為PjPXxi，Yyj i，j1，2，貝U(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為…‘」’五、二維連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)尸&,。，如果存在非負(fù)函數(shù)￡&,丫)，使得對(duì)于任意的x,y有F(x,y)yxf(u,v)dudv,則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或稱為X和Y的聯(lián)合概率密度。按定義，概率密度f(x,y)具有以下性質(zhì)：f(x,y)0；2)f(u,v)dudvF(,)13)若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有2F(x,y)f(x,y).xy4)設(shè)G是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為：39

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案P{（X,Y）G}f（x,y）dxdy.G例3設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的密度函數(shù)為fx,ycea…x°,y°常0其它數(shù)c；（2）求（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）求p0X1,0Y2.3.2邊緣分布邊緣分布的定義如果X,Y是一個(gè)二維隨機(jī)變量，則它的分量X或者Y是一維隨機(jī)變量，因此，分量X或者Y也有分布.我們稱X或者Y的分布為X或者Y關(guān)于二維隨機(jī)變量X,Y的邊緣分布.已知聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為F（X,Y）,則分量乂的分布函數(shù)為FxxPXxPXx,YFx,同理，Y的分布函數(shù)為FYy PYyPX,YyF,y例1已知二維隨機(jī)變量（工丫）的分布函數(shù)為x yFx,yABarctanCarctan' 2 3試求（1）常數(shù)4，8,，；（2）X和Y的邊緣分布函數(shù)。已知聯(lián)合分布律求邊緣分布律（X已知聯(lián)合分布律求邊緣分布律（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其（聯(lián)合）分布律為P.PX現(xiàn)求分量X的分布律，P分布律為P.PX現(xiàn)求分量X的分布律，P.PXx.xi,Yyji,j12,同理分量Y的分布律為PXx,Yy.jP..j40《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案PjPYyjPXxi，Yyj piji i例2設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,四個(gè)數(shù)中等可能地取值,另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1?X中等可能地取一整數(shù)值。試求(X,Y)的分布律及X,Y的邊緣分布律。已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)設(shè)區(qū)丫)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，現(xiàn)求隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)：fx由fx由FxPXxFx，xfu，ydydu得 fXxfx，ydy同理，由Fy同理，由FyyPYyF，yfx，vdxdv得：yfx，ydx設(shè)平面區(qū)域D是由拋物線y均勻分布.試求隨機(jī)變量X，x2及直線yx所圍，隨機(jī)變量X，設(shè)平面區(qū)域D是由拋物線y均勻分布.試求隨機(jī)變量X，例4設(shè)二維隨機(jī)變量X，Y~N， ， 2， 2，r，試求X及丫的邊緣密度函數(shù).12 124142授課章節(jié)第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.3條件分布3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性等基本概念。.掌握條件密度函數(shù)的求解方法，隨機(jī)變量的獨(dú)立性的概念。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性等基本概念。教學(xué)內(nèi)容：3.3條件分布一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律設(shè)(XY)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xi,Y=y.}=p,j,i,j=1,2,.X.,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為：P.PXx. PXx.,Yy. pjj jPjPYyj PXx.,Yyj p.j由條件概率公式自然地引出如i i卜定義：定義：設(shè)(X,)是一維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j若P{Y=yj}>0,則稱P{Xx|Yy}HX-x.，Y>旦,i1,2,i j P{Yyj} pj為在Y二yj.條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。條件分布律具有分布律的以下特性：10 P{X=xJ=yj}0;授課時(shí)間第八周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第15、16次課43

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案20P(Xi1同樣對(duì)于固定的iv1p.. 1X|Yy1 -^j——p《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案20P(Xi1同樣對(duì)于固定的iv1p.. 1X|Yy1 -^j——pij.1PP.1iji1jji1i若P{X=Xj}>0,貝咻爾P.i—j1.PjP{Yy」|Xx}P{XX/Yyj pij.iP{XX.} p.，）1,2,為在X=X1條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律例1―射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為P,射擊到擊中目標(biāo)兩次為止。設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律以及條件分布律。二、條件分布函數(shù)設(shè)(',丫)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于P{X=x}=0,P{Y=yj}=0不能直接代入條件概率公式，我們利用極限的方法來引入條件分布函數(shù)的概念。定義:給定y,設(shè)對(duì)于任意固定的正數(shù)e,P{y-e<Yy+e}>0,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,極限limP{Xx|yYy}；imP{Xx,yYy}存在，則稱為在10mp{yYy}條件丫=丫下X的條件分布函數(shù)寫成P{XxY=y}，或記為FXY(xy)則F(x|y)xf^du,

XYE(y)稱為在條件丫=丫下X的條件分布函數(shù)，而,(x|y)3XY fY(y)則稱為在條件丫=y下X的條件密度函數(shù)。44

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)又隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為：fXXfx，ydy隨機(jī)變量Y的邊緣密度函數(shù)為：fYfYyfx，ydx則當(dāng)fY(y)>0時(shí)，可得隨機(jī)變量X在Y=y條件下的條件密度函數(shù)為f(x|y)3當(dāng)fX(x)>0時(shí)，可得隨機(jī)變量Y在X=x條件下的條XY fY(y),X件密度函數(shù)為flylx士」條件密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.對(duì)任意的X有yIx?fxfX卜fX卜xly0性質(zhì)2.f?xIyxydx1例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從圓域:xy.3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)x2y21上的均勻分布,試求條件密度函數(shù)fxy.3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量的獨(dú)立性說明:設(shè)X,Y是二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為Fx,y，又隨機(jī)變量乂的分布函數(shù)為F乂，隨機(jī)變量丫的分布函數(shù)為F丫.如果對(duì)于任意的七y,有說明:XFx,yFxFyY則稱X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.45《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案如果隨機(jī)變量X如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則由Fx,yFXXFy丫可知二維隨機(jī)變量短,丫）的聯(lián)合分布函數(shù)F（x,y）可由其邊緣分布函數(shù)FXx與FY丫唯一確定.離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)X,Y是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為 pijPXxi,Yyjij1,2,又隨機(jī)變量乂的分布律為 piPX xi隨機(jī)變量丫的分布律為 pjPYyj如果對(duì)于任意的1如果對(duì)于任意的1）有，pijpipj,則稱X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.例1將兩個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.放入1號(hào)盒中的球數(shù)；放入2號(hào)盒中的球數(shù)；試判斷乂與Y是否相互獨(dú)立？連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為￡x,y,又隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為fXx,隨機(jī)變量￥的邊緣密度函數(shù)為:（y）,如果對(duì)于幾乎所有的乂,丫都有fx,yffx,yfXxfy則稱X,丫是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。例2設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為fX,y x23xy0x1,oy2' 0 其它試判斷乂與Y是否相互獨(dú)立？例3（正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性）設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y?N, , 2, 2,12 12試判斷乂與Y是否相互獨(dú)立？46《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案。維隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)X,X,,X是植隹隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為Fx,x,,x,又隨機(jī)變量次的分布函數(shù)為Fx,i1,2, ,n.如果對(duì)于任意的n維實(shí)數(shù)組i Xix,x, ,x,有i2Fx,nx, ,xFxFxFx則稱X,X1 2X是梢互獨(dú)立的隨機(jī)變量.Xnn2 n注意：若X,Y獨(dú)立f(x),g(是連續(xù)函數(shù)，則f(X),g(Yfe獨(dú)立4748授課章節(jié)第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函1數(shù)的分布習(xí)題課任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解兩個(gè)變量的函數(shù)分布的基本概念。.掌握常見的兩個(gè)變量的函數(shù)分布的求法。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：兩個(gè)變量的函數(shù)分布的基本概念。教學(xué)內(nèi)容：5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布?和的分布例1設(shè)—維離散型隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為P(X=i,Y=j}=(1/i)(1/4),i=1,2,3,4,j令Z=X+Y，試求隨機(jī)變量Z的分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為fx,y,令2=X+Y,下面計(jì)算隨機(jī)變量ZX丫的密度函數(shù)［2.首先計(jì)算隨機(jī)變量ZX丫的分布函數(shù)12.zxFzzPZzPXYz fx,ydxdydxfx,ydyxyz作變換：yu*,則有z zFzdxfx,uxdudufx,uxdx令gu fx,uxdx授課時(shí)間第九周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第17、18次課49

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案即有z《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案即有zFzgudu所以有：FZZ蒞gudu即 fzfx,zxdx類似地得，fzzfzy,ydy特別地，當(dāng)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立時(shí)，有fx，yqx鼻y，此時(shí)有xdxxdx或fzzfXzyfydy我們稱上式為函數(shù)/x與fy的卷積，記作qx*fy。例2設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，令ZXY,試求隨機(jī)變量2的密度函數(shù).例3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X?N0,1,Y?N0,1,令ZXY,試求隨機(jī)變量2的密度函數(shù).說明：一般地，我們有如下結(jié)論 隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，且乂~N1, 2,,令Z=X+Y，貝UZ?N二.其它的分布 (1)先求隨機(jī)變量函數(shù)2gX,Y的分布函數(shù)Fzz,(2)再求隨機(jī)變量函數(shù)2gX,Y的密度函數(shù)^zFzz。例4設(shè)隨機(jī)變量乂與￥相互獨(dú)立，乂?B1,p,Y?B1,p0p1,令minX,Y,maxX,Y,試求隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布律及與各自的邊緣分布律，并判斷與是否相互獨(dú)立？50《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第三章小結(jié)1要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系，了解條件分布。3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。4要理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。5要會(huì)求二維隨機(jī)變量的和及二維隨機(jī)變量的極值分布和函數(shù)的分布。5152概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案授課時(shí)間第十周 第19、20次課授課章節(jié)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.2方差任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解數(shù)學(xué)期望、方差等基本概念。.掌握數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)及計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望、方差等基本概念。教學(xué)內(nèi)容：第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望1、數(shù)學(xué)期望定義(1)離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：P{Xxjp「k12，,若級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)xkpk的和為隨i1 i1機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。記為EX，即EX= xkpk。k1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量乂的概率密度為(x),若積分xf(x)dx絕對(duì)收斂，貝U稱積分xf(x)dx的值為X的數(shù)學(xué)期望。記為EX=xf(x)dx,(2)、連續(xù)型數(shù)學(xué)期望也稱為均值。 說明53

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案(1)X的數(shù)學(xué)期望刻劃了乂變化的平均值.(2)由于隨機(jī)變量乂的數(shù)學(xué)期望表示的是隨機(jī)變量X變化的平均值，因此，只有當(dāng)級(jí)數(shù)xjn絕對(duì)收斂時(shí)，才能保證級(jí)數(shù)xjn的和與其級(jí)數(shù)巳匕的求和順序無關(guān).n1 n1 n1例1設(shè)隨機(jī)變量X服從Cauchy分布，其密度函數(shù)為1 1x試求其數(shù)學(xué)期望。例21x試求其數(shù)學(xué)期望。例2按規(guī)定，火車站每天8:00?9:00,9:00?10:都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為：到站時(shí)間8:10,9:108:30,9:308:50,9:50概率 176 3/6 2/^(1)旅客8:00到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。(2)旅客8:20到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1:設(shè)Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù),(1)若X的分布率為4p(xxk},k=1,2…?且Pkg(xk)絕對(duì)收斂,k1則EY= Pkg(xk)k1⑵若X的概率密度為f(x)，且g(x)f(x)dx絕對(duì)收斂，貝［|EY= g(x)f(x)dxo定理2:54

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案若(X,Y)是二維隨機(jī)變量，g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù)，Zg(x,y).若(X,Y)的分布律為P{Xx,Yy}P，且 g(x.,y.)P..絕對(duì)收斂；則EZ= g(x.,y.)P。i,j1 i,j1.若(X,Y)的概率密度為f(x,y),且g(x,y)f(x,y)dxdy絕對(duì)收斂，貝［|：EZ=g(x,y)f(x,y)dxdy。例3設(shè)風(fēng)速丫在(0,止服從均勻分布，又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力亞是丫的函數(shù)：WkV2,(k〉0)；求EW。例4設(shè)在國際市場上每年對(duì)我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(噸)，它在［2000,400上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。I)Ec=c,c是常數(shù)，若aXb,3I)Ec=c,c是常數(shù)，若aXb,3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)則aEXb,II)EcX=cEX,c是常數(shù),III)E(aX+bY)=aEX+bEYIV)若x,獨(dú)立，則EXY二EXEY例5對(duì)N個(gè)人進(jìn)行驗(yàn)血，有兩種方案:(1)對(duì)每人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，共需N次化驗(yàn);55《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案(2)將采集的每個(gè)人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個(gè)人一組混合后進(jìn)行化驗(yàn)(設(shè)N是k的倍數(shù))，若呈陰性反應(yīng)，則認(rèn)為k個(gè)人的血都是陰性反應(yīng)，這時(shí)k個(gè)人的血只要化驗(yàn)一次；如果混合血液呈陽性反應(yīng)，則需對(duì)k個(gè)人的另一份血液逐一進(jìn)行化驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的血要化驗(yàn)k+1次；假設(shè)所有人的血液呈陽性反應(yīng)的概率都是P且各次化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的。試說明適當(dāng)選取女可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)。4.2方差1、定義設(shè)X是隨機(jī)變量，直(XEX)2存在，稱其為隨機(jī)變量X的方差，記作DX,Var(X)即：DX=Var(X)=e(XEX)2。稱為標(biāo))隹差。DXE(XEX)2 (xEX)2p,離散型。i ii1DX(xEX)2f(x)dx, 連續(xù)型。方差也可由下面公式求得：DXEX2EX2證明：DXEXEX2EX2 2EXXEX2EX2 2EXEXEX2EX22EX2EX2EX2EX2565758授課章節(jié)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.2方差（續(xù)）4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4.4矩、協(xié)方差矩陣任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4節(jié)課使用教材和主要參考書教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版），浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，高等教育出版社，2001.12參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社，1983年10月。教學(xué)目的與要求：.理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的基本概念。.掌握協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等基本概念。教學(xué)內(nèi)容：4.2萬差（續(xù)）3、定理定理：（切比曉夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量*有數(shù)學(xué)期望EX ,方差口乂 2,對(duì)任意＞0,不等式P{|X |} 2/2或P{|X |}1 2/2恒成立。說明：這個(gè)不等式給出了隨機(jī)變量X的分布未知情況下，事件{1X 1}的概率的一種估計(jì)方法。4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1、定義稱COV（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）=EXY-EXEY 為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差.而COV（X,X）=DX.XYC0Vr_（蜉為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)。授課時(shí)間第十一周概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第21、22次課59《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案是一個(gè)無量綱的量；若=0,稱X,YXY不相關(guān)，此時(shí)COV(X,Y)=0X。定理：若X，丫獨(dú)立，則X,Y不相關(guān)。證明：由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0所以E(X-EX)(Y-EY)=0。即COV(X,Y)=0注意：若E(X-EX)(Y-EY)0,即EXY-EXEY0，則X，Y一定相關(guān)，且*，丫一定不獨(dú)立。2、協(xié)方差的性質(zhì)COV(X,Y)=COV(Y,X);2)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)3)COV(X+Y,Z)=COV(Y,Z)+COV(X,Z)4)若X,Y不相關(guān)，貝U：EXY=EXEY,D(aX+bY)0DXb2DY3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。IxyI1.|XYI1存在常數(shù)@,"使P{Y=a+bX}=1.說明相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變量X與丫之間線性關(guān)系緊密程度的量.當(dāng)IXYl1時(shí)，乂與丫之間以概率1存在著線性關(guān)系；當(dāng)IX』越接近于0時(shí)，乂與丫之間的線性關(guān)系越弱;當(dāng)|x』0時(shí)，乂與丫之間不存在線性關(guān)系不相關(guān).60《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案例設(shè)X,Y是二個(gè)隨機(jī)變量，已知DX 1,DY4,covX,Y1記X2Y，2XY，試求：^4.4矩、協(xié)方差矩陣]、定義若EXk存在，稱之為乂的女階原點(diǎn)矩。若￡尊￡乂派存在，稱之為X的k階中心矩。若E(XEX)k(YEY)1存在，稱之為X和Y的k+l階混合中心矩。所以EX是一階原點(diǎn)矩，DX是二階中心矩，協(xié)方差Cov(X,Y)是二階混合中心矩。1)維隨機(jī)變量(X,,X)服從n維正態(tài)分布X,,X2、n維正態(tài)分布的性質(zhì)的任意線性組合41n收服從一維正態(tài)分布。”2)若(X,,X)服從n維正態(tài)分布，Y,,丫是X,(j1,,n)的線性函數(shù)，則與，Yn)也服從正態(tài)分布。j3)若(X],,X)服從n維正態(tài)分布，則X],,X相互獨(dú)立Xj汽兩兩不相關(guān)。 n例：(1)設(shè)X,Y獨(dú)立，X~N1,4),Y?N(2,9),求2X-Y的分布。(X,Y)?N(1,2;4,9;0.5),求2X-Y的分布。第四章小結(jié)1闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。2要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。3給出了契比雪夫不等式，要會(huì)用契比雪夫不等式作簡單的概率估計(jì)。4引進(jìn)了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算。5要掌握二維正態(tài)隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的等價(jià)性。6給出了矩與協(xié)方差矩陣。6162授課章節(jié)第五章第一節(jié)大數(shù)定律任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排2使用教材和主要參考書教材：《概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版)浙江大學(xué)盛驟等編，高等教育出版社參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，華東師范大學(xué)，魏宗書等編，高等教育出版社教學(xué)目的與要求：了解大數(shù)定理的客觀背景，掌握挈比雪夫定理的特殊定理，伯努利大數(shù)定理，辛欽定理教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：挈比雪夫定理的特殊定理，伯努利大數(shù)定理，教學(xué)內(nèi)容：在實(shí)踐中，不僅事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，還有大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。定義1設(shè)Y1,,Yn,是隨機(jī)變量序列，&@是一個(gè)常數(shù)；若對(duì)任意任意 0,有:limP{|Yna111n則稱Y],,Yn，.依概率收斂于a，記為limP{|Yna1}1on1定義2設(shè)Xj,xn,是隨機(jī)變量序列，令匕nnXk，若存在常數(shù)序列^,,an,使對(duì)任意0，k1有l(wèi)imP{工an1}1，或1imP{|YnanI}0,則稱{XJ服從大數(shù)定律。n n定理1若乂「Pa，YnPb，g(X,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)，貝U：g(Xn,Yn)Pg(a,b)。定理2(切比曉夫定理的特殊情況)設(shè)隨機(jī)變量X1,,Xn,相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，EXk ,DX 2,k1,2,,令Y1n5,則：對(duì)任意的 0,k k nn kk1有：limP{|Y |} limP{|1nx |}1或limP{|1nx |}0: 0 n nk1k n %1k證：E(L°XJ-"EX -" ,D "X)—"DX —n2 2。由切比n kn kn n kn2 kn2 nk1 k1 k1 k1 k1曉夫不等式得：P{|n Xk 1)1n2,當(dāng)n 時(shí)，P(|-Xk |}1。k1 k1授課時(shí)間第十二周《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案第旦次課63

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案定理3（貝努里大數(shù)定律）設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，貝U：對(duì)任意的0,0,有l(wèi)imP{|

np|}1或limP{|f

n nv0在第k次試驗(yàn)中人不發(fā)生1

證：令X ,k證：令k1,在第k次試驗(yàn)中人發(fā)生1,2,,nXk,且X1,,Xn相互獨(dú)立k1同服從于（0D分布，故EXp,DXkp1p),1,2,,n,由定理2有,1nlimP{|一1,即limP1|1。此定理說明了頻率的穩(wěn)定性定理4（辛欽大數(shù)定律）設(shè)X1，,Xn,相互獨(dú)立同分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk ，k1,2,,n,，貝U：對(duì)有l(wèi)imP{|—1 } 1注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。6465授課章節(jié)§2.中心極限定理任課教師及職稱教學(xué)方法與手段課堂教學(xué)課時(shí)安排4使用教材和主要參考書教材：《概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版）浙江大學(xué)盛驟等編，高等教育出版社參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，華東師范大學(xué)，魏宗書等編，高等教育出版社教學(xué)目的與要求：了解中心極限定理的客觀背景，掌握二個(gè)中心極限定理及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：獨(dú)立同分布的中心極限定理，李亞普諾夫