簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的運(yùn)動方程取不同形式時，振動特點(diǎn)不同其中簡諧激勵為最簡單的激勵形式單自由度運(yùn)動微分方程的一般形式強(qiáng)迫振動的運(yùn)動方程取不同形式時，振動特點(diǎn)不同其中簡諧激勵為最其中,為相應(yīng)齊次方程的解瞬態(tài)響應(yīng)為方程的特解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)運(yùn)動微分方程的解簡諧激勵下的響應(yīng)（有阻尼系統(tǒng)中該項解將逐漸消失）其中,為相應(yīng)齊次方程的解振動的時域波形振動的時域波形一、無阻尼情形無阻尼情形的運(yùn)動方程瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：代入運(yùn)動方程，得到振幅：因此，總振動的一般形式為：一、無阻尼情形無阻尼情形的運(yùn)動方程瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的放大系數(shù)與靜位移總振動方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)得到總振動的表達(dá)式振幅放大系數(shù)（幅值比）靜位移無量綱頻率比穩(wěn)態(tài)解的振幅X通常可表達(dá)成其中：X放大系數(shù)與靜位移總振動方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)得無阻尼系統(tǒng)幅頻特性無阻尼系統(tǒng)幅頻特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性總響應(yīng)總響應(yīng)共振由羅比塔法則此時共振由羅比塔法則此時簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性Case4:ωn≈ω設(shè)激勵頻率與固有頻率接近，則：令，為一小正數(shù)。則：Case4:ωn≈ω設(shè)激勵頻率與固有頻率接近，則：令因此有：激勵頻率與固有頻率接近可變幅值幅值變化周期為出現(xiàn)拍的現(xiàn)象因此有：激勵頻率與固有頻率接近可變幅值幅值變化周期為出現(xiàn)拍的激勵頻率與固有頻率接近拍振周期：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對應(yīng)的時間拍頻：激勵頻率與固有頻率接近拍振周期：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對應(yīng)的拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象wehaveωn-ω=2εPeriodofbeating:?Max.Amplitude:?拍的現(xiàn)象激勵頻率與固有頻率比不同時的情況wehaveωn-ω=2εPeriodofbeati如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=0Ns/m,andk=2000N/m.如果F(t)=10sin(20t)(N),所有初條件為零,求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)=?SolutionTheequationofmotion:例（1）問題描述

如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=0Ns/mParticularsolution:Substituteaboveequationsinequationofmotiontoobtain例（1）Particularsolution:SubstituteThesolution:

AandBaredeterminedusingtheinitialconditionsHence,thecompleteresponseoftheundampedsystemis例（1）Thesolution:AandBaredetThesolution:詳細(xì)推導(dǎo)例（1）Thesolution:詳細(xì)推導(dǎo)例（1）二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項相等幅頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題！！全解！二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：力函數(shù)和響應(yīng)相位差力函數(shù)和響應(yīng)相位差VectorrelationshipForceAmplitudePhaseAngleExcitationF(t)F00oRestoringkX0LagF(t)

DampingExceedx

(t)90oInertiamω2X0Exceedx

(t)180o穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性cωX0VectorrelationshipForceAmplit(Stiffnessdomination)Vectorrelationship穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的低頻特性（習(xí)慣表達(dá)方式）（外力主要與彈性力平衡）若(Stiffnessdomination)Vecto(Inertiadomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻特性（外力主要與慣性力平衡）(Inertiadomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻特性（(Dampingdomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（共振時，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）(Dampingdomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性振幅達(dá)到最大值時的頻率振幅達(dá)到最大值時的頻率受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏移，對于小阻尼ζ(i.e.,forlightdamping).相位特性和振幅一樣，振幅達(dá)到最大值時的頻率受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏相位差

自由振動受迫振動應(yīng)該注意，這里的相位差是表示響應(yīng)滯后于激勵的相位角，不應(yīng)與自由振動的初相位相混淆兩者主要區(qū)別：初相位取決于初始位移與初始速度的相對大小；相位差反映響應(yīng)相對于激勵力的滯后效應(yīng)，是由系統(tǒng)本身具有阻尼引起的。相位差特性相位差自由振動相頻曲線相頻曲線總響應(yīng)系統(tǒng)總響應(yīng)為：式中為阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，與自由振動的表達(dá)式相同。因此欠阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)為：其中瞬態(tài)響應(yīng)的幅值和相位可通過將初始條件代入上式予以確定，即聯(lián)立求解以下方程獲得：總響應(yīng)系統(tǒng)總響應(yīng)為：式中為阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)問題描述

（1）當(dāng)外激勵

F(t)=10sin(10t)(N),求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x2(t)=?（2）當(dāng)

F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值條件為零，即

x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬態(tài)解及總響應(yīng)

x(t)?當(dāng)

t=1s,2s,3s時，瞬態(tài)響應(yīng)x1(t)的幅值及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

x2(t)的幅值

如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.例（2）問題描述（1）當(dāng)外激勵F(t)=10sin(10t)(N建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。建模作受力分析圖例（2）代入m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)F(t)=10sin(10t)，求頻率及放大系數(shù)

例（2）F(t)=10sin(10t)，求頻率及放大系數(shù)例（2例（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值及相角例（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值及相角問題2，求瞬態(tài)響應(yīng)例（2）問題2，求瞬態(tài)響應(yīng)例（2）問題2，總響應(yīng)的最終形式例（2）注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！問題2，總響應(yīng)的最終形式例（2）注意：即使初始條件均為零Amplitudeofx2(t)=6.61mmt=1s,Amplitudeofx1=0.45mmt=2s,Amplitudeofx1=0.061mmt=3s,Amplitudeofx1=8×10-3mm問題3

例（2）衰減Amplitudeofx2(t)=6.61mmt=1s有、無阻尼系統(tǒng)對比無阻尼有阻尼無阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有、無阻尼系統(tǒng)對比無阻尼有阻尼無阻尼系統(tǒng)的一般激勵下的響應(yīng)特性一般激勵下的響應(yīng)特性沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在t=0時受到一個單位沖量作用:沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為我們有:稱為

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是而不是1，那么初始速度變?yōu)榇藭r系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量是作用在任意時刻處，則該時刻速度變化為。假設(shè)沖量作用前，則系統(tǒng)響應(yīng)為脈沖發(fā)生的時刻對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是而不是1，那么初對任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。對一般力的響應(yīng)假設(shè)在時刻，力在很短的時間作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻的沖量就是，對于任意時刻，沖量發(fā)生的時間為，則該沖量在時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:對任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的則系統(tǒng)在

t

時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的響應(yīng)的疊加：對一般力的響應(yīng)將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式代入，得式中的積分稱作杜哈梅積分或

卷積令，并用積分代替求和，可得上面兩式即為單自由度欠阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)。則系統(tǒng)在t時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的例子例子例子有阻尼系統(tǒng)，套用杜哈梅積分公式無阻尼系統(tǒng)有例子有阻尼系統(tǒng)，套用杜哈梅積分公式無阻尼系統(tǒng)有例子例子小結(jié)強(qiáng)迫振動與自由振動的區(qū)別強(qiáng)迫振動解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解+瞬態(tài)解穩(wěn)態(tài)解在不同無量綱頻段的表現(xiàn)形式有阻尼時的表現(xiàn)形式無阻尼時的拍振現(xiàn)象（激勵頻率接近固有頻率）共振現(xiàn)象一般激勵下響應(yīng)的求取小結(jié)強(qiáng)迫振動與自由振動的區(qū)別作業(yè)(page42,43)2-7,2-10,2-14作業(yè)演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的運(yùn)動方程取不同形式時，振動特點(diǎn)不同其中簡諧激勵為最簡單的激勵形式單自由度運(yùn)動微分方程的一般形式強(qiáng)迫振動的運(yùn)動方程取不同形式時，振動特點(diǎn)不同其中簡諧激勵為最其中,為相應(yīng)齊次方程的解瞬態(tài)響應(yīng)為方程的特解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)運(yùn)動微分方程的解簡諧激勵下的響應(yīng)（有阻尼系統(tǒng)中該項解將逐漸消失）其中,為相應(yīng)齊次方程的解振動的時域波形振動的時域波形一、無阻尼情形無阻尼情形的運(yùn)動方程瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：代入運(yùn)動方程，得到振幅：因此，總振動的一般形式為：一、無阻尼情形無阻尼情形的運(yùn)動方程瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的放大系數(shù)與靜位移總振動方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)得到總振動的表達(dá)式振幅放大系數(shù)（幅值比）靜位移無量綱頻率比穩(wěn)態(tài)解的振幅X通常可表達(dá)成其中：X放大系數(shù)與靜位移總振動方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)得無阻尼系統(tǒng)幅頻特性無阻尼系統(tǒng)幅頻特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性總響應(yīng)總響應(yīng)共振由羅比塔法則此時共振由羅比塔法則此時簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性Case4:ωn≈ω設(shè)激勵頻率與固有頻率接近，則：令，為一小正數(shù)。則：Case4:ωn≈ω設(shè)激勵頻率與固有頻率接近，則：令因此有：激勵頻率與固有頻率接近可變幅值幅值變化周期為出現(xiàn)拍的現(xiàn)象因此有：激勵頻率與固有頻率接近可變幅值幅值變化周期為出現(xiàn)拍的激勵頻率與固有頻率接近拍振周期：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對應(yīng)的時間拍頻：激勵頻率與固有頻率接近拍振周期：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對應(yīng)的拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象wehaveωn-ω=2εPeriodofbeating:?Max.Amplitude:?拍的現(xiàn)象激勵頻率與固有頻率比不同時的情況wehaveωn-ω=2εPeriodofbeati如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=0Ns/m,andk=2000N/m.如果F(t)=10sin(20t)(N),所有初條件為零,求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)=?SolutionTheequationofmotion:例（1）問題描述

如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=0Ns/mParticularsolution:Substituteaboveequationsinequationofmotiontoobtain例（1）Particularsolution:SubstituteThesolution:

AandBaredeterminedusingtheinitialconditionsHence,thecompleteresponseoftheundampedsystemis例（1）Thesolution:AandBaredetThesolution:詳細(xì)推導(dǎo)例（1）Thesolution:詳細(xì)推導(dǎo)例（1）二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項相等幅頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題！！全解！二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：力函數(shù)和響應(yīng)相位差力函數(shù)和響應(yīng)相位差VectorrelationshipForceAmplitudePhaseAngleExcitationF(t)F00oRestoringkX0LagF(t)

DampingExceedx

(t)90oInertiamω2X0Exceedx

(t)180o穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性cωX0VectorrelationshipForceAmplit(Stiffnessdomination)Vectorrelationship穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的低頻特性（習(xí)慣表達(dá)方式）（外力主要與彈性力平衡）若(Stiffnessdomination)Vecto(Inertiadomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻特性（外力主要與慣性力平衡）(Inertiadomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻特性（(Dampingdomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（共振時，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）(Dampingdomination)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性振幅達(dá)到最大值時的頻率振幅達(dá)到最大值時的頻率受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏移，對于小阻尼ζ(i.e.,forlightdamping).相位特性和振幅一樣，振幅達(dá)到最大值時的頻率受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏相位差

自由振動受迫振動應(yīng)該注意，這里的相位差是表示響應(yīng)滯后于激勵的相位角，不應(yīng)與自由振動的初相位相混淆兩者主要區(qū)別：初相位取決于初始位移與初始速度的相對大小；相位差反映響應(yīng)相對于激勵力的滯后效應(yīng)，是由系統(tǒng)本身具有阻尼引起的。相位差特性相位差自由振動相頻曲線相頻曲線總響應(yīng)系統(tǒng)總響應(yīng)為：式中為阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，與自由振動的表達(dá)式相同。因此欠阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)為：其中瞬態(tài)響應(yīng)的幅值和相位可通過將初始條件代入上式予以確定，即聯(lián)立求解以下方程獲得：總響應(yīng)系統(tǒng)總響應(yīng)為：式中為阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)問題描述

（1）當(dāng)外激勵

F(t)=10sin(10t)(N),求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x2(t)=?（2）當(dāng)

F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值條件為零，即

x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬態(tài)解及總響應(yīng)

x(t)?當(dāng)

t=1s,2s,3s時，瞬態(tài)響應(yīng)x1(t)的幅值及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

x2(t)的幅值

如右圖所示的單自由度系統(tǒng):m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.例（2）問題描述（1）當(dāng)外激勵F(t)=10sin(10t)(N建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。建模作受力分析圖例（2）代入m=5kg,c=20Ns/m,andk=2000N/m.建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)F(t)=10sin(10t)，求頻率及放大系數(shù)

例（2）F(t)=10sin(10t)，求頻率及放大系數(shù)例（2例（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值及相角例（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值及相角問題2，求瞬態(tài)響應(yīng)例（2）問題2，求瞬態(tài)響應(yīng)例（2）問題2，總響應(yīng)的最終形式例（2）注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！問題2，總響應(yīng)的最終形式例（2）注意：即使初始條件均為零Amplitudeofx2(t)=6.61mmt=1s,Amplitudeofx1=0.45mmt=2s,Amplitudeofx1=0.061mmt=3s,Amplitudeofx1=8×10-3mm問題3

例（2）衰減Amplitudeofx2(t)=6.61mmt=1s有、無阻尼系統(tǒng)對比無阻尼有阻尼無阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有、無阻尼系統(tǒng)對比無阻尼有阻尼無阻尼系統(tǒng)的一般激勵下的響應(yīng)特性一般激勵下的響應(yīng)特性沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在t=0時受到一個單位沖量作用:沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為則