第四章解線性方程組的迭代法主要內(nèi)容：

1、雅克比迭代法

2、高斯-塞德爾迭代法

3、迭代法的收斂性4.1解線性方程組迭代法的基本思想

已經(jīng)介紹了直接法求解線性方程組：（4-1）其中

直接法求解時，系數(shù)矩陣A

不斷變動。A

階數(shù)較大時，占用內(nèi)存很大，而且程序較復(fù)雜。

希望找到一種求解方法，使得求解過程中A不變，且簡單。這種方法就是迭代法。

使用迭代法求解（4-1）時，通常要將它變形，得到等價方程組

其中

即（4-1）的解是（4-2）的解，反之，（4-2）的解也是（4-1）的解。用不同的方法構(gòu)造（4-2）就可得到不同的迭代法。（4-2）中的矩陣B稱為迭代矩陣。（4-2）目的：由(4-2)得到一個迭代序列，其極限即為(4-1)的解.

取任意初始向量代入（4-2）的右端.得到得到向量序列:

x(1),x(2),x(3),…..x(k),.….其一般形式為:

（4-3）稱為迭代法，也稱迭代過程或迭代格式.，都有當(dāng)時，

如果對任意稱該迭代法收斂，否則稱迭代法發(fā)散.其中

即為方程組（4-2）的解，從而也是（4-1）的解。由于滿足所以收斂迭代法的極限向量.

一.雅可比(Jacobi)迭代法。設(shè)線性方程組形如

4.2三種基本的迭代法其中矩陣非奇異，且對上式移項和變形后可得等價的方程組：（4-4）

將（4-4）寫成迭代格式，即

（4-5）

也可寫成

迭代法（4-5）或（4-6）稱為Jacobi迭代法。（4-6）

例1

將線性方程組解：寫成Jacobi迭代格式（4-5）：（4-5）取初始向量，，；，，；

…，…，

…，終止條件為：精確解為：Jacobi迭代法矩陣表示形式其矩陣表示形式為：(4-5)(4-7)(4-8)將矩陣A作如下形式分解Jacobi迭代法矩陣表示形式(4-9)記得到(4-10)(4-11)

注意:

在Jacobi迭代過程中，對已經(jīng)算出來的信息未加充分利用，在計算時

已經(jīng)算出，計算時已經(jīng)算出。比前面的計算值要精確些。可作如下改進(jìn).故對一般說來，后面的計算值Jacobi迭代法（4-5）二、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel)迭代法取初始向量，得到終止條件為：（4-12）將以上迭代格式寫成分量形式，即稱為Gauss-Seidel迭代法。Jacobi迭代將Gauss-Seidel公式改寫成從而可寫成矩陣形式為=

++

從而有整理后可得令

則（4.13）就是Gauss-Seidel迭代法矩陣形式。(4.13)例2：利用雅克比和高斯-塞德爾迭代法求解方程組解：雅克比迭代格式高斯-塞德爾迭代格式計算結(jié)果取初值雅克比迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程組的近似解計算結(jié)果高斯-塞德爾迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程組的近似解取初值三.超松弛(SOR)迭代法可以看到，Gauss-Seidel迭代法通常優(yōu)于Jacobi迭代法。所謂松弛法實質(zhì)上是Gauss-Seidel迭代的一種加速方法。這種方法是將老的迭代值與Gauss-Seidel迭代的計算結(jié)果作適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均，期望獲得更好的近似值。迭代：加速：將兩步合起來稱(4-14)為超松弛迭代法，簡稱為SOR迭代法，稱為松弛因子。矩陣形式：其中(4-14)(4-15)三、

迭代法的收斂性分析1

.迭代法收斂性的概念求解線性代數(shù)方程組的迭代法一般格式為定義設(shè)是(1)的解,為(3)產(chǎn)生的序列.若有,則稱迭代過程(3)收斂.

.注意,為任意向量范數(shù)用(3)減去，得令

，則故當(dāng)時，而

是一個非零的常向量，因此（零矩陣）引理

.

證明:

略.設(shè)則存在非奇異矩陣P,使得B=P-1J

P,

Bk=P-1JkPJ為塊對角陣，稱為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，r1+r2+…+rs=n.迭代法均收斂的充要條件為：定理4.1

(充要條件)

對任意和證明:略2.迭代法收斂性的判定條件.（充分條件），則迭代法收斂，定理4.2且有

若(4-16)(4-17)證明

當(dāng)時,方陣I-B非奇異，方程組(I-B)x=f的解存在且唯一.設(shè)解為x*，即

可推導(dǎo)出(4-16)x*=Bx*+f，x*-x(m)=B(x*-x(m-1))于是有||x*-x(0)||為常數(shù)，||B||<1,所以當(dāng)從而||x*-x(m)||→0,收斂。再由例4

設(shè)線性方程組,其中問使用Jacobi法和G-S法求解是否收斂.（1）求Jacobi迭代法的迭代矩陣則

即

，故Jacobi迭代法收斂.（2）求G-S迭代法的迭代矩陣的譜半徑,由得進(jìn)一步得

，故G-S迭代法發(fā)散.

對于某些特殊的方程組，從方程組本身就可判定其收斂性.不必求迭代矩陣的特征值或范數(shù).定義

如果矩陣的元素滿足不等式

（4-18）為對角占優(yōu)陣，如果（4-18）中嚴(yán)格不則稱矩陣可以證明嚴(yán)格對角占優(yōu)陣為非奇異矩陣，即為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣.等式成立，稱矩陣對角占優(yōu)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣（充分性條件）若線性方程組中的為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，定理4.3則Jacobi法和Gauss-Seidel法均收斂。證（1）Jacobi迭代矩陣為=則的每一行每個元素取絕對值的和為

（4-18）因為為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，即即

所以根據(jù)定理4.2，Jacobi迭代法收斂.（2）G-S迭代矩陣為的特征值滿足因為

，設(shè)則有

（4-19）現(xiàn)在證明.

用反證法，假設(shè)，又由于為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，所以（4-18）式成立，則應(yīng)有即矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，故，與（4-19）式矛盾，則必有根據(jù)定理4.1，G-S迭代法收斂.即的所有特征值的絕對值均小于1，即定理4.4

(

充分性條件）若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A是對稱正定矩陣，那么，G-S迭代法收斂。定理4.5

若A為對稱正定矩陣，

那么，Jacobi迭代法的充分必要條件是2D-A為正定矩陣。注意，A對稱正定不能