第二講：曲線運(yùn)動(dòng)第二講：曲線運(yùn)動(dòng)一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運(yùn)動(dòng)問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法概述一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲四、常見的曲線運(yùn)動(dòng)形式1.基本形式（1）拋體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)（2）圓周運(yùn)動(dòng)2.比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)（1）螺旋運(yùn)動(dòng)平面螺旋螺距運(yùn)動(dòng)（2）漂移圓周運(yùn)動(dòng)四、常見的曲線運(yùn)動(dòng)形式1.基本形式（1）拋體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)斜拋v2v1xpRxyO

Hh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點(diǎn)水平拋出，起拋點(diǎn)離水平地面的高度為H，水平速度分別為v1和v2（v1>v2）。球1拋出后剛好能越過位于xp處的豎直桿頂端，并落于地面上的R點(diǎn)，R點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為R。球2拋出后落于地面，與地面做彈性碰撞，反彈后也剛好能越過桿頂，并落在同一點(diǎn)R。試求：（1）兩球初速度的比值；（2）桿的位置xp；（3）桿的高度h。一．平拋運(yùn)動(dòng)v2v1xpRxyOHh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點(diǎn)評(píng)一：平拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一圖象描述：（2）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)豎直方向：自由落體（3）運(yùn)動(dòng)規(guī)律：水平方向：豎直方向：點(diǎn)評(píng)一：平拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一（4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程軌跡方程運(yùn)動(dòng)方程P(x,y)xOyxy（4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程軌跡方程運(yùn)動(dòng)方程P(x,y)xOyxxyOxyOxyOHxyOHaxyOxyOxyOHxyOHa7（5）兩點(diǎn)討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyOv方向：β（5）兩點(diǎn)討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyO8（6）二級(jí)結(jié)論表述方式一：

平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速度方向與水平方向夾角的正切值，等于從運(yùn)動(dòng)開始到這一時(shí)刻物體的位移方向與水平方向夾角正切值的二倍。（6）二級(jí)結(jié)論表述方式一：平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速9表述方式之二：

平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速度的反向延長(zhǎng)線與初速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，是這段時(shí)間內(nèi)物體水平位移的中點(diǎn)。證明：如圖所示，任取點(diǎn)P，作其切線的反向延長(zhǎng)線交x軸與A點(diǎn)簡(jiǎn)化表述方式：交點(diǎn)是中點(diǎn)xyOvPAy表述方式之二：平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速v2v1xpRxyO

Hh點(diǎn)評(píng)二：此題中小球的軌跡方程點(diǎn)評(píng)三：運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性分析R/32R/3小球1：起拋點(diǎn)、桿的頂端、落地點(diǎn)R；小球2：起拋點(diǎn)；第一次落地點(diǎn)：桿的頂端；反彈到最高點(diǎn)：落地點(diǎn)R。v2v1xpRxyOHh點(diǎn)評(píng)二：此題中小球的軌跡方程點(diǎn)評(píng)三解析：v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（1）由平拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程有：球1：球2：落地點(diǎn)坐標(biāo)：（R，0）①第一次落地點(diǎn)坐標(biāo)：（R/3，0）②解析：v2v1xpRxyOHhR/32R/3（1）由平拋運(yùn)v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（2）球2反彈后的軌跡方程：式中球1：舍去v2v1xpRxyOHhR/32R/3（2）球2反彈后的軌v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（3）球1：兩個(gè)特殊點(diǎn)：（xp，h）和（R，0）v2v1xpRxyOHhR/32R/3（3）球1：兩個(gè)特殊例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，落到斜面上，不計(jì)空氣阻力，試討論下列問題：（1）小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（2）小球離斜面的最大高度；（3）證明小球落到斜面上時(shí)的速度方向與水平初速度v0無關(guān)。v0θ例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運(yùn)動(dòng)分解為：x軸方向：初速度？加速度？y軸方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（2）小球離斜面的最大高度（3）證明v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運(yùn)動(dòng)分解為：x軸例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)下進(jìn)行投擲訓(xùn)練。（1）若已知手榴彈出手時(shí)速率為v0，與水平方向的夾角為θ，則手榴彈在空中運(yùn)動(dòng)的最小速率為多少？（2）若已知手榴彈出手時(shí)速率為v0，則其與水平方向夾角為多少時(shí)射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？（3）若已知目標(biāo)離投擲點(diǎn)（手榴彈脫手時(shí)的位置）的水平距離為s，豎直高度為h，手榴彈質(zhì)量為m。要準(zhǔn)確命中目標(biāo)，對(duì)手榴彈至少要做多少功？（以上過程中，均忽略空氣阻力。）二．斜拋運(yùn)動(dòng)例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)xyθv0點(diǎn)評(píng)：斜拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)分析（1）運(yùn)動(dòng)的分解水平方向：豎直方向：（2）空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（3）射程X和射高Y（4）極值討論當(dāng)θ=450時(shí)，（5）軌跡方程當(dāng)θ=900時(shí)，XY1sinαtanαsecαcosαctgαcscαxyθv0點(diǎn)評(píng)：斜拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)分析（1）運(yùn)動(dòng)的分解水平方向：豎18（1）手榴彈做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其初速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，則有：解析：當(dāng)手榴彈運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向的分速率為零，此時(shí)速率最小，其值為：（2）設(shè)手榴彈出手時(shí)速度與水平地面的夾角為θ，空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，射程為L(zhǎng)，則有：因此，當(dāng)θ=450時(shí)，射程最遠(yuǎn)。最遠(yuǎn)射程為：（1）手榴彈做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其初速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，（3）設(shè)的手榴彈出手時(shí)速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投擲點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為y軸正方向，則t時(shí)刻手榴彈的位置坐標(biāo)為：因手榴彈準(zhǔn)確命中目標(biāo)，故目標(biāo)位置滿足位置方程，即：消除參數(shù)t，得：即：故要對(duì)手榴彈做功的最小值為（3）設(shè)的手榴彈出手時(shí)速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一個(gè)石子，求拋射角為多少時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t當(dāng)時(shí)，x2有極值，x有極值xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t當(dāng)時(shí)，x2有極值，xxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時(shí)刻t當(dāng)y=-h時(shí)，x=s再用輔助角公式求解xyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時(shí)刻t當(dāng)y=-h時(shí)，x=s再解法四：將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為v0方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)其位移矢量圖如右所示v0ty由圖可知：x其他與解法一相同。解法四：將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為v0方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)其位解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量圖的面積v0vgtvx因初速v0、末速v均為定值，顯然當(dāng)二者夾角為900時(shí)，S最大，因而x最大，所以有：解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達(dá)到最高點(diǎn)爆炸。設(shè)各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸開，試證明各碎片在下落過程中始終保持在同一球面上面，并求球面半徑與球心位置隨時(shí)間變化的規(guī)律（忽略空氣阻力）。v0v0xv0yv0zzxyo點(diǎn)評(píng):（1）速度的分解（2）運(yùn)動(dòng)分析X方向：Y方向：Z方向：例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達(dá)到最高點(diǎn)爆炸。設(shè)各碎片以相同的速v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸時(shí)刻為零時(shí)刻，爆炸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，對(duì)任一碎片在時(shí)刻t，其位置坐標(biāo)為：式中0為任一碎片的初速率，與拋射角無關(guān)，對(duì)于每一給定時(shí)間t，上述方程式是一個(gè)球面方程，球面半徑R=0t，即R隨時(shí)間t成正比不斷增大，球心位置為（0，0，

），表明球心位置始終保持在z軸上，且隨時(shí)間以重力加速度g加速下降。v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸例6.初速度為v0

的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．v0v0xv0yv0zzxyo點(diǎn)評(píng)：建立圖中直角坐標(biāo)系，設(shè)v0與xoy平面的夾角為θ，對(duì)任一時(shí)刻t有：θ例6.初速度為v0的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時(shí)，必滿足包絡(luò)線方程為整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時(shí)，必滿例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾角為θ的斜面的底角處做斜上拋運(yùn)動(dòng)。為使物體從斜面體頂角處切過，并落在傾角為Φ的斜面底角處，則物體的拋射角α與傾角θ、Φ應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用簡(jiǎn)單形式寫出）θΦhv0α例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度為h，則其頂點(diǎn)和右側(cè)底端坐標(biāo)分別為（hcotθ,h）和[h(cotθ+cotΦ),0]θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度θv0s例8．軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士自距離墻壁s處以速度v0起跳，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上運(yùn)動(dòng)而繼續(xù)升高。若墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ，求能使人體重心有最大總升高的起跳角θ是多少？解析：

設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達(dá)墻面所用時(shí)間為t，到達(dá)墻面處時(shí)，人的速度的水平分量為vx，豎直分量為vy，則：這一過程，人的重心升高為：θv0s解析：設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達(dá)墻腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動(dòng)量增加，由動(dòng)量定理有：由題意知，正壓力的沖量恰可使人的水平分動(dòng)量變?yōu)榱悖矗阂蚨?蹬墻后，人的重心速度變?yōu)樨Q直向上的方向，以v’y表示，則有：人體以此速度繼續(xù)升高，其升高量為：則全過程人體的總升高量為腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時(shí)，H有最大值為：上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時(shí)，H有最大值為：例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在水平地面上，盤與地面間無摩擦。圓盤中心處有一只質(zhì)量為m的小青蛙（可處理成質(zhì)點(diǎn)），小青蛙將從靜止跳出圓盤。為解答表述一致，將青蛙跳起后瞬間相對(duì)地面的水平分速度記為vx，豎直向上的分速度記為vy，合成的初始速度大小記為v，將圓盤后退的速度記為u。（1）設(shè)青蛙跳起后落地點(diǎn)在落地時(shí)的圓盤外。（1.1）對(duì)給定的vx，可取不同的vy，試導(dǎo)出跳起過程中青蛙所作功W的取值范圍，答案中可包含的參量為M、R、m、g（重力加速度）和vx。（1.2）將（1.1）問所得W取值范圍的下限記為W0，不同的vx對(duì)應(yīng)不同的W0值，試導(dǎo)出其中最小者Wmin，答案中可包含的參量為M、R、m和g。（2）如果在原圓盤邊緊挨著另外一個(gè)相同的靜止空?qǐng)A盤，青蛙從原圓盤中心跳起后瞬間，相對(duì)地面速度的方向與水平方向夾角為45°，青蛙跳起后恰好能落在空?qǐng)A盤的中心。跳起過程中青蛙所作功記為W’，試求W’與（1.2）問所得Wmin間的比值γ=W’/Wmin，答案中可包含的參量為M和m。例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在36（1.1）水平方向動(dòng)量守恒，青蛙落地點(diǎn)在圓盤外，有：解析：

mvx=Mu

①②

（2分）③

（1分）④

（1分）⑤

（1分）得：故得W取值范圍為：⑥

（1分）（1.1）水平方向動(dòng)量守恒，青蛙落地點(diǎn)在圓盤外，有：解析：37（1.2）由⑥式得：⑦

（3分）由均值不等式有：所以有：⑧

（3分）（1.2）由⑥式得：⑦（3分）由均值不等式有：所以有38（２）依題意得：

⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）所求比值為：（1分）（２）依題意得：⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）39例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）。為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出。物塊拋出時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度的大小u是給定的，物塊拋出后，物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。(1)若運(yùn)動(dòng)員在跳遠(yuǎn)的全過程中的某時(shí)刻to把物塊沿與x軸負(fù)方向成某θ角的方向拋出，求運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間。(2)在跳遠(yuǎn)的全過程中，運(yùn)動(dòng)員在何處把物塊沿與x軸負(fù)方向成θ角的方向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若v0和u一定，在什么條件下可跳得最遠(yuǎn)？并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最大距離。xyＯv0a例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊xyＯv0a點(diǎn)評(píng)：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化（１）從起跳到t0時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)員做斜拋運(yùn)動(dòng)；（２）拋物塊的過程：動(dòng)量守恒（３）拋后的運(yùn)動(dòng)：新的斜拋運(yùn)動(dòng)PvpxvpyxyＯv0a點(diǎn)評(píng)：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化（１）從起跳到t0時(shí)刻，運(yùn)解析：xyＯv0a（1）運(yùn)動(dòng)員起跳為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t0時(shí)刻到達(dá)圖中P點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），速度v的分量為vpx和vpy，則有：Pvpxvpy解析：xyＯv0a（1）運(yùn)動(dòng)員起跳為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t0時(shí)刻到達(dá)xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度為V，分量為Vpx和Vpy，物塊相對(duì)于運(yùn)動(dòng)員的速度u的分量為ux和uy，uθ由動(dòng)量守恒定律有：xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度拋出物塊后，運(yùn)動(dòng)員沿新的拋物線運(yùn)動(dòng)，其初速度為Vpx和Vpy，在t（

）時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員的位置和速度分別為：xyＯv0aPvpxvpyuxuy拋出物塊后，運(yùn)動(dòng)員沿新的拋物線運(yùn)動(dòng)，其初速度為Vpx和Vpy運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，上式中取正號(hào)，得：運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，上式中取正號(hào)，得：（２）因?yàn)椋猴@然，當(dāng)t0=0時(shí)，x最大，即拋出點(diǎn)坐標(biāo)為：即在剛起跳時(shí)把物塊拋出，運(yùn)動(dòng)員可跳得遠(yuǎn)一點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)員自起跳至落地所經(jīng)歷的時(shí)間為（２）因?yàn)椋猴@然，當(dāng)t0=0時(shí)，x最大，即拋出點(diǎn)坐標(biāo)為：即在運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)的距離當(dāng)：時(shí)，x有最大值運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)的距離當(dāng)：時(shí)，x有最大值三．圓周運(yùn)動(dòng)θ

R

1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)

O xy AvA

vB

BΔθ角速度線速度加速度ORAvBv△v三．圓周運(yùn)動(dòng)θ R 1.勻速圓周運(yùn)動(dòng) O xy Av2.變速圓周運(yùn)動(dòng)角加速度R

ΔθAvA

vB

B加速度vA

ΔvΔvnΔvt勻變速圓周運(yùn)動(dòng)2.變速圓周運(yùn)動(dòng)角加速度R ΔθAvAvBB加速度vA3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相互等效ABOxθxωAω2Ava勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)互相垂直方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的相位相差y3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相互等效ABOxθxωAω2Av例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v。點(diǎn)評(píng)：切向加速度法向加速度例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v。方法一：積分法若速率從v0增加,有若速率從v0減小,有例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v。方法二：微元法設(shè)速率從v0增加,取運(yùn)動(dòng)過程中第i個(gè)極短時(shí)間Δt，依題意有若速率從v0減小,有例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)例12．用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O。繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，恰好也以O(shè)點(diǎn)為圓心在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知手和小球的角速度均為ω，小球和桌面之間有摩擦，求：（1）手對(duì)細(xì)繩做功的功率P；（2）小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。Oω點(diǎn)評(píng)：示意圖rL例12．用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解析：OωrL（1）手對(duì)細(xì)繩做功的功率P以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，水平面內(nèi)受力：TfRθ（2）小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ解析：OωrL（1）手對(duì)細(xì)繩做功的功率P以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，水例13．如圖所示，一長(zhǎng)為a的細(xì)線系著一小球懸掛在O點(diǎn)靜止不動(dòng)。若使小球獲得一個(gè)水平初速度

，略去空氣阻力，證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過懸點(diǎn)O。Oav0例13．如圖所示，一長(zhǎng)為a的細(xì)線系著一小球懸掛在O點(diǎn)靜止不動(dòng)小專題：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1.水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度(1)在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過山車……mgTθ當(dāng)T=0時(shí)，

在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道因而可做完整的圓運(yùn)動(dòng)的條件是：小專題：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1.水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度((2)在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱形橋……mgNθ當(dāng)N=0時(shí)，

在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道的條件是：(2)在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱v上mgFN上v下

mgFN下2.豎直平面光滑圓形軌道（1）機(jī)械能守恒（2）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差：（3）能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，最低點(diǎn)的速度：（4）恰能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，最低點(diǎn)的加速度：v上mgFN上v下mgFN下2.豎直平面光滑圓形軌道（1）小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過懸點(diǎn)O，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平成某一角度α?xí)r，繩恰不再?gòu)埦o，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運(yùn)動(dòng)Ovv0yx0h解析：繩上張力為零時(shí)小球達(dá)臨界速度該過程機(jī)械能守恒:設(shè)小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)y方向位移為-h時(shí)歷時(shí)t,有小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過懸點(diǎn)O，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平成某這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為說明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過程中，通過了坐標(biāo)為的懸點(diǎn)O!Oyx0這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為說明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過程中，通過例14．如圖所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓環(huán)軌道運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過程中，摩擦力做的功。O點(diǎn)評(píng)：1.摩擦力大小的分析隨正壓力大小的變化而變化2.正壓力大小的分析在水平軸下方時(shí)：在水平軸上方時(shí)：3.摩擦力做功的特點(diǎn)及計(jì)算微元法：取什么物理量的微元？這一條件下的結(jié)論什么？a1N1a2N2例14．如圖所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直O(jiān)a1N1a2N2解析：如圖所示，小車運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過關(guān)于水平軸對(duì)稱的兩位置1和2，且兩位置和圓心的連線與水平軸的夾角均為a。因?yàn)椋核裕和恚盒≤嚱?jīng)過1、2兩處一極小段位移內(nèi)摩擦力所做的功和為即Wf與的大小無關(guān)，于是整個(gè)過程中摩擦力的功vOa1N1a2N2解析：如圖所示，小車運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過關(guān)于水平例15．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿頂端放一小重球，由豎直位置開始無初速倒下，桿的下端被地面上的臺(tái)階擋住，求重球落地時(shí)的方向。L點(diǎn)評(píng)：1.小球與桿分離前做什么運(yùn)動(dòng)？2.小球與桿在什么位置分離？分離時(shí)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)？3.與桿分離后小球做什么運(yùn)動(dòng)？例15．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿頂端放一小重球，由豎直位置開始解析：球開始時(shí)在輕桿上與輕桿一起沿圓弧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)輕桿對(duì)重球的支持力變?yōu)榱銜r(shí)，球脫離桿，做斜下拋運(yùn)動(dòng)。

設(shè)桿的支持力為零時(shí)，桿與豎直方向的夾角為，小球速率為v1，此時(shí)有：

Lv1由動(dòng)能定理有：將v1沿水平和豎直兩方向分解，則有設(shè)小球落地時(shí)速率為v，則有：設(shè)落地時(shí)重球的速度與豎直方向的夾角為θ，則解析：球開始時(shí)在輕桿上與輕桿一起沿圓弧運(yùn)動(dòng)例16．如圖所示，長(zhǎng)度為l的輕桿上端連著一質(zhì)量為m的體積可忽略的小重物B。桿的下端被用鉸鏈固接于水平面上的A點(diǎn)。同時(shí)，置于同一水平面上的立方體C恰與B接觸，立方體C的質(zhì)量為M。今有微小擾動(dòng)，使桿向右傾倒，設(shè)B與C、C與水平地面間均無摩擦，而B與C剛脫離接觸的瞬間，桿與地面夾角恰為300，求B、C的質(zhì)量之比點(diǎn)評(píng)：1.B、C分離前二者運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)B對(duì)C有作用力，C沿水平方向做加速運(yùn)動(dòng)；二者水平方向速度和加速度均相等。2.B、C分離瞬間水平方向速度和加速度仍相等；剛好無相互作用力；C的加速度為零；桿對(duì)B的作用力的水平分量必為零此刻桿對(duì)B的作用力為零。（？桿為輕桿）點(diǎn)評(píng)：1.B、C分離前二者運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)B對(duì)C有作用力，解：

以B球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)B、C分離時(shí)B球的速度大小為，桿與水平面夾角以表示，如圖所示。則B此刻是僅受重力作用而繞A點(diǎn)作半徑為l的圓周運(yùn)動(dòng)，則有：此時(shí)B速度的水平分量所以C的速度：對(duì)B、C組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒：聯(lián)立以上各式，將的值代入求解得：解：以B球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)B、C分離時(shí)B球的速度例17．如圖所示，三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為l的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上。現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v0，方向與繩垂直。小球相互碰撞時(shí)無機(jī)械能損失，輕繩不可伸長(zhǎng)。求：（1）當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球A的速度；（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度和此時(shí)繩子的張力；（3）運(yùn)動(dòng)過程中小球A的最大動(dòng)能EKA和此時(shí)兩根繩的夾角θ以及繩子的張力。ABCv0ll例17．如圖所示，三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為l的輕ma-ma點(diǎn)評(píng)：非慣性系與慣性力1．平動(dòng)加速參考系______平移慣性力慣性力：定義：為了使牛頓定律在非慣性系中形式上成立，而引入的假想的力。m為研究對(duì)象的質(zhì)量；為非慣性系相對(duì)慣性系的加速度。負(fù)號(hào)表示慣性力方向與非慣性系加速度方向相反。ma-ma點(diǎn)評(píng)：非慣性系與慣性力1．平動(dòng)加速參考系_____理解：（1）慣性力不是真實(shí)力，沒有施力體，沒有反作用力；（2）慣性力的效果是真實(shí)存在的，也能用測(cè)力計(jì)測(cè)出來；（3）所有質(zhì)點(diǎn)在非慣性系下都可能是慣性力。2.轉(zhuǎn)動(dòng)參考中_______慣性離心力慣性離心力的特點(diǎn)：（1）離心力與轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度有關(guān)，方向垂直轉(zhuǎn)軸向外；（2）離心力與物體所在位置有關(guān)，與物體在轉(zhuǎn)動(dòng)系中運(yùn)動(dòng)與否無關(guān)。理解：（1）慣性力不是真實(shí)力，沒有施力體，沒有反作用力；（2解析：（1）A、C第一次相碰時(shí)，vxvyBAC（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)ABCv’Bllv’A解析：（1）A、C第一次相碰時(shí)，vxvyBAC（2）當(dāng)三個(gè)小ABCv’Bllv’A設(shè)T，以B為參考系（慣性系或非慣性系？），A、C做圓周運(yùn)動(dòng)，（線速度多大？）（3）A的最大動(dòng)能EKA最大時(shí)，B的速度為零，此時(shí)A的速度方向一定垂直于AB的連線（？）BACv”Aθφ對(duì)B球?qū)球，以B為參考系（非慣性系），A做圓周運(yùn)動(dòng)ABCv’Bllv’A設(shè)T，以B為參考系（慣性系或非慣性系？例18.如圖，質(zhì)量可忽略不計(jì)的剛性細(xì)桿可繞通過其中點(diǎn)O的光滑水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。兩質(zhì)量分別為2m和m的小球1和2（可視為質(zhì)點(diǎn)）串在細(xì)桿上，它們與細(xì)桿之間的靜摩擦系數(shù)為

。開始時(shí)細(xì)桿靜止在水平位置，小球1和2分別位于緊靠細(xì)桿兩端點(diǎn)A和B的位置。系統(tǒng)自水平位置以零初速下擺。問小球1和2分別在什么位置脫離細(xì)桿？（分別求出小球1和2脫離細(xì)桿時(shí)細(xì)桿與水平線的夾角）。例18.如圖，質(zhì)量可忽略不計(jì)的剛性細(xì)桿可繞通過其中點(diǎn)O的光滑m2mlAOlBBA12點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)過θ時(shí)，系統(tǒng)的角速度和角加速度分別為ω和β，如何計(jì)算這兩個(gè)值？（2）受力分析，判斷哪個(gè)球先離開輕質(zhì)桿。如何計(jì)算彈力和靜摩擦力？mg2mgN1N2f1f2（3）一個(gè)球離開輕質(zhì)桿后，另一球的運(yùn)動(dòng)分析。m2mlAOlBBA12點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)過θ時(shí)，系統(tǒng)點(diǎn)評(píng)：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，小球離開輕質(zhì)桿前，機(jī)械能守恒角動(dòng)量定理：m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2點(diǎn)評(píng)：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，小球離開輕質(zhì)桿前，機(jī)械能守恒角動(dòng)量定m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2對(duì)小球1：對(duì)小球2：m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2對(duì)小球1m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1與桿之間的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，故小球1先滑動(dòng)。設(shè)球1開始滑動(dòng)時(shí)，細(xì)桿與水平線夾角為θ1

，則由于球1的初始位置在桿的末端，故此時(shí)輕質(zhì)桿與水平線夾角為300。m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1與因輕桿沒有質(zhì)量，球1一旦脫離輕桿，球2與輕桿間的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜拋運(yùn)動(dòng)，其初速度：初速度的方向與水平線的夾角：得任意

t時(shí)刻球2的位置坐標(biāo)：因輕桿沒有質(zhì)量，球1一旦脫離輕桿，球2與輕桿間的相互作用立即球2脫離細(xì)桿時(shí)，幾何關(guān)系球2脫離細(xì)桿時(shí)，幾何關(guān)系M1方法一：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)在M1平面的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角對(duì)橢圓長(zhǎng)軸端的A點(diǎn):A1aA1對(duì)A點(diǎn)投影A1點(diǎn):橢圓短軸端B點(diǎn)的曲率半徑由B1vvMAaABvaBaB例19．質(zhì)點(diǎn)做橢圓運(yùn)動(dòng)，已知長(zhǎng)半軸與短半軸為a和b，求長(zhǎng)其軸與短軸端點(diǎn)的曲率半徑。四．曲率半徑的計(jì)算M1方法一：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)方法二:xyOabAB軌跡方程：參數(shù)方程：將栯圓運(yùn)動(dòng)等效為兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)vAvBaAaB方法二:xyOabAB軌跡方程：參數(shù)方程：將栯圓運(yùn)動(dòng)等效為兩例20．質(zhì)點(diǎn)做拋物線運(yùn)動(dòng)，已知其軌跡方程為：

，求軌跡上任一點(diǎn)的曲率半徑。點(diǎn)評(píng)：特殊到一般設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)xyOP對(duì)軌跡上的P點(diǎn):gvvy例20．質(zhì)點(diǎn)做拋物線運(yùn)動(dòng)，已知其軌跡方程為：解析：設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運(yùn)動(dòng)、同時(shí)以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每前進(jìn)一個(gè)螺距，完成一次圓周，即有設(shè)螺旋線上任一點(diǎn)的曲率半徑為ρhr例21．旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解曲率半徑ρ值。解析：設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運(yùn)動(dòng)、同時(shí)以vh沿垂直于v0小結(jié)：曲線運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率與曲率半徑小結(jié)：曲線運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率與曲率半徑五．螺旋運(yùn)動(dòng)1.平面螺旋運(yùn)動(dòng)OxyP(r,θ)ω平面內(nèi)長(zhǎng)直細(xì)桿繞其端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)套在桿上的小環(huán)P沿桿運(yùn)動(dòng)t=0時(shí)，P的位置：r＝０θ＝０小球沿桿方向速率vr與桿旋轉(zhuǎn)角速度ω均為常量任意t時(shí)刻有：vrvθv軌跡方程：阿基米德螺旋線t時(shí)刻小環(huán)的角向速度：t時(shí)刻小環(huán)的速率：五．螺旋運(yùn)動(dòng)1.平面螺旋運(yùn)動(dòng)OxyP(r,θ)ω平面內(nèi)長(zhǎng)直細(xì)２.空間螺旋運(yùn)動(dòng)xyｚＯxyｚＯ（１）等螺距運(yùn)動(dòng)vx（２）等差螺距運(yùn)動(dòng)ax１x２x３２.空間螺旋運(yùn)動(dòng)xyｚＯxyｚＯ（１）等螺距運(yùn)動(dòng)vx（２）等例22．已知等距螺旋線在垂直軸方向的截面半徑為R，曲率半徑為ρ，一質(zhì)點(diǎn)沿此螺旋線做勻速率運(yùn)動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)在垂直軸方向的投影轉(zhuǎn)過一周所用時(shí)間為T，則質(zhì)點(diǎn)沿軸方向的分運(yùn)動(dòng)速率為多少？點(diǎn)評(píng)：例19解析：設(shè)速率v，圓周運(yùn)動(dòng)線速率v1，軸方向速率v2例22．已知等距螺旋線在垂直軸方向的截面半徑為R，曲率半徑為例23.如圖所示，從x軸上的O點(diǎn)發(fā)射一束電量為q(q>0)、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們的速度方向分布在以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、x軸為對(duì)稱軸的一個(gè)頂角很小的錐體內(nèi)，速率均為v。試設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)，能使這束帶電粒子會(huì)聚于x軸上的另一點(diǎn)M，M點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d。要求給出該磁場(chǎng)的方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及最小值。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。OMdx例23.如圖所示，從x軸上的O點(diǎn)發(fā)射一束電量為q(q>0)、OMdx點(diǎn)評(píng)：（1）怎樣加磁場(chǎng)，才能使這束帶電粒子會(huì)聚于x軸上的另一點(diǎn)M？xvxvyvθB（2）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)分析x軸方向：區(qū)別？勻速直線運(yùn)動(dòng)yoz平面：勻速圓周運(yùn)動(dòng)等螺距運(yùn)動(dòng)（3）怎樣理解θ很小？（４）磁聚集OMdx點(diǎn)評(píng)：（1）怎樣加磁場(chǎng)，才能使這束帶電粒子會(huì)聚于x軸OMdx解析：沿x軸方向加勻強(qiáng)磁場(chǎng)，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。xvxvyvθ沿x軸方向有：①垂直于x軸平面內(nèi)，設(shè)半徑R，周期T，則有：②③過M點(diǎn)的條件：④聯(lián)立以上各式得：n為什么時(shí)，B有最小值：OMdx解析：沿x軸方向加勻強(qiáng)磁場(chǎng)，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。xvx例24.

如圖，一剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m（質(zhì)量均勻分布），半徑為R，螺距

，可繞豎直的對(duì)稱軸OO’無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計(jì)。一質(zhì)量為m的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動(dòng)。扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點(diǎn)A，這時(shí)螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)。然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，同時(shí)螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）當(dāng)小球下滑高度為h時(shí)，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)過的角度。（2）此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。例24.如圖，一剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m（質(zhì)量均勻分布），半徑為點(diǎn)評(píng)：（1）立體問題平面化：Hθ（2）螺旋環(huán)的角動(dòng)量：（3）系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？（4）系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？點(diǎn)評(píng)：（1）立體問題平面化：Hθ（2）螺旋環(huán)的角動(dòng)量：（3）解：（1）設(shè)小球下滑高度為h時(shí)，球相對(duì)于螺旋環(huán)的速率為v’，環(huán)的速率為v0。如圖所示。螺旋環(huán)的角動(dòng)量：系統(tǒng)水平面內(nèi)，合外力為零，角動(dòng)量守恒：解：（1）設(shè)小球下滑高度為h時(shí)，球相對(duì)于螺旋環(huán)的速率為v’，（2）由機(jī)械能守恒定律由角動(dòng)量守恒定律有：（2）由機(jī)械能守恒定律由角動(dòng)量守恒定律有：解法二：等效法第一講：例17解法二：等效法第一講：例17（2）

（2）例25.如圖所示，兩個(gè)豎直放置的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R，兩筒間距為d，筒高為L(zhǎng)（L>>R>>d），內(nèi)筒通過一個(gè)未知電容Cx的電容器與電動(dòng)勢(shì)U足夠大的直流電源的正極連接，外筒與該電源的負(fù)極相連。在兩筒之間有相距為h的A、B兩點(diǎn)，其連線AB與豎直的筒中央軸平行。在A點(diǎn)有一質(zhì)量為m、電量為-Q的帶電粒子，它以v0的初速率運(yùn)動(dòng)，且方向垂直于由A點(diǎn)和筒中央軸構(gòu)成的平面。為了使此帶電粒子能夠經(jīng)過B點(diǎn)，試求所有可供選擇的v0和Cx值。點(diǎn)評(píng)：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化（１）電路結(jié)構(gòu)分析；（２）帶電粒子受力分析；（３）帶電粒子運(yùn)動(dòng)分析；（４）薄圓筒導(dǎo)體的電容；（５）兩電容器連接方式及其特點(diǎn)；（６）帶電粒子能經(jīng)過B點(diǎn)的條件；例25.如圖所示，兩個(gè)豎直放置的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R速度選擇器Rd+—U探究一：模型的建立兩環(huán)之間的電場(chǎng)是怎樣的？探究二：工作原理滿足什么條件的帶電粒子才能從左端進(jìn)，右端出？運(yùn)動(dòng)學(xué)特征？動(dòng)力學(xué)特征？速度選擇器Rd+—U探究一：模型的建立兩環(huán)之間的電場(chǎng)是怎樣的解：豎直方向，粒子做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)由A到B所用時(shí)間為ｔ，則水平方向，粒子做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其周期為T，則粒子能經(jīng)過B點(diǎn)粒子所受電場(chǎng)力大小圓筒的電容：兩電容器串聯(lián)解：豎直方向，粒子做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)由A到B所用時(shí)間為ｔ，則例26．（2014模擬）如圖所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個(gè)帶電+q、質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點(diǎn)O開始無初速出發(fā)，在xoy平面內(nèi)做圖中所示的曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一，叫做擺線，又稱旋輪線。圖中只畫出了其運(yùn)動(dòng)軌跡的兩拱，事實(shí)上以后每拱的形狀和大小都是完全相同的，試求：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)周期；（2）每拱的拱高；（3）每拱的拱寬；（4）粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速率。五.漂移圓周運(yùn)動(dòng)例26．（2014模擬）如圖所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E+++++++++BE（1）任何一個(gè)正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)組成速度選擇器。（2）帶電粒子必須以唯一確定的速度（包括大小、方向）才能勻速（或者說沿直線）通過速度選擇器。否則將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。即有確定的入口和出口。（3）這個(gè)結(jié)論與粒子帶何種電荷、電荷多少都無關(guān)。（4）若速度小于這一速度，電場(chǎng)力將大于洛倫茲力，帶電粒子向電場(chǎng)力方向偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力做正功，動(dòng)能將增大，洛倫茲力也將增大，粒子的軌跡既不是拋物線，也不是圓，而是一條復(fù)雜曲線；若大于這一速度，將向洛倫茲力方向偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力將做負(fù)功，動(dòng)能將減小，洛倫茲力也將減小，軌跡是一條復(fù)雜曲線。點(diǎn)評(píng)：+++++++++BE（1）任何一個(gè)正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)（５）定量分析：若初速度為零+++++++++BEMNv0v0fqEf+++++++++BEMN幾個(gè)概念：旋輪線或擺線拱拱寬L拱高h(yuǎn)幾個(gè)物理量的計(jì)算：周期：拱寬：拱高：最大速率：（５）定量分析：若初速度為零+++++++++BEMNv0v+++++++++BEMNv令：則：若v’<0，粒子做先下后上的逆時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)+++++++++BEMN+++++++++BEMN若v’>0，粒子做先上后下的逆時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)探究：哪些物理量發(fā)生了怎樣的變化？滿足什么條件，粒子才能經(jīng)過N點(diǎn)？（５）定量分析：若初速度不為零+++++++++BEMNv令：則：若v’<0，粒子做先下后立體問題平面化解析：粒子同時(shí)參與兩種分運(yùn)動(dòng)，沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速率xoy平面內(nèi)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，速率也為

設(shè)粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期為T，軌道半徑為R，拱高為h，拱寬為L(zhǎng)，最大速率為vmax。（1）立體問題平面化解析：粒子同時(shí)參與兩種分運(yùn)動(dòng)，沿x軸正方向做勻（4）最大速率（3）拱寬（2）拱高（4）最大速率（3）拱寬（2）拱高ablvPBg例27．（2013北約）如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于該豎直平面朝里，豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量q>0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出。略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改取的給定量。（1）若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)，試問v應(yīng)取什么值？（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)？（3）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間。（4）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點(diǎn)？若能，再求P在而后運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率vmax。ablvPBg（1）初速度v水平對(duì)準(zhǔn)b點(diǎn)，為使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b，要求P所受磁場(chǎng)力與重力抵消，有：解析：①

（4分）（2）若①式不能滿足，P便在此豎直平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)。將初速度v水平分解：v=v1+v2，其中v≥0，但②

（4分）v2=v-v1，P所受力可分解為P的運(yùn)動(dòng)可分解為：分運(yùn)動(dòng)1：以初速度為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)；分運(yùn)動(dòng)2：以初速度v2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（1）初速度v水平對(duì)準(zhǔn)b點(diǎn)，為使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b，要求P所v2>0對(duì)應(yīng)先上后下的逆時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)v2<0對(duì)應(yīng)先下后上的逆時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：③

（3分）為使P通過b點(diǎn)，要求經(jīng)整數(shù)個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)周期時(shí)，v1對(duì)應(yīng)的直線運(yùn)動(dòng)位移大小恰好等于l，即有：l=v1nT，（其中n=1、2、……）

④

（3分）將②、③式代人④式，即得l必須取下述值：n=1、2、……⑤

（1分）（3）符合（2）問要求的每一個(gè)l均需滿足⑤式，無論v和v2取何值，P從a到b所經(jīng)時(shí)間同為：即：

⑥

（3分）其中n為一個(gè)由l值對(duì)應(yīng)的正整數(shù)。v2>0對(duì)應(yīng)先上后下的逆時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)v2<0對(duì)應(yīng)先下后上Pv1v2（4）P可通過b點(diǎn)。因?yàn)閾?jù)（2）問解答可知，v≥0中的v=0即對(duì)應(yīng)P從a靜止釋放，只要l取④式限定的值，P必定也可通過b點(diǎn)。v=0的分解式為：對(duì)應(yīng)的分運(yùn)動(dòng)2為上圖所示的先下后上的逆時(shí)針方向勻速圓周運(yùn)動(dòng)。經(jīng)半個(gè)周期，P在最低點(diǎn)兩個(gè)分速度相同，對(duì)應(yīng)的合速度最大故所求最大速率為⑦

（4分）Pv1v2（4）P可通過b點(diǎn)。因?yàn)閾?jù)（2）問解答可知，v≥0例28.（2014卓越）如圖所示，一平行板電容器兩極板間電壓為U0、相距為d、上極板帶正電，極板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。電子從下極板由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)上極板，對(duì)于給定的電壓U0，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度等于某一臨界值時(shí)，電子剛好不能到達(dá)上極板。已知元電荷量為e，電子質(zhì)量為m，不計(jì)電子重力。（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的臨界值B；（2）電子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)，一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分解為很多小段，每一小段可以看做圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，求當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為臨界值時(shí)，電子在曲線最高點(diǎn)等效圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r。e點(diǎn)評(píng)：（1）關(guān)鍵語句的正確理解（2）曲率圓與曲率半徑例28.（2014卓越）如圖所示，一平行板電容器兩極板間電壓e解析：（1）電子的運(yùn)動(dòng)等效為水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直平面內(nèi)順時(shí)針的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，其速率均為：設(shè)電子勻速率圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，則：因電子剛好不能到達(dá)上極板：聯(lián)立以上三式求解得：e解析：（1）電子的運(yùn)動(dòng)等效為水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直平e（2）最高點(diǎn)電子的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方向相同，其速率達(dá)到最大值，設(shè)最大速率為vm

，則有：最高點(diǎn)，電子受力分析如圖所示：f洛F電設(shè)電子軌道最高點(diǎn)曲率半徑為r，則有牛頓第二定律有：聯(lián)立以上各式求解得：e（2）最高點(diǎn)電子的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方向相同，其速率達(dá)到最大值，設(shè)例29．機(jī)車以等速率v0沿直線軌道行駛，機(jī)車車輪半徑為r，如車輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)，將輪緣上的點(diǎn)M在軌道上的起點(diǎn)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度。點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)Oyx例29．機(jī)車以等速率v0沿直線軌道行駛，機(jī)車車輪半徑為r，如Oyx解析：（１）軌跡方程MO’設(shè)t時(shí)刻，M點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（x，y）如圖所示M點(diǎn)的軌跡方程：Oyx解析：（１）軌跡方程MO’設(shè)t時(shí)刻，M點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（MM點(diǎn)速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示

（２）曲率半徑vMaMatv0v0M點(diǎn)加速度法向分量：又MM點(diǎn)速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示（２）曲率半徑vMaMaM（３）當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度：vMaMatv0v0方向與x軸成45°

方向+xM（３）當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度例30．半徑為R的輪子在水平的直線MN上純滾動(dòng)，輪子邊緣上任意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡稱號(hào)上滾輪線，如力所示。將上滾輪線繞MN向向翻轉(zhuǎn)1800，成為下滾輪線。下滾輪線也可看成半徑為R的輪子在下方沿MN純滾動(dòng)時(shí)輪子邊緣點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。沿下滾輪線設(shè)置光滑軌道，小球在軌道內(nèi)側(cè)除最低點(diǎn)外任意一處從靜止自由滑下，可形成周期性的往返運(yùn)動(dòng)（擺動(dòng)），惠更斯已證明擺動(dòng)周期T與小球初始位置無關(guān)，后人將此種擺稱為惠更斯等時(shí)擺。試在認(rèn)知等時(shí)性前提下，求出以R為參量的T的表達(dá)式。RRPPMN例30．半徑為R的輪子在水平的直線MN上純滾動(dòng)，輪子邊緣上任RRPPMN點(diǎn)評(píng)：（２）兩個(gè)特殊位置：①最高點(diǎn)小球從最高點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)右上端點(diǎn)，經(jīng)時(shí)T/2，恰好對(duì)應(yīng)于滾輪周期。（１）兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)v０豎直平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)v０②最低點(diǎn)的左極限位置單擺RRPPMN點(diǎn)評(píng)：（２）兩個(gè)特殊位置：①最高點(diǎn)小球從最高RRPPMN解析：（１）若小球從最高點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)右上端點(diǎn)，經(jīng)時(shí)T/2，恰好對(duì)應(yīng)于滾輪周期。P設(shè)小球P下落高度h對(duì)應(yīng)滾輪邊緣上的點(diǎn)Pv０v０vpv０v０vpφ幾何關(guān)系：PφhRRRPPMN解析：（１）若小球從最高點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)右上端RRPPMN（２）若小球從最低點(diǎn)的左極限位置由靜止下滑，則等效于擺角趨近于零的單擺。設(shè)最低點(diǎn)曲率半徑為ρ最低點(diǎn)：RRPPMN（２）若小球從最低點(diǎn)的左極限位置由靜止下滑，則等演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！第二講：曲線運(yùn)動(dòng)第二講：曲線運(yùn)動(dòng)一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運(yùn)動(dòng)問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法概述一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲四、常見的曲線運(yùn)動(dòng)形式1.基本形式（1）拋體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)（2）圓周運(yùn)動(dòng)2.比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)（1）螺旋運(yùn)動(dòng)平面螺旋螺距運(yùn)動(dòng)（2）漂移圓周運(yùn)動(dòng)四、常見的曲線運(yùn)動(dòng)形式1.基本形式（1）拋體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)斜拋v2v1xpRxyO

Hh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點(diǎn)水平拋出，起拋點(diǎn)離水平地面的高度為H，水平速度分別為v1和v2（v1>v2）。球1拋出后剛好能越過位于xp處的豎直桿頂端，并落于地面上的R點(diǎn)，R點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為R。球2拋出后落于地面，與地面做彈性碰撞，反彈后也剛好能越過桿頂，并落在同一點(diǎn)R。試求：（1）兩球初速度的比值；（2）桿的位置xp；（3）桿的高度h。一．平拋運(yùn)動(dòng)v2v1xpRxyOHh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點(diǎn)評(píng)一：平拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一圖象描述：（2）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)豎直方向：自由落體（3）運(yùn)動(dòng)規(guī)律：水平方向：豎直方向：點(diǎn)評(píng)一：平拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一（4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程軌跡方程運(yùn)動(dòng)方程P(x,y)xOyxy（4）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程軌跡方程運(yùn)動(dòng)方程P(x,y)xOyxxyOxyOxyOHxyOHaxyOxyOxyOHxyOHa128（5）兩點(diǎn)討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyOv方向：β（5）兩點(diǎn)討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyO129（6）二級(jí)結(jié)論表述方式一：

平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速度方向與水平方向夾角的正切值，等于從運(yùn)動(dòng)開始到這一時(shí)刻物體的位移方向與水平方向夾角正切值的二倍。（6）二級(jí)結(jié)論表述方式一：平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速130表述方式之二：

平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速度的反向延長(zhǎng)線與初速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，是這段時(shí)間內(nèi)物體水平位移的中點(diǎn)。證明：如圖所示，任取點(diǎn)P，作其切線的反向延長(zhǎng)線交x軸與A點(diǎn)簡(jiǎn)化表述方式：交點(diǎn)是中點(diǎn)xyOvPAy表述方式之二：平拋運(yùn)動(dòng)中，任一時(shí)刻物體速v2v1xpRxyO

Hh點(diǎn)評(píng)二：此題中小球的軌跡方程點(diǎn)評(píng)三：運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性分析R/32R/3小球1：起拋點(diǎn)、桿的頂端、落地點(diǎn)R；小球2：起拋點(diǎn)；第一次落地點(diǎn)：桿的頂端；反彈到最高點(diǎn)：落地點(diǎn)R。v2v1xpRxyOHh點(diǎn)評(píng)二：此題中小球的軌跡方程點(diǎn)評(píng)三解析：v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（1）由平拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程有：球1：球2：落地點(diǎn)坐標(biāo)：（R，0）①第一次落地點(diǎn)坐標(biāo)：（R/3，0）②解析：v2v1xpRxyOHhR/32R/3（1）由平拋運(yùn)v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（2）球2反彈后的軌跡方程：式中球1：舍去v2v1xpRxyOHhR/32R/3（2）球2反彈后的軌v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（3）球1：兩個(gè)特殊點(diǎn)：（xp，h）和（R，0）v2v1xpRxyOHhR/32R/3（3）球1：兩個(gè)特殊例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，落到斜面上，不計(jì)空氣阻力，試討論下列問題：（1）小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（2）小球離斜面的最大高度；（3）證明小球落到斜面上時(shí)的速度方向與水平初速度v0無關(guān)。v0θ例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運(yùn)動(dòng)分解為：x軸方向：初速度？加速度？y軸方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（2）小球離斜面的最大高度（3）證明v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運(yùn)動(dòng)分解為：x軸例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)下進(jìn)行投擲訓(xùn)練。（1）若已知手榴彈出手時(shí)速率為v0，與水平方向的夾角為θ，則手榴彈在空中運(yùn)動(dòng)的最小速率為多少？（2）若已知手榴彈出手時(shí)速率為v0，則其與水平方向夾角為多少時(shí)射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？（3）若已知目標(biāo)離投擲點(diǎn)（手榴彈脫手時(shí)的位置）的水平距離為s，豎直高度為h，手榴彈質(zhì)量為m。要準(zhǔn)確命中目標(biāo)，對(duì)手榴彈至少要做多少功？（以上過程中，均忽略空氣阻力。）二．斜拋運(yùn)動(dòng)例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)xyθv0點(diǎn)評(píng)：斜拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)分析（1）運(yùn)動(dòng)的分解水平方向：豎直方向：（2）空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（3）射程X和射高Y（4）極值討論當(dāng)θ=450時(shí)，（5）軌跡方程當(dāng)θ=900時(shí)，XY1sinαtanαsecαcosαctgαcscαxyθv0點(diǎn)評(píng)：斜拋運(yùn)動(dòng)要點(diǎn)分析（1）運(yùn)動(dòng)的分解水平方向：豎139（1）手榴彈做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其初速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，則有：解析：當(dāng)手榴彈運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向的分速率為零，此時(shí)速率最小，其值為：（2）設(shè)手榴彈出手時(shí)速度與水平地面的夾角為θ，空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，射程為L(zhǎng)，則有：因此，當(dāng)θ=450時(shí)，射程最遠(yuǎn)。最遠(yuǎn)射程為：（1）手榴彈做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其初速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，（3）設(shè)的手榴彈出手時(shí)速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投擲點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為y軸正方向，則t時(shí)刻手榴彈的位置坐標(biāo)為：因手榴彈準(zhǔn)確命中目標(biāo)，故目標(biāo)位置滿足位置方程，即：消除參數(shù)t，得：即：故要對(duì)手榴彈做功的最小值為（3）設(shè)的手榴彈出手時(shí)速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一個(gè)石子，求拋射角為多少時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t當(dāng)時(shí)，x2有極值，x有極值xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t當(dāng)時(shí)，x2有極值，xxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時(shí)刻t當(dāng)y=-h時(shí)，x=s再用輔助角公式求解xyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時(shí)刻t當(dāng)y=-h時(shí)，x=s再解法四：將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為v0方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)其位移矢量圖如右所示v0ty由圖可知：x其他與解法一相同。解法四：將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為v0方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)其位解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量圖的面積v0vgtvx因初速v0、末速v均為定值，顯然當(dāng)二者夾角為900時(shí)，S最大，因而x最大，所以有：解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達(dá)到最高點(diǎn)爆炸。設(shè)各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸開，試證明各碎片在下落過程中始終保持在同一球面上面，并求球面半徑與球心位置隨時(shí)間變化的規(guī)律（忽略空氣阻力）。v0v0xv0yv0zzxyo點(diǎn)評(píng):（1）速度的分解（2）運(yùn)動(dòng)分析X方向：Y方向：Z方向：例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達(dá)到最高點(diǎn)爆炸。設(shè)各碎片以相同的速v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸時(shí)刻為零時(shí)刻，爆炸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，對(duì)任一碎片在時(shí)刻t，其位置坐標(biāo)為：式中0為任一碎片的初速率，與拋射角無關(guān)，對(duì)于每一給定時(shí)間t，上述方程式是一個(gè)球面方程，球面半徑R=0t，即R隨時(shí)間t成正比不斷增大，球心位置為（0，0，

），表明球心位置始終保持在z軸上，且隨時(shí)間以重力加速度g加速下降。v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸例6.初速度為v0

的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．v0v0xv0yv0zzxyo點(diǎn)評(píng)：建立圖中直角坐標(biāo)系，設(shè)v0與xoy平面的夾角為θ，對(duì)任一時(shí)刻t有：θ例6.初速度為v0的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時(shí)，必滿足包絡(luò)線方程為整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時(shí)，必滿例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾角為θ的斜面的底角處做斜上拋運(yùn)動(dòng)。為使物體從斜面體頂角處切過，并落在傾角為Φ的斜面底角處，則物體的拋射角α與傾角θ、Φ應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用簡(jiǎn)單形式寫出）θΦhv0α例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度為h，則其頂點(diǎn)和右側(cè)底端坐標(biāo)分別為（hcotθ,h）和[h(cotθ+cotΦ),0]θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度θv0s例8．軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士自距離墻壁s處以速度v0起跳，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上運(yùn)動(dòng)而繼續(xù)升高。若墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ，求能使人體重心有最大總升高的起跳角θ是多少？解析：

設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達(dá)墻面所用時(shí)間為t，到達(dá)墻面處時(shí)，人的速度的水平分量為vx，豎直分量為vy，則：這一過程，人的重心升高為：θv0s解析：設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達(dá)墻腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動(dòng)量增加，由動(dòng)量定理有：由題意知，正壓力的沖量恰可使人的水平分動(dòng)量變?yōu)榱悖矗阂蚨?蹬墻后，人的重心速度變?yōu)樨Q直向上的方向，以v’y表示，則有：人體以此速度繼續(xù)升高，其升高量為：則全過程人體的總升高量為腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時(shí)，H有最大值為：上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時(shí)，H有最大值為：例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在水平地面上，盤與地面間無摩擦。圓盤中心處有一只質(zhì)量為m的小青蛙（可處理成質(zhì)點(diǎn)），小青蛙將從靜止跳出圓盤。為解答表述一致，將青蛙跳起后瞬間相對(duì)地面的水平分速度記為vx，豎直向上的分速度記為vy，合成的初始速度大小記為v，將圓盤后退的速度記為u。（1）設(shè)青蛙跳起后落地點(diǎn)在落地時(shí)的圓盤外。（1.1）對(duì)給定的vx，可取不同的vy，試導(dǎo)出跳起過程中青蛙所作功W的取值范圍，答案中可包含的參量為M、R、m、g（重力加速度）和vx。（1.2）將（1.1）問所得W取值范圍的下限記為W0，不同的vx對(duì)應(yīng)不同的W0值，試導(dǎo)出其中最小者Wmin，答案中可包含的參量為M、R、m和g。（2）如果在原圓盤邊緊挨著另外一個(gè)相同的靜止空?qǐng)A盤，青蛙從原圓盤中心跳起后瞬間，相對(duì)地面速度的方向與水平方向夾角為45°，青蛙跳起后恰好能落在空?qǐng)A盤的中心。跳起過程中青蛙所作功記為W’，試求W’與（1.2）問所得Wmin間的比值γ=W’/Wmin，答案中可包含的參量為M和m。例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在157（1.1）水平方向動(dòng)量守恒，青蛙落地點(diǎn)在圓盤外，有：解析：

mvx=Mu

①②

（2分）③

（1分）④

（1分）⑤

（1分）得：故得W取值范圍為：⑥

（1分）（1.1）水平方向動(dòng)量守恒，青蛙落地點(diǎn)在圓盤外，有：解析：158（1.2）由⑥式得：⑦

（3分）由均值不等式有：所以有：⑧

（3分）（1.2）由⑥式得：⑦（3分）由均值不等式有：所以有159（２）依題意得：

⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）所求比值為：（1分）（２）依題意得：⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）160例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）。為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出。物塊拋出時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度的大小u是給定的，物塊拋出后，物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。(1)若運(yùn)動(dòng)員在跳遠(yuǎn)的全過程中的某時(shí)刻to把物塊沿與x軸負(fù)方向成某θ角的方向拋出，求運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間。(2)在跳遠(yuǎn)的全過程中，運(yùn)動(dòng)員在何處把物塊沿與x軸負(fù)方向成θ角的方向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若v0和u一定，在什么條件下可跳得最遠(yuǎn)？并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最大距離。xyＯv0a例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊xyＯv0a點(diǎn)評(píng)：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化（１）從起跳到t0時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)員做斜拋運(yùn)動(dòng)；（２）拋物塊的過程：動(dòng)量守恒（３）拋后的運(yùn)動(dòng)：新的斜拋運(yùn)動(dòng)PvpxvpyxyＯv0a點(diǎn)評(píng)：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化（１）從起跳到t0時(shí)刻，運(yùn)解析：xyＯv0a（1）運(yùn)動(dòng)員起跳為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t0時(shí)刻到達(dá)圖中P點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），速度v的分量為vpx和vpy，則有：Pvpxvpy解析：xyＯv0a（1）運(yùn)動(dòng)員起跳為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t0時(shí)刻到達(dá)xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度為V，分量為Vpx和Vpy，物塊相對(duì)于運(yùn)動(dòng)員的速度u的分量為ux和uy，uθ由動(dòng)量守恒定律有：xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度拋出物塊后，運(yùn)動(dòng)員沿新的拋物線運(yùn)動(dòng)，其初速度為Vpx和Vpy，在t（

）時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員的位置和速度分別為：xyＯv0aPvpxvpyuxuy拋出物塊后，運(yùn)動(dòng)員沿新的拋物線運(yùn)動(dòng)，其初速度為Vpx和Vpy運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，上式中取正號(hào)，得：運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)，上式中取正號(hào)，得：（２）因?yàn)椋猴@然，當(dāng)t0=0時(shí)，x最大，即拋出點(diǎn)坐標(biāo)為：即在剛起跳時(shí)把物塊拋出，運(yùn)動(dòng)員可跳得遠(yuǎn)一點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)員自起跳至落地所經(jīng)歷的時(shí)間為（２）因?yàn)椋猴@然，當(dāng)t0=0時(shí)，x最大，即拋出點(diǎn)坐標(biāo)為：即在運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)的距離當(dāng)：時(shí)，x有最大值運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)的距離當(dāng)：時(shí)，x有最大值三．圓周運(yùn)動(dòng)θ

R

1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)

O xy AvA

vB

BΔθ角速度線速度加速度ORAvBv△v三．圓周運(yùn)動(dòng)θ R 1.勻速圓周運(yùn)動(dòng) O xy Av2.變速圓周運(yùn)動(dòng)角加速度R

ΔθAvA

vB

B加速度vA

ΔvΔvnΔvt勻變速圓周運(yùn)動(dòng)2.變速圓周運(yùn)動(dòng)角加速度R ΔθAvAvBB加速度vA3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相互等效ABOxθxωAω2Ava勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)互相垂直方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的相位相差y3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相互等效ABOxθxωAω2Av例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v。點(diǎn)評(píng)：切向加速度法向加速度例11.質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)