..第6節電勢差與電場強度的關系【知識要點】要點一公式U＝Ed的適用范圍和電場強度表達式的對比公式U＝Ed雖然是由勻強電場導出來的，但該結論具有普遍意義，盡管該公式一般只適用于勻強電場的計算，但對其他非勻強電場亦可用于定性判斷．下表是電場強度的三個公式對比：公式區別物理含義引入過程適用范圍E＝eq\f(F,q)是電場強度大小的定義式F∝q，E與F、q無關，反映的是電場的性質任何電場E＝keq\f(Q,r2)是真空中點電荷場強的決定式由E＝eq\f(F,q)和庫侖定律導出點電荷形成的電場E＝eq\f(U,d)是勻強電場中場強的決定式由F＝qE和W＝qU導出勻強電場要點二公式E＝U/d的理解和如何把公式應用到非勻強電場中1．公式E＝eq\f(U,d)反映了勻強電場中電場強度與電勢差之間的關系，由公式可知，電場強度的方向就是電場中電勢降低最快的方向．2．公式中d可理解為電場中兩等勢面之間的距離，由此可得出一個結論：在勻強電場中，兩長度相等且相互平行的線段的端點間的電勢差相等．3．對于非勻強電場，用公式E＝eq\f(U,d)可以定性分析某些問題．例如E越大處，等差等勢面距離d越小．因此可以斷定，等勢面越密的地方電場強度也越大．4．E＝eq\f(U,d)適用于勻強電場的計算，但對于某些非勻強電場問題，有時也可以進行定性地分析.【問題探究】1.電場強度、電勢和電勢差的區別與聯系是什么？描述電場的物理量及意義電場強度E電勢φ電勢差UAB電場的力的性質電場的能的性質電場中兩點間對電荷做功的本領對電場中的電荷的描述靜電力F電勢能Ep靜電力做功W相互關系F＝qEEp＝qφW＝qUABW＝－ΔEp，U＝Ed由表中可以看出，電場強度是描述電場的力的性質的物理量，可以理解為已知電場強度，就可以知道任意電荷在該點的受力情況；同理，已知φ時，可得任意電荷在該點的電勢能；已知UAB時，可得到在AB間移動任意電荷時靜電力所做的功．2．電場線是直線的電場有哪些常見情況？(1)點電荷電場(如圖1－6－3所示)圖1－6－3(2)等量異種電荷連線(如圖1－6－4所示)圖1－6－4(3)勻強電場(如圖1－6－5所示)圖1－6－5可見，一條電場線是直線，不一定是勻強電場．只有在勻強電場中可以直接應用U＝Ed，在非勻強電場中只能對有關問題進行定性分析.【例題分析】一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系【例1】圖1－6－6所示是勻強電場中的一組等勢面，若A、B、C、D相鄰兩點間距離都是2cm，則該電場的場強為________V/m，到A點距離為1.5cm的P點電勢為________V.圖1－6－6答案eq\f(1000\r(3),3)－2.5解析因為電場是勻強電場，所以可用E＝eq\f(UBA,d)求解，但必須明確d是指A、B兩點在電場線方向上的距離，且各單位必須用國際單位制中的單位．所以E＝eq\f(UBA,d)＝eq\f(UBA,\x\to(AB)sin60°)＝eq\f(10,0.02×\f(\r(3),2))V/m＝eq\f(1000\r(3),3)V/mUBP＝Eeq\x\to(PB)sin60°＝eq\f(1000,\r(3))×0.005×eq\f(\r(3),2)V＝2.5VφP＝－2.5V二、非勻強電場中的電場線【例2】(1)如圖1－6－7是一非勻強電場，某一電場線上A、B、C三點eq\x\to(AB)＝eq\x\to(BC)，比較UAB和UBC的大小．圖1－6－7(2)如圖1－6－8所示，在同一幅等差等勢面圖中，為什么等勢面越密的地方場強越大？圖1－6－8答案(1)UAB>UBC(2)見解析解析(1)由電場線分布可知，AB段的任一點的場強都大于BC段任一點的場強，故AB段場強的平均值E1大于BC段場強的平均值E2，又UAB＝E1·eq\x\to(AB)；UBC＝E2·eq\x\to(BC)，故UAB>UBC.(2)在同一幅等差等勢面圖中，我們往往把每個相鄰等勢面間的電勢差取一個定值，如果相鄰等勢面的間距越小(等勢面越密)，那么場強E＝U/d就越大.【對點練習】1.下列公式適用于任何電場的是()A．W＝qUB．U＝EdC．E＝eq\f(F,q)D．E＝keq\f(Q,r2)2．如圖1－6－9所示是一個勻強電場的等勢面，圖1－6－9每兩個相鄰等勢面相距2cm，由此可以確定電場強度的方向和數值是()A．豎直向下，E＝100V/mB．水平向左，E＝100V/mC．水平向左，E＝200V/mD．水平向右，E＝200V/m3．如圖1－6－10中圖1－6－10a、b、c是一條電場線上三個點，電場線的方向由a到c，a、b間的距離等于b、c間的距離，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分別表示a、b、c三點的電勢和電場強度，可以斷定()A．φa>φb>φcB．Ea>Eb>EcC．φa－φb＝φb－φcD．Ea＝Eb＝Ec4．如圖1－6－11所示圖1－6－11的勻強電場中有a、b、c三點，eq\x\to(ab)＝5cm，eq\x\to(bc)＝12cm，其中ab沿電場方向，bc和電場方向成60°角．一個電荷量為q＝4×10－8C的正電荷從a移到b，靜電力做功為W1＝1.2×10－7J．求：(1)勻強電場的場強．(2)電荷從b移到c，靜電力做的功．(3)a、c兩點間的電勢差．【常見題型】題型一利用勻強電場中電場線和等勢面的關系求解問題勻強電場中有a、b、c三點，在以它們為頂點的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°.電場方向與三角形所在平面平行．已知a、b和c點的電勢分別為(2－eq\r(3))V、(2＋eq\r(3))V和2V．該三角形的外接圓上最低電勢、最高電勢分別為()A．(2－eq\r(3))V、(2＋eq\r(3))VB．0V、4VC．(2－eq\f(4\r(3),3))V、(2＋eq\f(4\r(3),3))VD．0V、eq\r(3)V[思維步步高]作出三點位置關系圖象．在勻強電場中電場線和等勢面的分布情況是什么樣的？直角三角形內各個邊之間的數值關系是什么？如何找出等勢線從而找出電場線？[解析]如右圖所示，根據勻強電場的電場線與等勢面都是平行等間距排列，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢均勻降落，取ab的中點O，即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為2V，故Oc為等勢面，MN為電場線，方向為MN方向，，UON∶UOP=2∶，故UON=2V，N點電勢為零，為最低電勢點，同理M點電勢為4V，為最高電勢點．[答案]B[拓展探究]如圖1所示，圖1在地面上方有一個勻強電場，在該電場中取點O作為圓心，以R＝10cm為半徑，在豎直平面內做一個圓，圓平面平行于勻強電場的電場線，在O點固定一個電荷量為Q＝－5×10－4C的電荷．當把一個質量為m＝3g，電荷量為q＝2×10－10C帶電小球放在圓周上的a點時，它恰好能靜止不動，那么勻強電場的電場線跟Oa線夾角為________．若將帶電小球從a點緩慢移到圓周上最高點b，外力做功W＝________J.[答案]arctaneq\f(1,3)9×10－3[解析]分析帶電粒子的受力，粒子受到自身的重力，方向豎直向下，圓心處電荷的吸引力和勻強電場的靜電力，三個力處于平衡狀態，根據三力平衡之間的關系求出相應的角度，在移動電荷的過程中，圓心處電荷對電荷不做功，有靜電力做功和重力做功．[方法點撥]確定電場線可以用等勢面，根據是電場線和等勢面垂直；同樣，判斷等勢面也可以用電場線，理由相同，這是高考在電場知識的考查的主要方向之一.題型二公式E＝eq\f(U,d)的理解勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，圖2AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖2所示．已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V．設場強大小為E，一電荷量為1×10－6C的正電荷從D點移到C點靜電力所做的功為W，則(A．W＝8×10－6J，E>8V/mB．W＝6×10－6J，E>6V/mC．W＝8×10－6J，E≤8V/mD．W＝6×10－6J，E≤6V/m[思維步步高]D點電勢跟A、B兩點間的電勢有什么關系？怎樣根據這個關系求出D點的電勢？從D移動到C靜電力做功和什么因素有關？怎樣求解靜電力做的功？電場線的方向怎樣確定？AB方向是不是電場線方向？[解析]電場是勻強電場，所以AB中點處D點的電勢是AB間電勢的中間值，為10V，DC間的電勢差為8V，靜電力做功W＝qUDC＝8×10－6J；由圖及各點電勢可知，電場線不平行于AB，根據E＝eq\f(U,d)，其中d為沿著電場線方向的距離，所以電場強度E>eq\f(UAB,\x\to(AB))＝8V/m.[答案]A[拓展探究]a、b、c、d是勻強電場中的四個點，圖3它們正好是一個矩形的四個頂點．電場線與矩形所在的平面平行．已知a點的電勢是20V，b點的電勢是24V，d點的電勢是4V．如圖3所示，由此可知，c點的電勢為()A．4VB．8VC．12VD．24V[答案]B[解析]勻強電場中，ab之間的電勢差等于dc之間的電勢差，可知c點電勢為8V.[方法點撥]在勻強電場中，電勢差和電場強度存在E＝eq\f(U,d)，但要注意的是d不是兩點之間的距離，而是兩點所處等勢面的距離，或者說是兩點沿著電場線方向的距離.【課后作業】一、選擇題1．下列說法正確的是()A．勻強電場中各處場強相等，電勢也相等B．等勢體各點電勢相等，場強也相等C．沿電場線方向電勢一定越來越低D．電勢降低的方向就是電場線的方向2．下列關于勻強電場中場強和電勢差的關系，正確的說法是()A．在相同距離上的兩點，電勢差大的其場強也必定大B．場強在數值上等于每單位距離上的電勢降落C．沿著電場線方向，任何相同距離上的電勢降落必定相等D．電勢降低的方向必定是電場強度的方向3．下圖中，A、B、C是勻強電場中的三個點，各點電勢φA＝10V、φB＝2V、φC＝6V，A、B、C三點在同一平面上，下列各圖中電場強度的方向表示正確的是()4．如圖4所示，勻強電場場強E＝100V/m，A、B兩點相距10cm，A、B連線與電場線夾角為60°，則UBA之值為()圖4A．－10VB．10VC．－5VD．－5eq\r(3)V5．如圖5所示，圖5A、B、C三點都在勻強電場中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20cm，把一個電荷量q＝10－5C的正電荷從A移到B，靜電力做功為零；從B移到C，靜電力做功為－1.73×10－3J，則該勻強電場的場強大小和方向為(A．865V/m，垂直AC向左B．865V/m，垂直AC向右C．1000V/m，垂直AB斜向上D．1000V/m，垂直AB斜向下6．如圖6所示，圖6在沿著x軸正方向的勻強電場E中，有一動點A以O點為圓心、以r為半徑逆時針轉動，θ為OA與x軸正方向之間的夾角，則O、A兩點之間的電勢差為()A．UOA＝ErB．UOA＝ErsinθC．UOA＝ErcosθD．UOA＝eq\f(E,rcosθ)7．如圖7所示，圖7在電場強度E＝2×103V/m的勻強電場中有三點A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且MA邊平行于電場線，把一電荷量q＝2×10－9C的正電荷從B移動到M點，再從M點移動到A點，靜電力做功為()A．0.16×10－6JB．0.12×10－6JC．－0.16×10－6JD．－0.12×10－6J二、計算論述題8．如圖8所示，圖8MN板間勻強電場E＝2.4×104N/C，方向豎直向上．電場中A、B兩點相距10cm，AB連線與電場方向夾角θ＝60°，A點和M板相距2cm.(1)此時UBA等于多少？(2)一點電荷Q＝5×10－8C，它在A、B兩點電勢能之差為多少？若M板接地，A點電勢是多少？B9.圖9在一個勻強電場中有A、B、C三點，AB長為5cm，AC長為3cm，BC長為4cm，如圖9所示．電場強度方向平行于紙面，電子在靜電力作用下由C運動到A，動能減少120eV，質子在靜電力作用下由C運動至B，動能增加120eV，求該勻強電場的大小和方向．10．如圖10所示的電場，圖10等勢面是一簇互相平行的豎直平面，間隔均為d，各等勢面的電勢已在圖中標出．現有一質量為m的帶電小球以速度v0、方向與水平方向成45°角斜向上射入電場，要使小球做直線運動．問：(1)小球應帶何種電荷？電荷量是多少？(2)在入射方向上小球最大位移是多少？(電場足夠大)

參考答案【對點練習】1.答案AC2.答案B解析電場線和等勢面的關系是相互垂直的，所以電場線是水平方向的，又因為電勢隨著電場線方向逐漸降低，所以電場強度方向水平向左．根據E＝eq\f(U,d)＝eq\f(2V,2×10－2m)＝100V/m.3.答案A解析一條電場線可以判斷電勢的高低，但是不能判斷場強的大小．因為一條電場線無法確定疏密程度．4.答案(1)60V/m(2)1.44×10－7J(3)6.6V解析(1)設a、b間距離為d，由題設條件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝eq\f(W1,qd)＝eq\f(1.2×10－7,4×10－8×5×10－2)V/m＝60V/m.(2)W2＝qEeq\x\to(bc)·cos60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5J＝1.44×10－7J(3)電荷從a移到c靜電力做功：W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝eq\f(W1＋W2,q)＝eq\f(1.2×10－7＋1.44×10－7,4×10－8)V＝6.6V【課后作業】一、選擇題1.答案C2.答案C3.答案D4.答案C5.答案D解析把電荷q從A移到B，靜電力不做功，說明A、B兩點在同一等勢面上，因該電場為勻強電場，等勢面應為平面，故圖中直線AB即為等勢線，場強方向應垂直于直線AB，可見，選項A、B不正確．UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(－1.73×10－3,10－5)V＝－173VB點電勢比C點低173V，因電場線指向電勢降低的方向，所以場強方向必垂直于AB斜向下，場強大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(U,\x\to(BC)sin60°)＝eq\f(173,0.2×\f(\r(3),2))V/m＝1000V/m6.答案C解析OA之間沿電場線方向的距離是d＝rcosθ，根據U＝Ed＝Ercosθ，選項C正確．7.答案C二、計算題8.答案(1)－1200V(2)6×10－5J－480V－1680V解析(1)在勻強電場中等勢面與電場線垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA為負值．又因為在勻強電場中E＝eq\f(U,d)，則UAB＝E·dAB.題目中已知AB連線與電場線夾角60°，則AB連線與等勢面夾角為30°，dAB＝xAB·sin30°＝eq\f(1,2)xAB＝5cm＝0.05m，UAB＝2.4×104×0.05V＝1200V，則UBA＝－1200V.(2)正電荷在電勢高處電勢能大，電勢能差為：ΔEp＝EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8C×1200V＝6×10－5J．若M板接地，M板電勢為0，A點電勢比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝48