第3課時橢圓及其標準方程基礎達標(水平一)1.已知橢圓+=1(a>5)的兩個焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB過點F1,則△ABF2的周長為().A.10B.20C.2D.4【剖析】因為5,所以該橢圓焦點在x軸上.a>222又因為|F1F2|=8,所以a=b+c=41.所以△ABF2的周長為4a=4.2.橢圓+=1上的點M到焦點F1的距離為2,N是MF1的中點,O為坐標原點,則|ON|的值為().A.4B.2C.8D.【剖析】由橢圓的定義,知|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF2|=10-2=8.又O為FF的中點,N為MF的中點,121∴ON為△MF1F2的中位線,∴|ON|=|MF2|=4.【答案】A22cosα=1(0≤α<2π)的焦點在y軸上,則α的取值范圍是().3.已知橢圓xsinα-yA.B.D.【剖析】因為橢圓x2sinα-y2cosα=1(0≤α<2π)的焦點在y軸上,所以-所以<α<.【答案】D4.橢圓的兩個焦點分別為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,若△PF1F2的面積的最大值為12,則該橢圓的標準方程為().A+1B+1.=.=C.+=1D.+=1【剖析】若△PF1F2的面積的最大值為12,則×8×b=12,所以b=3,a=5,即橢圓的標準方程為+=1.【答案】A5已知方程1表示焦點在y軸上的橢圓,則的取值范圍是.---【剖析】由題意得-解得1<m<.--【答案】1<m<6.若直線l:2x-3y+12=0與x軸、y軸分別交于A、B兩點,則以A為焦點,經過B點的橢圓的標準方程是.【剖析】由題意可知A(-6,0),B(0,4),因為橢圓以A為焦點,且焦點在x軸上,所以c=6,b=4,即16=a2-36,所以a2=52.所以橢圓的標準方程為+=1.【答案】+=17.已知點P(6,8)是橢圓+=1(a>b>0)上一點,F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩個焦點,若=0.試求:橢圓的標準方程;(2)sin∠PF1F2的值.【剖析】(1)因為·=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=+-=12,所以a=6,b2=80.所以橢圓的標準方程為+=1.因為PF1⊥PF2,所以=|PF|·|PF|=|FF|·y=80,所以|PF|·|PF|=160.1212P12又因為|PF1|+|PF2|=12,且點P(6,8)在第一象限內,所以|PF2|=4,所以sin∠PFF===.12拓展提升(水平二)8已知P為橢圓1上的點,1,2為其兩個焦點,則使∠1290°的點P有()..+=FFFPF=A.4個B.2個C.1個D.0個【剖析】設點(,y),由·0,得(2)(x-2)20因為1,所以232,無Px=x++y=.+=x=-意義,故不存在使∠F1PF2=90°的點P.【答案】D9在△中,點(2,0),(2,0),(,y),給出△滿足的條件,就能獲取動點A的軌跡方.ABCB-CAxABC程,下表給出了一些條件及方程:條件方程①△ABC的周長為C1:y2=2510②△ABC的面積為C2:x2+y2=4(y≠0)10③△ABCC3:+=1(y≠0)中,∠A=90°則滿足條件①②③的點A的軌跡方程按序次分別是().A.C3,C1,C2B.C2,C1,C3C.C1,C3,C2D.C3,C2,C1【剖析】如圖,在平面直角坐標系中,因為B(-2,0),C(2,0),若①△ABC周長為10,則|AB|+|AC|=6>4=|BC|,所以點A的軌跡為以B,C為焦點,長軸長為6的橢圓(去除與x軸的交點),方程為=1(y≠0);若②△ABC的面積為10,設A到BC所在直線距離為d,則×|BC|×d=10,即×4d=10,d=5.所以|y|=5,y2=25,所以點A的軌跡方程為y2=25;若③△ABC中,∠A=90°,則|OA|=2,即=2,x2+y2=4(y≠0).所以滿足條件①②③的點A的軌跡方程按序次分別是C,C,C.312【答案】A10已知橢圓:+(0)的右焦點為(3,0),過點F的直線交E于,兩點.若的中.Ea>b>FABAB點坐標為(1,-1),則E的方程為.【剖析】設(,y),(,y),,在橢圓上,1122∴①-②,得-+-=0,即=-

-.-∵AB的中點為(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而-=kAB=--=,∴=.--2222又∵a-b=9,∴a=18,b=9.∴橢圓E的方程為+=1.【答案】+=111.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.求動點P的軌跡方程.設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:可否存在點P,使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明原由.【剖析】(1)因為點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,所以點B的坐標為(1,-1).設點P的坐標為(x,y),由題意得-·-=-,化簡得x2+3y2=4(x≠±1).故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1).(2)設點P的坐標為(x,y),點M,N的坐標分別為(3,y),(3,y),00MN則直線AP的方程為y-1=-(x+1),直線BP的方程為y+1=-(x-1),令x=3,得yM=-,yN=-,-所以△PMN的面積S△=|y-yN|(3-x0)=,PMNM--又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2,點P到直線的距離d=,AB所以△的面積△PAB·0