專題07三角形及四邊形的計算與證明一、三角形1．三角形的看法及性質看法：（1）由三條線段首尾挨次相接構成的圖形，叫做三角形．（2）三角形按邊可分為：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分為：銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形．性質：（1）三角形的內角和是180°；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．（2）三角形的隨意兩邊之和大于第三邊；三角形隨意兩邊之差小于第三邊．2．三角形中的重要線段1）三角形的角均分線：三角形一個角的均分線和這個角的對邊訂交，這個角的極點和交點之間的線段叫做三角形的角均分線．特色：三角形的三條角均分線交于一點，這點叫做三角形的心里．2）三角形的高線：從三角形的一個極點向它的對邊所在的直線作垂線，極點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱高．特色：三角形的三條高線訂交于一點．3）三角形的中線：在三角形中，連結一個極點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線．特色：三角形的三條中線交于一點．3．全等三角形的性質與判斷看法：能夠完滿重合的兩個三角形叫做全等三角形．性質：全等三角形的對應邊、對應角分別相等．判斷：（1）有三邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為（SSS）；（2）有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡記為（SAS）；（3）有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為（ASA）；（4）有兩角和此中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為（AAS）；（5）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡記為（HL）．4．等腰三角形等腰三角形的有關看法及分類：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形；等腰三角形分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．等腰三角形的性質：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱為“等邊同樣角”）；2）等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱為“三線合一”）；3）等腰三角形是軸對稱圖形．等腰三角形的判斷：假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱為“等角同樣邊”）．5．等邊三角形的性質與判斷等邊三角形的性質：1）等邊三角形的內角相等，且都等于60°；2）等邊三角形的三條邊都相等．等邊三角形的判斷：1）三條邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個角相等的三角形是等邊三角形；3）有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．6．直角三角形的性質與判斷1）直角三角形的兩銳角互余．2）直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半．3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．4）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．5）有一個角等于90°的三角形是直角三角形．6）有兩角互余的三角形是直角三角形．7）假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則該三角形是直角三角形．8）勾股定理的逆定理：假如三角形一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形．二、多邊形1．多邊形看法定義：在平面內，由一些不在同向來線上的線段首尾挨次相接構成的圖形叫做多邊形．對角線：連結多邊形不相鄰的兩個極點的線段，叫做多邊形的對角線．正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．2．性質n邊形的內角和為（n－2）·180°，外角和為360°．三、平行四邊形1．平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2．平行四邊形的性質：1）平行四邊形的對邊相等且平行．2）平行四邊形的對角相等．3）平行四邊形的對角線相互均分．4）平行四邊形是中心對稱圖形．3．平行四邊形的判斷1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．4）對角線相互均分的四邊形是平行四邊形．5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．四、矩形1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．2．矩形的性質：1）矩形的四個角都是直角．2）矩形的對角線相等．3）矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是對角線的交點．3．矩形的判斷：1）有三個角是直角的四邊形是矩形．2）對角線相等的平行四邊形是矩形．五、菱形1．菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．2．菱形的性質：1）菱形的四條邊都相等．2）菱形的對角線相互垂直且均分，而且每一條對角線均分一組對角．3．菱形的判斷：1）對角線相互垂直的平行四邊形是菱形．2）四條邊都相等的四邊形是菱形．六、正方形1．正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形．2．正方形的性質：1）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角．2）正方形的對角線相等，且相互垂直均分；每條對角線均分一組對角．3）正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．正方形的判斷：1）一組鄰邊相等而且有一個角是直角的平行四邊形是正方形．2）一組鄰邊相等的矩形是正方形．3）對角線相互垂直的矩形是正方形．4）有一個角是直角的菱形是正方形．5）對角線相等的菱形是正方形．方法技巧1．判斷給定的三條線段能否構成三角形，只要判斷兩條較短線段的和能否大于最長線段即可．2．“截長法”和“補短法”是證明和差關系的重要方法，不論用哪一種方法都是要將線段的和差關系轉變為證明線段相等的問題，所以增添協助線結構全等三角形是通向結論的橋梁．3．依據多邊形的一個內角和一個相鄰外角的互補關系，靈巧選擇公式求內角或外角．4．切記平行四邊形的性質和判斷方法，注意它們的差別與聯系，能夠提升解決平行四邊形問題的速度和準確性．5．堅固掌握矩形、菱形、正方形的定義、性質和判判斷理，它們大多是從邊、角、對角線三個方面來描繪的，分類記憶，便于靈巧應用．6．適合進行著手操作訓練，從實踐中認識特別平行四邊形的軸對稱性和中心對稱性，再進行相應的證明和計算，也是正確解答綜合性問題的有效門路．核心考點三角形、四邊形中的有關證明及計算縱觀近近來幾年中考題，三角形常與旋轉、折疊、平移等知識點聯合起來察看；四邊形中要特別關注平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質和判斷，以及運用其性質解決有關計算的問題．【經典示例】如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖

1所示的圖形，AF

經過點

C，連結

DE

交

AF于點

M，察看發現：點

M是

DE

的中點．下邊是兩位學生有代表性的證明思路：思路1：不需作協助線，直接證三角形全等；思路2：不證三角形全等，連結BD交AF于點H．請參照上邊的思路，證明點M是DE的中點（只要用一種方法證明）；（2）如圖2，在（1）的前提下，當∠ABE=135°時，延伸AD、EF交于點N，求AM的值；AF=k（k為大于2的常數），直接用含NEAM的值．（3）在（2）的條件下，若k的代數式表示ABMF答題模板第一步，利用菱形性質得

AB=CD

，AB∥CD，利用平行四邊形的性質得

AB=EF，AB∥EF，則

CD=EF

，CD∥EF，再依據平行線的性質得∠

CDM=∠FEM，則可依據“

AAS

”判斷△

CDM

≌△FEM，所以

DM=EM；第二步，由△CDM≌△FEM獲得CM=FM，設AD=a，CM=b，則FM=b，EF=AB=a，再證明四邊形ABCD為正方形求出AC，接著證明△ANF為等腰直角三角形得出NF此后計算AM的值；NE第三步，因為AM=2ab=2ba1，此后表示出AM=2ab=2a+1，再把=k，則k2ABaabFMbba1代入計算即可．bk2第四步，查察重點點、易錯點，解題時要參照題中兩位學生有代表性的證明思路，求出所求的值．【滿分答案】（1）如題圖1，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四邊形ABEF為平行四邊形，AB=EF，AB∥EF，CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∠CMD=∠FME，∠CDM=∠FEM，CD=EF，∴△CDM≌△FEM，DM=EM，即點M是DE的中點；2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，設AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠NAF=45°，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=2AD=2a，AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF為等腰直角三角形，∴NF=2AF=2（2a+b+b）=a+2b，2NE=NF+EF=a+2b+a=2a+2b，∴AM=2ab2(2ab=2；NE2a2b2ab)2（3）∵AM=2ab=2b=k，ABaa∴b=k﹣2，∴a=1k，ab2∴AM=2ab=2a+1=21kk+1=．FMbb2k2【解題技巧】此題主要察看了三角形與四邊形的綜合題，解題重點是要靈巧運用平行四邊形和菱形的性質；全等三角形的知識解決線段相等的問題；會利用代數法表示線段之間的關系，解題的重點是學會增添常用協助線，結構全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．模擬訓練如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=1AB．4（1）求證：EF⊥AG；（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG能否建立（只寫結果，不需說明原因）．（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內一點，當SPABSOAB，求△PAB周長的最小值．【答案】（1）證明看法析；（2）建立；（3）4264．5【分析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=1AB，4AF=1，BG=1，AE2BA2AFBG，AEBA∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，EF⊥AG；（2）建立；原因以下：依據題意得：AF=1，BG2AE=1，AB2AF=AE，BGAB又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，EF⊥AG；（3）過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，以以下圖：則MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD內一點，當S△PAB=S△OAB，∴點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=1MN=2，2連結EG、PA、PB，則EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴OFAF=1，OEEG4∵MN∥AB，∴AMOF=1，EMOE4AM=1AE=1×2=2，555由勾股定理得：PA=PM2AM2=226，5∴△PAB周長的最小值=2PA+AB=4264．51．（2018?廣州）如圖，AB與CD訂交于點E，AE＝CE，DE＝BE．求證：∠A＝∠C．【答案】證明詳看法析．【分析】在△AED和△CEB中，AECEAEDCEB，DEBE∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A＝∠C（全等三角形對應角相等）．2．（2018?廣東）如圖，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連結DE．1）求證：△ADE≌△CED；2）求證：△DEF是等腰三角形．【答案】（1）證明詳看法析；（2）證明詳看法析．【分析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，AD＝BC，AB＝CD．由折疊的性質可得：BC＝CE，AB＝AE，AD＝CE，AE＝CD．ADCE在△ADE和△CED中，AECD，DEED∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形．3．（2018?廣東）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜邊OB＝4，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，如圖1，連結BC．1）填空：∠OBC＝_________°；2）如圖1，連結AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；3）如圖2，點M，N同時從點O出發，在△OCB邊上運動，M沿O→C→B路徑勻速運動，N沿O→B→C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當x為什么值時y獲得最大值？最大值為多少？【答案】（1）60；（2）221；（3）當x8時，y有最大值，最大值為83．733【分析】（1）由旋轉性質可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°．故答案為60．（2）在圖1中，∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA13OA＝23，OB＝2，AB2∴S△AOC11323，?OA?AB2×222∵△BOC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，∴ACAB2BC227，∴OP2S△AOC43221．AC277（3）①當0<x82中，過點N作NE⊥OC且交OC時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時在圖3于點E，則NE＝ON?sin60°3x，2∴S△OMN113?OM?NE1.5xx，222y33x2．8∴x8時，y有最大值，最大值為83．33②當8x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動．3作MH⊥OB于H（如圖3）．則BM＝8–1.5x，MH＝BM?sin60°3（8–1.5x），2∴y1ON×MH33x2+23x．28當x8時，y取最大值，y83，33③當4<x≤4.8時，M、N都在BC上運動，作OG⊥BC于G（如圖4）．MN＝12–2.5x，OG＝AB＝23，∴y1353?MN?OG＝12x，22當x＝4時，y有最大值，∵x>4，∴y最大值<23，綜上所述，當x8時，y有最大值，最大值為83．334．（2018?宜昌）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的均分線BE交AC的延伸線于點E．1）求∠CBE的度數；2）過點D作DF∥BE，交AC的延伸線于點F，求∠F的度數．【答案】（1）65°；（2）25°．【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°–∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的均分線，∴∠CBE1∠CBD＝65°；22）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°–65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．5．（2018?淄博）已知：如圖，△ABC是隨意一個三角形，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．【答案】證明詳看法析．【分析】過點A作EF∥BC，EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，即∠A+∠B+∠C＝180°．6．（2018?樂山）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BC＝BD．【答案】證明詳看法析．【分析】∵∠ABD+∠3＝180°∠ABC+∠4＝180°，且∠3＝∠4，∴∠ABD＝∠ABC，12在△ADB和△ACB中，ABAB，ABDABC∴△ADB≌△ACB（ASA），BD＝BC．7．（2018?昆明）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求證：BC＝DE．【答案】證明詳看法析．【分析】∵∠1＝∠2，∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC∴∠BAC＝∠DAE，BD在△ABC和△ADE中，ABAD，BACDAE∴△ADE≌△ABC（ASA），BC＝DE．8．（2018?銅仁市）已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求證：AE∥FB．【答案】證明詳看法析．【分析】∵AD＝BC，∴AC＝BD，ACBD在△ACE和△BDF中，AEBF，CEDF∴△ACE≌△BDF（SSS），∴∠A＝∠B，AE∥BF．9．（2018?柳州）如圖，AE和BD訂交于點C，∠A＝∠E，AC＝EC．求證：△ABC≌△EDC．【答案】證明詳看法析．AE【分析】∵在△ABC

和△EDC

中，

AC

EC

，ACB

ECD∴△ABC≌△EDC（ASA）．10．（2018?通遼）如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點延伸線于F，且AF＝CD，連結CF．

A作

BC的平行線交

BE的1）求證：△AEF≌△DEB；2）若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．【答案】（1）證明詳看法析；（2）四邊形ADCF是矩形，證明詳看法析．【分析】（1）∵E是AD的中點，∴AE＝DE，AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）連結DF，AF∥CD，AF＝CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE，AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF＝AB，AB＝AC，∴DF＝AC，∴四邊形ADCF是矩形．11．（2018?鄂州）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，點E、F分別為DB、BC的中點，連結AE、EF、AF．1）求證：AE＝EF；2）當AF＝AE時，設∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數目關系式．【答案】（1）證明詳看法析；（2）2α+β＝60°．【分析】（1）點E、F分別為DB、B