空幾何體的構【學目】1．利用物模型、算機件察大批空形，柱、、臺、球的構特點；2．由柱、、臺、球成的幾何合體的構特點；3．能用上述構特點描生活中物體的構．【重點梳理】【高清堂：空幾何體的構394899棱柱的構特點】重點一：棱柱的構特點1、定：一般地，有兩個面相互平行，其他各面都是四形，而且每相兩個四形的公共都相互平行，由些面所成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，稱底；其他各面叫做棱柱的面；相面的公共叫做棱柱的棱．面與底的公共點叫做棱柱的點．棱柱中不在同一平面上的兩個點的叫做棱柱的角．不相的兩條棱所形成的面叫做棱柱的角面．2、棱柱的分：底面是三角形、四形、五形、??的棱柱分叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱??3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各點的字母表示棱柱，以下，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分表示ABCDA1B1C1D1、ABCDEA1B1C1D1E1、ABCDEFA1B1C1D1E1F1；②用棱柱的角表示棱柱，如上，四棱柱可以表示棱柱A1C或棱柱D1B等；五棱柱可表示棱柱AC1、棱柱AD1等；六棱柱可表示棱柱AC1、棱柱AD1、棱柱AE1等．4、棱柱的性：棱柱的棱相互平行.重點：有兩個面相互平行，其他各個面都是平行四形，些面成的幾何體不用然是棱柱．以下所示的幾何體足“有兩個面相互平行，其他各個面都是平行四形”一條件，但它不是棱柱．判斷一個幾何體是不是棱柱，除了看它能否足：“有兩個面相互平行，其他各個面都是平行四形”兩個條件外，要看其他平行四形中“每兩個相的四形的公共都相互平行”即“棱相互平行”一條件，不具一條件的幾何體不是棱柱．【高清堂：空幾何體的構394899棱的構特點】重點二：棱的構特點1、定：有一個面是多形，其他各面是有一個公共點的三角形，由些面所成的幾何體叫做棱．個多形面叫做棱的底面．有公共點的各個三角形叫做棱的面．各面的公共點叫做棱的點．相面的公共叫做棱的棱；2、棱的分：按底面多形的數，可以分三棱、四棱、五棱??；SSSCDDCACBEBAAB3、棱的表示方法：用表示點和底面的字母表示，如四棱SABCD．重點：棱有兩個本特點：1）有一個面是多形；2）其他各面是有一個公共點的三角形，二者缺一不可以．【高清堂：空幾何體的構394899旋體的構特點】重點三：柱的構特點1、定：以矩形的一所在直旋，其他三旋形成的曲面所成的幾何體叫做柱．旋叫做柱的．垂直于的旋而成的曲面叫做柱的底面．平行于的旋而成的曲面叫做柱的面．無旋到什么地點不垂直于的都叫做柱的母．2、柱的表示方法：用表示它的的字母表示，如柱OO/．重點：1）用一個平行于柱底面的平面截柱，截面是一個與底面全等的面．2）柱的的截面是一個矩形，其兩條分是柱的母和底面直徑，柱的的截面平常叫做截面．3）柱的任何一條母都平行于柱的．重點四：的構特點1、定：以直角三角形的直角所在直旋，其他兩旋而成的曲面所成的幾何體叫做．旋叫做的．垂直于的旋而成的曲面叫做的底面．不垂直于的旋而成的曲面叫做的面．無旋到什么地點不垂直于的都叫做的母．2、的表示方法：用表示它的的字母表示，如SO．重點：1）用一個平行于底面的平面去截，截面是一個比底面小的面．2）的的截面是一個等腰三角形，其底是底面的直徑，兩腰是面的兩條母．3）圓錐底面圓周上隨意一點與圓錐極點的連線都是圓錐側面的母線．【高清講堂：空間幾何體的構造394899棱臺的構造特點】重點五：棱臺和圓臺的構造特點１、定義：用一個平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做棱臺(圓臺)；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(圓臺)的下底面和上底面；原棱錐(圓錐)的側面被截去后節余的曲面叫做棱臺(圓臺)的側面；原棱錐的側棱被平面截去后節余的部分叫做棱臺的側棱；原圓錐的母線被平面截去后節余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側面與底面的公共極點叫做棱臺的極點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉而成，所以旋轉的軸叫做圓臺的軸.2、棱臺的表示方法：用各極點表示，如四棱臺3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺重點解說：

ABCDA1B1C1D1；；1）棱臺必然是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可復原為棱錐，即延伸棱臺的全部側棱，它們必訂交于同一點．2）棱臺的上、下底面是相像的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉而成.4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．重點六：球的構造特點1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.重點解說：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面．假如截面經過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；假如截面不經過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為R的球的一個截面圓半徑為r，球心與截面圓的圓心的距離為22d，則有dRr．重點七：特其他棱柱、棱錐、棱臺特其他棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特其他棱錐：假如棱錐的底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四周體；特其他棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；注：簡單幾何體的分類以下表：重點八：簡單組合體的構造特點1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常有的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉體的組合；③旋轉體與旋轉體的組合.①多面體與多面體的組合體由兩個或兩個以上的多面體構成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（合體．

以以以下圖（1）是一個四棱柱與一個3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組②多面體與旋轉體的組合體由一個多面體與一個旋轉體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的．③旋轉體與旋轉體的組合體由兩個或兩個以上的旋轉體組合而成的幾何體稱為旋轉體與旋轉體的組合體．個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（一個圓錐組合而成的．

如圖（1）是由一個球體和一3）是由一個圓臺、一個圓柱和重點九：幾何體中的計算問題幾何體的有關計算中要注意以下方法與技巧：在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側面、等腰三角形中的斜高及高與側棱所構成的兩個直角三角形，有關證明及運算常常與二者有關．正四棱臺中要掌握其對角面與側面兩個等腰梯形中對于上、下底及梯形高的計算，有關問題常常要轉變到這兩個等腰梯形中．其他要可以將正四棱臺、正三棱臺中的高與其斜高、側棱在適合的平面圖形中聯系起來．研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是由于在軸截面中，易找到所需有關元素之間的地點、數目關系．圓柱、圓錐、圓臺的側面張開是把立體幾何問題轉變為平面幾何問題辦理的重要手段之一．圓臺問題有時需要復原為圓錐問題來解決．對于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決；對于球與多面體的切接問題，要適合地采納截面，化“空間”為平面．【經典例題】種類一：簡單幾何體的構造特點例1．判斷以下說法能否正確．1）棱柱的各個側面都是平行四邊形；2）一個n（n≥3）棱柱共有2n個極點；3）棱柱的兩個底面是全等的多邊形；4）假如棱柱有一個側面是矩形，則其他各側面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正確，（4）不正確．【分析】（1）由棱柱的定義可知，棱柱的各側棱相互平行，同一個側面內兩條底邊也相互平行，所以各側面都是平行四邊形．（2）一個n棱柱的底面是一個n邊形，所以每個底面都有n個項點，兩個底面的極點數之和即為棱柱的極點數，即2n個．（3）由于棱柱同一個側面內的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個底面的對應邊平行且相等，故棱柱的兩個底面全等．（4）假如棱柱有一個側面是矩形，只好保證側棱垂直于該側面的底邊，但其他側面的側棱與相應底邊不用然垂直，所以其他側面不用然是矩形．故（1）（2）（3）正確，（4）不正確．【總結升華】解決這種與棱柱、棱錐、棱臺有關的命題真假判斷的問題，其重點在于正確掌握它們的構造特點，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺見解的實質內涵為依據，以詳細實物和圖形為模型來進行判斷．貫串交融：【變式1】以以以下圖中所示幾何體中是棱柱有（）A．1B．2個C．3個D．4個【答案】C【高清講堂：空間幾何體的構造394899同步練習】【變式2】有兩個面相互平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體是棱嗎？【答案】不用然例2．有下邊五個命題：1）側面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；2）側棱都相等的棱錐是正棱錐；3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐；4）正四周體就是正四棱錐；5）極點在底面上的射影既是底面多邊形的心里，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐．此中正確命題的個數是（）．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】A【分析】此題主要察看正棱錐的見解，重點看能否知足定義中的兩個條件．命題（1）中的“各側面都是全等的等腰三角形”其實不可以保證底面是正多邊形，也不可以保證極點在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱錐，以以以下圖（1）中的三棱錐S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，則此三棱錐的各側面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；命題（2）中的“側棱都相等”其實不可以保證底面是正多邊形，以以以下圖（2）中的三棱錐P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DEDF2，EF=1，三條側棱都相等，但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其極點在底面上的射影不用然是底面的中心，如以以下圖（3），從正方體中截取一個四棱錐D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四面體”是正三棱錐．三棱錐中共有4個面，所以三棱錐也叫四周體．四個面都是全等的正三角形的正三棱錐也叫正四周體；命題（5）中的“極點在底面上的射影既是底面多邊形的心里，又是外心”，說了然底面是一個正多邊形，符合正棱錐的定義．貫串交融：【變式1】假如一個面是多邊形，其他各面都是三角形的幾何體必然是棱錐．這種說法能否正確？假如正確說明原因；假如不正確，舉出反例．【答案】不正確．【分析】以以下圖的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合而成，它有一個面是四邊形，其他各面都是三角形，可是該幾何體不是棱錐．例3．判斷以以下圖所示的幾何體是不是臺體？為何？【分析】三個圖都不是臺體．（1）AA1，DD1交于一點，而BB1，CC1交于另一點，此圖不可以復原成錐體，故不是臺體：（2）中面ABCD與面A1B1C1D1不平行，故也不是臺體；（3）中應⊙O與⊙O1不平行，故也不是臺體．【總結升華】判斷一個幾何體能否為臺體，必然緊扣臺體的兩個實質特點：（1）由錐體截得的；（2）截面平行于錐體的底面．即棱臺的兩底面平行，且側棱必然訂交于同一點；圓臺的兩底面平行，且兩底面圓心的連線與兩底面垂直．貫串交融：【變式1】判斷以以以下圖所示的幾何體是不是臺體？為何？【答案】①②③都不是臺體．【分析】由于①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是臺體；固然②是由棱錐所截，但截面不睦底面平行，故不是臺體．只合用平行于錐體底面的平面去截錐體，底面與截面之間的部分才是臺體．④是一個臺體，由于它是用平行于圓錐SO底面的平面截圓錐SO而得的．種類二：幾何體中的基本計算例4．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm2，母線與軸的夾角是45°，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑．【答案】14cm，142cm，7cm和21cm．【分析】圓臺的軸截面以以下圖，設圓臺上、下底面半徑分別為

xcm

和3xcm，延伸AA1交OO1的延伸線于點S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，則∠SAO＝45°．∴SO＝AO＝3xcm，OO12xcm．∴1(6x2x)2x392，解得x＝7，∴圓2臺的高OO114cm，母線長l2OO1142cm，底面半徑分別為7cm和21cm．【總結升華】對于這種旋轉體的有關計算問題，其重點在于作出它們的軸截面（即過旋轉鈾的截面），再把它們轉變為平面幾何問題即可．貫串交融：【變式1】已知圓臺的上、下底面積之比為1：9，圓臺的高為10，求截得圓臺的圓錐的高．【分析】設圓錐的高為h，上、下底半徑為r,R．則rh101，解得h15．Rh3種類三、簡單幾何體的組合體例5．指出以以下圖中的圖形是由哪些簡單幾何體構成的．【分析】切割原圖，使它們的每一部分構成簡單幾何體．（1）是一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的；（2）是一個圓錐和一個四棱柱組合而成的．【總結升華】判斷實物圖是由哪些簡單幾何體所構成的圖形問題，第一要嫻熟掌握簡單幾何體的構造特點，其次要擅長將復雜的組合體“切割”成幾個簡單的幾何體．會鑒識較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，所以我們應注意察看四周的物體，此后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，從而培育我們的空間想象能力和識圖能力．貫串交融：【變式1】以以以下圖，察看以下幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體構成的，并說出它們的主要構造特點．【答案】圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內挖去一個三棱柱構成的幾何體，它有9個面，14個極點，21條棱，擁有四棱柱和三棱柱的構造特點．圖（2）是一個四棱柱和一個底面與該四棱柱上底面重合的四棱錐構成的幾何體，它有9個面，9個極點，16條棱，擁有四棱柱和四棱錐的構造特點．圖（3）是由一個三棱柱和一個底面與該三棱柱的上底面重合的三棱臺構成的幾何體，它有9個極點，8個面，15條棱，擁有三棱柱和三棱臺的構造特點．【變式2】以以以下圖（1）是由圖（2）中的平面圖形（）旋轉獲得的．【答案】A【總結升華】要作出一個平面圖形繞某一條直線旋轉一周所形成的幾何體，一般是先作出這個平面圖形的各極點（假如是半圓形，則取垂直于這條直線的半徑的端點）對于這條直線的對稱點