第1章數字邏輯概論1.1數字電路與數字信號

1.2數制

1.3二進制數的算術運算

1.4二進制代碼

1.5基本邏輯運算

1.6邏輯函數及其表示方法第1章數字邏輯概論1.1數字電路與數字信號

1.2數5、掌握基本邏輯運算、邏輯函數及其表示方法教學基本要求1、了解數字信號與數字電路的基本概念2、了解數字信號的特點及表示方法3、掌握常用二～十、二～十六進制的轉換4、了解常用二進制碼，特別是8421BCD碼5、掌握基本邏輯運算、邏輯函數及其表示方法教學基本要求1、了三次工業革命：第一次是以蒸汽機的發明為標志的工業革命，單說工業革命指的是本次工業革命，代表性的國家是英國。第二次是1870年至20世紀初，主要是電力的應用，以及汽車和內燃機的發明，主要國家是德國、美國，這次革命造成德國崛起，挑戰英國霸權，是一戰發生的經濟、科技動因。第三次是20世紀80年代至今的信息科技技術革命，最大成就是互聯網的應用，美國一枝獨秀，遙遙領先，成為歷史上最強大的超級大國。三次工業革命：第一次是以蒸汽機的發明為標志的工業革1.1數字電路與數字信號

電子技術是二十世紀發展最迅速、應用最廣泛的技術。已使工業、農業、科研、教育、醫療、文化娛樂以及人們的日常生活發生了根本的變革。特別是數字電子技術，更是取得了令人矚目的進步。電子技術的發展是以電子器件的發展為基礎的。真空管20世紀初直至中葉晶體三極管1947年集成電路60年代初70年代末微處理器1.1.1數字技術的發展及其應用1.1數字電路與數字信號電子技術是二十世紀80年代后：ULSI，10億個晶體管/片、ASIC制作技術成熟目前，芯片內部的布線細微到亞微米(0.13~0.09m)量級微處理器的時鐘頻率高達3GHz（109Hz）90年代后：一片集成電路上有40億個晶體管。60~70代：IC技術迅速發展：SSI、MSI、LSI、VLSI。10萬個晶體管/片。

專用集成電路將來，高分子材料或生物材料制成密度更高、三維結構的電路超大規模甚大規模80年代后：ULSI，10億個晶體管/片、AS發展特點:以電子器件的發展為基礎電子管時代:1906年，福雷斯特等發明了電子管；電子管體積大、重量重、耗電大、壽命短。目前在一些大功率發射裝置中使用。電壓控制器件電真空技術發展特點:以電子器件的發展為基礎電子管時代:1906年，福雷晶體管時代:電流控制器件半導體技術半導體二極管、三極管器件晶體管時代:電流控制器件半導體二極管、三極管器件半導體集成電路半導體集成電路注解：ASIC（ApplicationSpecificIntergratedCircuits）即專用集成電路，是指應特定用戶要求和特定電子系統的需要而設計、制造的集成電路。目前用CPLD（復雜可編程邏輯器件）和FPGA（現場可編程邏輯陣列）來進行ASIC設計是最為流行的方式之一，它們的共性是都具有用戶現場可編程特性，都支持邊界掃描技術，但兩者在集成度、速度以及編程方式上具有各自的特點。ASIC的特點是面向特定用戶的需求，品種多、批量少，要求設計和生產周期短，它作為集成電路技術與特定用戶的整機或系統技術緊密結合的產物，與通用集成電路相比具有體積更小、重量更輕、功耗更低、可靠性提高、性能提高、保密性增強、成本降低等優點,嚴格的說,ASIC不能算是學術名詞,也不能算是技術.注解：ASIC（ApplicationSpecificI

數字技術應用的典型代表是電子計算機，數字電子技術的發展衍生出計算機的不斷發展和完善。

數字技術被廣泛應用于：廣播、電視、通信、醫學診斷、測量、控制、文化誤樂以及家庭生活等方面。例如：照相機JPEG(靜態影像壓縮標準)視頻記錄設備MPEG(動態影像壓縮標準)交通燈控制系統數字技術應用的典型代表是電子計算機，數字電子數碼相機智能儀器計算機數字技術的應用數碼相機智能儀器計算機數字技術的應用

電子電路按功能分為模擬電路和數字電路。

現代數字電路由數字集成器件構造而成，邏輯門是基本的單元電路。根據電路的結構特點及其對輸入信號響應規則不同，數字電路分為兩個大類：組合邏輯電路、時序邏輯電路。1.1.2數字集成電路的分類及特點電子電路按功能分為模擬電路和數字電路。

1.數字集成電路的分類從集成度來說，數字集成電路可分為：小規模（SSI）、中規模（MSI）、大規模（LSI）、超大規模（VLSI）和甚大規模（ULSI）等五類。

表1.1.1數字集成電路的分類分類門的個數典型集成電路小規模最多12個邏輯門電路中規模12～99計數器、加法器大規模100～9999小型存儲器、門陣列超大規模1000～99999大型存儲器、微處理器甚大規模106以上可編程邏輯器件、多功能集成電路集成度:每一芯片所包含的門的個數。1.數字集成電路的分類從集成度來說，數字集成電路可分2.數字集成電路的特點1）穩定性能高，結果的再現性好2）易于設計3）大批量生產，成本低廉4）可編程性5）高速度，低功耗2.數字集成電路的特點1）穩定性能高，結果的再現性好2）3.數字電路的分析、設計與測試

數字電路的研究對象是電路的輸入與輸出之間的邏輯關系。

分析工具：邏輯代數。電路邏輯功能的表達：主要用真值表、功能表、邏輯表達式、卡諾圖和波形圖。（1）數字電路的分析方法數字電路的分析:根據電路確定電路輸出與輸入之間的邏輯關系。3.數字電路的分析、設計與測試數字電路的研究對象是電路（2）數字電路的設計方法數字電路的設計:從給定的邏輯功能要求出發，選擇適當的邏輯器件，設計出符合要求的邏輯電路。設計方式:分為傳統的設計方式和基于EDA軟件的設計方式。設計過程：方案提出、驗證和修改三階段。（2）數字電路的設計方法數字電路的設計:從給定的邏輯功能要傳統的設計方式：基于EDA軟件的設計方式：

傳統的硬件電路設計全過程均由人工完成，硬件電路的驗證和調試是在電路構成后進行的，故電路存在的問題只能在驗證后發現。若問題大，要重新設計。需經反復調試、驗證、修改完成。設計周期長，資源浪費大，不能滿足大規模集成電路設計的要求。

是借助于計算機來快速準確地完成電路的設計。設計者提出方案后，利用計算機進行邏輯分析、性能分析和時序測試，如發現錯誤或方案不理想，可以重復上述過程直到得到滿意的電路，然后進行硬件電路的實現。這種方法對于設計較復雜的數字系統，優點更為突出。

EDA技術實現硬件設計軟件化。電路設計、分析、仿真、修訂全通過計算機完成。傳統的設計方式：基于EDA軟件的設計方式：傳統EDA技術以計算機為基本工具、借助于軟件設計平臺，自動完成數字系統的仿真、邏輯綜合、布局布線等工作。最后下載到芯片，實現系統功能。使硬件設計軟件化。a、設計：在計算機上利用軟件平臺進行設計原理圖設計VerlogHDL語言設計狀態機設計設計方法EDA（ElectronicsDesignAutomation)技術EDA技術以計算機為基本工具、借助于軟件設計平臺，自動完成數c、下載b、仿真d、驗證結果實驗板下載線c、下載b、仿真d、驗證結果實驗板下載線測試設備為：數字電壓表、電子示波器、邏輯分析儀(一種專用示波器）等。具體測試技術將在實驗課中詳細介紹。（3）數字電路的測試技術測試設備為：數字電壓表、電子示波器、邏輯分析儀(一種專用---時間和數值均連續變化的電信號，如正弦波、三角波等

uOt

Otu1.模擬信號1.1.3模擬信號和數字信號---時間和數值均連續變化的電信號，如正弦波、三角波等uO數字信號波形2.數字信號

---在時間上和數值上均是離散的信號。數字電路和模擬電路：工作信號，研究的對象不同，分析、設計方法以及所用的數學工具也相應不同數字信號波形2.數字信號數字電路和模擬電路：工作信號，研究的3.模擬信號的數字表示由于數字信號便于存儲、分析和傳輸，通常都將模擬信號轉換為數字信號.

0

0

模擬信號

模數轉換器

3V

數字輸出

0

0

0

0

1

1

模數轉換的實現模擬信號通過取樣電路后變成時間離散、幅值連續的取樣信號模擬電壓信號對取樣信號進行量化并進行編碼得數字信號3.模擬信號的數字表示由于數字信號便于存儲、分析和傳1.1.4數字信號的描述方法

模擬信號表示方式：

數字信號表示方式：數學表達式波形圖二值數字邏輯邏輯電平描述的數字波形1.1.4數字信號的描述方法電壓(V)二值邏輯電平+51H(高電平)00L(低電平)邏輯電平與電壓值的關系（正邏輯）1.二值數字邏輯和邏輯電平

在電路中用低、高電平表示0、1兩種邏輯狀態

0、1數碼---表示數量時稱二進制數表示方式二值數字邏輯

---表示事物狀態時稱二值邏輯電壓(V)二值邏輯電平+51H(高電平)00L(低電平)邏

注：邏輯“0”和邏輯“1”表示彼此相關又互相對立的兩種狀態。不是表示大小。例如：“是”與“非”、“真”與“假”、“開”與“關”、“低”與“高”等等。因而常稱為數字邏輯。注：邏輯“0”和邏輯“1”表示彼此相關又互相對立的兩(a)用邏輯電平描述的數字波形(b)16位數據的圖形表示2.數字波形數字波形------是邏輯電平對時間的圖形表示.分析一個數字系統時，因電路采用相同的邏輯電平標準，一般不標高、低電平的電壓值，時間軸也可不標(a)用邏輯電平描述的數字波形(b)16位數據的圖形表示高電平低電平有脈沖非歸零型（一拍內用高電平代表

1，低電平代表0）歸零型（一拍內有脈沖代表1，無脈沖代表0）

一般只有作為時序控制信號的時鐘脈沖是歸零型，其他大多數數字信號都是非歸零型。數字信號只有兩個取值，故稱為二值信號，數字波形又稱為二值位形圖。非歸零信號的每位數據占用一個位時間。每秒鐘傳輸數據的位數稱為數據率或比特率。無脈沖(1)數字波形的兩種類型:非歸零型歸零型1位1bit一拍T：一定的時間間隔高電平低電平有脈沖非歸零型（一拍內用高電平代表歸零型（一拍內例1.1.1

某通信系統每秒鐘傳輸1544000位(1.544兆位)數據，求每位數據的時間。解：按題意，每位數據的時間為例1.1.1某通信系統每秒鐘傳輸1544000位(1.5(2)周期性和非周期性

周期脈寬非周期性數字波形周期性數字波形

周期性數字波形常用周期T和f頻率來描述。脈沖波形的脈沖寬度稱為脈寬，它表示脈沖的作用時間。另一個重要參數是占空比q（脈寬占整個周期的百分比）。q（％）=tw/T*100％

當占空比為50％時，此時的矩形脈沖為方波。即0和1交替出現并持續占有相同的時間。(2)周期性和非周期性 周期脈寬非周期性數字波形周期性數例1.1.2

設周期性數字波形的高電平持續6ms，低電平持續10ms，求占空比q。解：因數字波形的脈沖寬度tw=6ms，周期T=6ms+10ms=16ms。例1.1.2設周期性數字波形的高電平持續6ms，低電平持非理想脈沖波形(3)實際數字信號波形及主要參數非理想脈沖波形(3)實際數字信號波形及主要參數幾個主要參數:占空比Q

-----

表示脈沖寬度占整個周期的百分比上升時間tr

和下降時間tf----從脈沖幅值的10%到90%上升

下降所經歷的時間(典型值為幾ns)

例見教材12頁脈沖寬度(tw)----

脈沖幅值的50%的兩個時間所跨越的時間周期(T)----

表示兩個相鄰脈沖之間的時間間隔

tr脈沖寬度

tw

0.5V

4.5V

2.5V

幅值=5.0V

0.0V

5.0V

tf0.5V

2.5V

4.5V

幾個主要參數:占空比Q-----表示脈沖寬度占整個周(4)時序圖----表明各個數字信號時序關系的多重波形圖。

由于各信號的路徑不同，這些信號之間不可能嚴格保持同步關系。為了保證可靠工作，各信號之間通常允許一定的時差，但這些時差必須限定在規定范圍內，各個信號的時序關系用時序圖表達。(4)時序圖----表明各個數字信號時序關系的多重波形圖。

1.2.1十進制

1.2.2二進制

1.2.3十～二進制之間的轉換

1.2.4十六進制和八進制1.2數制1.2.1十進制1.2.2二進制1.2.3十～二一、定義：

以10為基數的計數體制。1.2.1十進制二、特點：

1、任何一位數可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數碼表示。

2、進位規律是“逢十進一”。即9+1=10=1×101+0×100例如：一、定義：1.2.1十進制二、特點：

式中，102

、101

是根據每一個數碼所在的位置而定的，稱之為“權”。3、在十進制中，各位的權都是10的冪，而每個權的系數只能是0～9這十個數碼中的一個。三、一般表達式:位權系數式中，102、101是根據每一個數碼所在

在數字電路中，計數的基本思想是要把電路的狀態與數碼一一對應起來。顯然，采用十進制是十分不方便的。它需要十種電路狀態，要想嚴格區分這十種狀態是很困難的。在數字電路中，計數的基本思想是要把電一、特點二、二進制數的一般表達式為:1、任何一位數可以而且只可以用0和1表示。2、進位規律是：“逢二進一”。3、各位的權都是2的冪。1.2.2二進制位權系數例如：1+1=10=1×21

+0×20一、特點二、二進制數的一般表達式為:1、任何一位數可以而且只例1.2.1

試將二進制數(01010110)B轉換為十進制數。解：將每一位二進制數乘以位權然后相加便得相應的十進制數。

位數太多，不符合人的習慣，不能在頭腦中立即反映出數值的大小，一般要將其轉換成十進制后，才能反映。三、二進制的優點：1）、二進制的數字裝置簡單可靠，所用元件少易于電路實現---每一位數只有兩個值，可以用管子的導通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點的閉合或斷開來表示。

2）、基本運算規則簡單，運算操作方便四、二進制的缺點：(01010110)B=26+24+22+21=（86)D例1.2.1試將二進制數(01010110)B轉換為十進制二進制數的最低位數碼標示二進制數的最高位數碼標示五、二進制的波形表示二進制數的最低位數碼標示二進制數的最高位數碼標示五、二進制的六、二進制數據的傳輸(串聯)LSBMSB六、二進制數據的傳輸(串聯)LSBMSB七、二進制數據的傳輸(并聯)

將一組二進制數據所有位同時傳送。傳送速率快,但數據線較多，而且發送和接收設備較復雜。七、二進制數據的傳輸(并聯)將一組二進制數據

常用方法是“按權相加”。一、二進制數轉換成十進制數：1.2.3十～二進制之間的轉換常用方法是“按權相加”。一、二進制數轉換成十進制數：1二、十進制數轉換成二進制數：

1.

整數部分的轉換（基數除法）

將十進制數的整數部分連續不斷地除以2,直至商為零，所得余數由低位到高位排列，即為所求二進制數。整數部分小數部分二、十進制數轉換成二進制數：1.整數部分的轉換（基數除法例1.2.2(63)10==(?)26321=b01=b53153171=b11=b21=b31=b42222余數故

(63)10=(111111)2

若十進制數較大時，則不必逐位去除2，可算出2的冪與十進制對比。

例1.2.3

（261)10=(?)2

解：∵28=256，261–256=5，(5)10=(101)2,∴(261)10=(100000101)2其它進制的數可以類推。例1.2.2(63)10==(?)26321=b02.小數部分的轉換（基數乘法）等式兩邊依次乘以2,可分別得b-1、b-2…..:2.小數部分的轉換（基數乘法）等式兩邊依次乘以2,可分別得例1.2.4

將(0.706)D轉換為二進制數，要求其誤差不大于2-10。解：按上述方法，可得：0.706×2=1.412……1……b－10.412×2=0.824……0……b－20.824×2=1.648……1……b－30.648×2=1.296……1……b－40.296×2=0.592……0……b－50.592×2=1.184……1……b－6

0.184×2=0.368……0……b－7

0.368×2=0.736……0……b－8

0.736×2=1.472……1……b－9

由于最后的小數小于0.5，根據“四舍五入”的原則，b－10應為0。所以，(0.706)D=(0.1011010010)B，其誤差例1.2.4將(0.706)D轉換為二進制數，要求其誤差由此可見：基數乘法是純小數部分用來乘以基數R，直到乘積的小數部分為0（精確轉換），或者小數部分雖不為0，但得到的位數已達到需要的精度（近似轉換）為止。再將每次乘積的整數部分按得到的先后順序排列，即為等值的R進制數的小數部分。可簡記為“乘R順取整”。

基數的除法也可推廣到R進制，簡記為“除R倒取余”。由此可見：一、特點：1.2.4十六進制和八進制

1、八進制數以8為基數，采用0,1,2,3,4,5,6,7八個數碼表示任何一位數。

2、進位規律是“逢八進一”。

3、各位的權都是8的冪。例：(144)O=64+32+4=(100)D八進制一、特點：1.2.4十六進制和八進制1、八二、二進制轉換成八進制：三、八進制轉換成二進制：將每位八進制數展開成三位二進制數，排列順序不變即可。轉換時，由小數點開始，整數部分自右向左，小數部分自左向右，三位一組，不夠三位的添零補齊，則每三位二進制數表示一位八進制數。因為八進制的基數8=23

，所以，可將三位二進制數表示一位八進制數，即000～111表示0～7如：

(10110.011)B=如：

(752.1)O=(26.3)O

(111101010.001)B二、二進制轉換成八進制：三、八進制轉換成二進制：轉換時，由小如：（011

010.101

100）2＝（？）8

3254

故：（11010.1011）2＝（32.54）8

如：

（576.04）8＝（？）2

101

111

110

000

100故：（576.04）8＝（101111110.0001）2如：（011010.101100）2＝（？）8一、特點：

1、十六進制數采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六個數碼表示。

2、進位規律是“逢十六進一”。

3、各位的權都是16的冪。十六進制一、特點：十六進制二、二進制轉換成十六進制：

三、十六進制轉換成二進制：因為16進制的基數16=24，所以，可將四位二進制數表示一位16進制數，即0000～1111表示0-F。例(111100010101110)B=將每位16進制數展開成四位二進制數，排列順序不變即可。例

(BEEF)H=(78AE)H

(1011111011101111)B二、二進制轉換成十六進制：三、十六進制轉換成二進制：例：

（7AB.9）16＝（？）2

0111

1010

1011

1001

故：（7AB.9）16＝（11110101011.1001）2結論：

基數為的數制之間數的轉換可以用二進制數為橋梁。這樣使轉換變得非常簡單。例1.2.5（7EF.56）16＝（？）8解:（7EF.56）16＝（0111

1110

1111.0101

0110）2

＝(011

111

101

111.010

101

100)2

＝(3757.254)8例：（7AB.9）16＝（？）2四、優點：

十六進制在數字電路中，尤其在計算機中得到廣泛的應用，因為：

1、與二進制之間的轉換容易；

2、計數容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數碼，二進制最多可計至1111B=15D；八進制可計至7777O=4095D；十進制可計至9999D；十六進制可計至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。

3、計算機系統中，大量的寄存器、計數器等往往按四位一組排列。故使十六進制的使用獨具優越性。四、優點：十六進制在數字電路中，尤其在計算機幾種數制之間的關系對照表十進制數二進制數八進制數十六進制數0123456789100000000001000100001100100001010011000111010000100101010012345671011120123456789A十進制數二進制數八進制數十六進制數111213141516171819200101101100011010111001111100001000110010100111010013141516172021222324BCDEF1011121314幾種數制之間的關系對照表十進制數二進制數八進制數十六進制數0將R進制數轉換為十進制數：

是將R進制的數“按權相加”，即可得到與R進制數等值的十進制數。例1.2.6（1101.01）2＝（？）10

解：

例1.2.7解：

例1.2.8解：注：將十六進制轉換為十進制數時，應將其字母

A－F寫成相應的十進制數。小結：將R進制數轉換為十進制數：是將R進制的將十進制數轉換為非十進制數：

將十進制數轉換為非十進制數時，應分為兩部分進行。其中，小數部分的轉換由基數乘法得到，而整數部分的轉換則通過基數除法獲得。最后將得到的結果用小數點連接起來。例1.2.9

(26)10=（？）2

解：應該用基數除法進行“除2倒取余”得到。故

(26)10＝(11010)2將十進制數轉換為非十進制數：將十進制數轉換為非例1.2.10(854)10＝(？)8解：與上例相似，利用“除8倒取余”法故(854)10＝(1526)8例1.2.10(854)10＝(？)8故(854)

若十進制數較大時，不必逐位去除2，可算出2的冪與十進制對比，如：

（261)10=(?)2

由于28=256，而261–256=5，(5)10=(101)2,所以(261)10=(100000101)2其它進制的數可以類推。當十進制數較大時，有什么方法使轉換過程簡化?若十進制數較大時，不必逐位去除2，可算出2例1.2.11

（32.125）10＝（？）16解：分兩部分進行，先用“除16倒取余”法得到其整數部分，再用基數乘法，將小數部分不斷乘以基數16，直到乘積的小數部分為0（或者達到所要求的精度）為止，簡稱：乘16順取整。具體為：（32）10＝（20）16

（0.125）10＝（0.2）16故：（32.125）10＝（20.2）16例1.2.11（32.125）10＝（？）16（32）101.3二進制數的算術運算0+0=0，0+1=1，1+1=10

1.二進制加法方框中的1是進位，表示兩個1相加“逢二進一”1.3.1無符號二進制數的算術運算加法規則：1.3二進制數的算術運算0+0=0，0+1=2.二進制減法減法規則：0-0=0，1-1=0，1-0=1，0-1=11方框中1是借位位，表示0減1時不夠減，向高位借1.2.二進制減法減法規則：0-0=0，1-1=03.乘法運算和除法運算10101010×0101000010100000110010所以1010×

0101=110010例1.3.1計算兩個二進制數1010和0101的積3.乘法運算和除法運算10101010×01例1.3.2計算兩個二進制1010和111的商1010110111111101011111所以1010÷111=1.011…1111.1010例1.3.2計算兩個二進制1010和111的商1011.3.2帶符號二進制數的減法運算一.真值與機器數

我們之前所討論的數都沒有涉及符號（默認為正數），但是在實際應用中會碰到正數，也會碰到負數。因此，一個數應該由兩部分組成：數的符號和數的數值。數的符號中，用“＋”表示正數，符號“－”表示負數，而計算機中只認識“0”和“1”代碼，不認識其他符號，所以約定：用“0”表示“＋”符號，用“1”表示“－”符號。這樣符號就數值化了。如：二進制數＋0.1101與－0.1101在機器中的表示見下圖所示：1.3.2帶符號二進制數的減法運算一.真值與機器數

為了區分“＋”、“－”號數值化前后的兩個對應數，即區別原來的數和它在計算機中表示的數，我們稱后者為機器數，而前者為機器數的真值。即：機器數：一個數（連同符號位）在計算機中加以數值化后的表示形式。（符號數碼化的數）真值：符號位用“＋”、“－”號表示且與機器數相應的數稱為該機器數的真值。注：計算機是對機器數進行運算，而最終結果需要的又是真值。因此，機器數應盡可能滿足下列要求：

1.機器數的表示能被計算機識別

2.機器數與真值的轉換要方便

3.機器數的運算規則要簡單為了區分“＋”、“－”號數值化前后的兩個對應數由此可見，用“0”與“1”代替“＋”與“－”號的機器數能滿足上述前兩個要求，但不一定滿足第三個要求（因為其符號位具有符號的含義，在進行計算時，符號位可能不能象數值位一樣進行運算，而需要單獨處理）。目前，常用機器數有三種形式：

原碼，反碼和補碼。二、原碼

原碼的表示法又稱符號——數值表示法。用原碼表示其真值時，第一位是符號位，且正數的符號位用“0”表示；負數的符號位則用“1”表示。其余各位是數的絕對值部分。

(+1011)原=0

1011(-1011)原=1

1011由此可見，用“0”與“1”代替“＋”與“－”號

零的原碼有兩種表示形式。

[+0]原=000…0[-0]原=100…0

并且，原碼表示與真值的形式非常相似。所以，由真值求原碼較易，但在計算機中，用原碼來進行算術運算較煩，因為在進行加、減運算中，要根據具體參加運算的兩個數的符號來確定兩數的加、減。若是減法運算，尚需要比較兩個數的絕對值，才能確定誰為被減數。這在具體的實現時，邏輯電路的結構將很復雜。若能將加、減按一種規則來運算，則電路結構將會簡單些。為此，又找出了其它兩種機器數的表示方法：反碼和補碼。1數字邏輯基礎講解課件三、反碼用反碼表示真值時，最左邊一位是符號位，且“0”表示正數；“1”表示負數。對于正數，其反碼的數值部分為真值的數值部分；對于負數，其反碼的數值部分則為真值的數值部分按位求反，故稱為反碼。

零的反碼有兩種形式：

[+0]反=000…0[-0]反=111…1

例:（+1011）反=01011

（-1011）反=10100三、反碼例:（+1011）反=01011“補”的概念：

模：系統的最大量程。如鐘表的最大量程為12。當表示的值超過系統的最大量程（即模）時，自動將模丟失。

例：13=12+1=1（mod12）而若4+8=12（模）則稱4和8互為補數（mod12）即：一個數加上其補數等于模。也即：一個數的補數等于模減去該數。例：3的補數=12-3=9（mod12）“補”的概念：模：系統的最大量程。當二進制數為正數時，其補碼與原碼相同；當二進制數為負數時，其原碼的數值位逐位求反（即得到反碼）然后在反碼最低位加1得到補碼。

四、補碼

補碼的最高位為符號位，正數為0，負數為1;零的補碼只有一種形式：

[+0]補=[-0]補=000…0例：[-1011]補=10101當二進制數為正數時，其補碼與原碼相同；當二進制數為負五、原碼、補碼和反碼的相互轉換機器數的三種代碼相互轉換見下圖所示：[x]原真值x[x]補[x]反+,-0,1數值位不變符號位不變數值位不變

（當符號位為0時）求反加1（當符號位為1時）符號位不變數值位不變（當符號位為0時）求反（當符號為為1時）五、原碼、補碼和反碼的相互轉換機器數的三種代碼相互轉換見下圖小結：由上圖可得原碼、反碼和補碼的幾個性質如下：1.真值為正時，[x]原、[x]反及[x]補的最高位（即符號位）為0；真值為負時，[x]原、[x]反及[x]補的最高位（即符號位）為1。2.真值為正時，[x]原＝[x]反＝[x]補，且它們的數值位與真值x的數值位完全相同；真值為負時：[x]原與真值的數值位完全相同，[x]反為真值x的各位按位求反，[x]補則為真值x的各位求反加1。3.真值為0時，[x]原與[x]反均有兩種表示形式，即+0和-0，且它們的數值相等。而[x]補的零只有一種表示形式。4.補碼的數域要比原碼和反碼大。并且，[x]原、[x]反及[x]補均能被計算機識別；他們與真值間的轉換以原碼最為方便，反碼其次，補碼最差。小結：由上圖可得原碼、反碼和補碼的幾個性質如下：六、二進制補碼的減法運算補碼加、減運算的基本理論是：1.符號位與數值位一起參加運算，且符號位產生的進位自動丟失。2.其加、減運算規則為：

[x+y]補=[x]補+[y]補

[x-y]補=[x]補+[-y]補

由此可見：補碼的加、減運算可統一為一種運算——加法運算。3.零的補碼表示具有唯一性，故數“0”用補碼表示后，不會給運算器的識別和運算帶來不便。4.運算結果仍為補碼。例1.3.3

試用4位二進制補碼計算5-2解：(5-2)補=(5)補+(-2)補=0101+1110=00110101+1110[1]0011丟失六、二進制補碼的減法運算補碼加、減運算的基本理論是：010

例1.3.4若x=0.1100,y=0.0010，求[x+y]補及[x-y]補。解：

[x]補=0.1100[y]補=0.0010[-y]補=1.1110[x+y]補=[x]補+[y]補=0.1100+0.0010=0.1110[x-y]補=[x]補+[-y]補=0.1100+1.1110=0.1010

七、溢出例1.3.5試用4位二進制補碼計算5+7解:因為(5+7)補=(5)補+(7)補=0101+0111=11000101+0111[1]100解決溢出的辦法:進行位擴展。七、溢出例1.3.5試用4位二進制補碼計算5+7

結論：兩個同號數相減或異號數相加不會產生溢出，但兩個同號數相加或異號數相減有可能產生溢出。

當方框中的進位位（符號位的進位）與數的最高位的進位位相異時，則運算結果是錯誤的，產生溢出。如何判斷是否產生溢出？正確溢出八、溢出的判別結論：兩個同號數相減或異號數相加不會產生溢出，但兩個同號1.4二進制代碼

建立二進制代碼與十進制數字、字母、符號等的一一對應的關系稱為編碼。二進制代碼的位數(n),與需要編碼的事件（或信息）的個數(N)之間應滿足以下關系：

代碼不表示數量的大小，只是不同事或物的代號，為了便于記憶和處理，在編制代碼時總要遵循一定的規則，這些規則就稱為碼制。

用二進制數碼對事物進行表示，稱為二進制代碼。

數字系統中的信息分兩類：數值字符（代碼）1.4二進制代碼建立二進制代碼與十進制數字、字母、符號

1.4.1二—十進制碼(數值編碼)(BCD碼-----BinaryCodeDecimal）

用4位二進制數來表示一位十進制數中的0~9十個數碼。

從4位二進制數16種代碼中,選擇10種來表示0~9個數碼的方案有很多種。每種方案產生一種BCD碼。1.4.1二—十進制碼(數值編碼)用4位二進制數來十進制數8421碼2421碼5421碼余3碼余3循環碼000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011001101100101401000100010001110100501011011100010001100601101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111110011001010表1.4.1幾種常用的BCD代碼十進制數8421碼2421碼5421碼余3碼余3循環碼0

余３碼的特點:當兩個十進制數的和是10時，相應的二進制編碼正好是16，于是可自動產生進位信號,而不需修正。0和9,1和8,…..5和4的余３碼互為反碼,這在求對于10的補碼很方便。

余3碼循環碼的特點：相鄰的兩個代碼之間僅一位的狀態不同。按余3碼循環碼組成計數器時，每次轉換過程只有一個觸發器翻轉，譯碼時不會發生競爭－冒險現象。

有權碼的特點：編碼與所表示的十進制數之間的轉算容易。如(10010000)8421BCD=(90)10余３碼的特點:當兩個十進制數的和是10時，

對于一個多位的十進制數，需要有與十進制位數相同的幾組BCD代碼來表示。例如：不能省略！不能省略！

對于一個多位的十進制數，需要有與十進制位數相同的幾組BC

對于有權BCD碼，可以根據位權展開求得所代表的十進制數。例如：[]BCD8421

0111()D

7=11214180+++=[]()D

BCD2421

7112041211101=+++=對于有權BCD碼，可以根據位權展開求得所代表的十進制數。1.4.2格雷碼

格雷碼是一種無權碼。其編碼如28頁表1.4.2所示。二進制碼b3b2b1b0格雷碼G3G2G1G000000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

編碼特點是：任何兩個相鄰代碼之間僅有一位不同。

該特點是其它所有碼不具備的,常用于模擬量的轉換。當模擬量發生微小變化，而可能引起數字量發生變化時，格雷碼僅僅改變一位，這與其它碼同時改變2位或更多的情況相比，更加可靠。例如，8421碼中的0111和1000是相鄰碼，當7變到8時，四位均變了。若采用格雷碼，0100和1100是相鄰碼，僅最高一位變了。1.4.2格雷碼

格雷碼是一種無權碼。其編碼如28頁表

1.4.3ASCII碼(字符編碼)

ASCII碼即美國標準信息交換碼。它是用七位二進制碼表示的，其編碼見教材28-29頁表1.4.3A和表1.4.3B

。它共有128個代碼，可以表示大、小寫英文字母、十進制數、標點符號、運算符號、控制符號等，普遍用于計算機的鍵盤指令輸入和數據等。

1.4.3ASCII碼(字符編碼)ASCII小結:用0和1組成的二進制數可以表示數量的大小，也可以表示對立的兩種邏輯狀態。數字系統中常用二進制數來表示數值。

在微處理器、計算機和數據通信中，常采用十六進制。任意一種格式的數可以在十六進制、二進制和十進制之間相互轉換。

二進制數有加、減、乘、除四種運算，加法是各種運算的基礎。特殊二進制碼常用來表示十進制數。如8421碼、2421碼、5421碼、余三碼、余三碼循環碼、格雷碼等。1.5

基本邏輯運算

1.6邏輯函數及其表示方法

這兩小節的內容放在第二章講小結:1.5基本邏輯運算

1.6邏輯函數及其表示方法本章作業:P36-371.1.2

;1.1.4;1.2.1;1.4.1(1)(3);1.4.3(2)(3)本章作業:P36-371.1.2;1.1.第1章數字邏輯概論1.1數字電路與數字信號

1.2數制

1.3二進制數的算術運算

1.4二進制代碼

1.5基本邏輯運算

1.6邏輯函數及其表示方法第1章數字邏輯概論1.1數字電路與數字信號

1.2數5、掌握基本邏輯運算、邏輯函數及其表示方法教學基本要求1、了解數字信號與數字電路的基本概念2、了解數字信號的特點及表示方法3、掌握常用二～十、二～十六進制的轉換4、了解常用二進制碼，特別是8421BCD碼5、掌握基本邏輯運算、邏輯函數及其表示方法教學基本要求1、了三次工業革命：第一次是以蒸汽機的發明為標志的工業革命，單說工業革命指的是本次工業革命，代表性的國家是英國。第二次是1870年至20世紀初，主要是電力的應用，以及汽車和內燃機的發明，主要國家是德國、美國，這次革命造成德國崛起，挑戰英國霸權，是一戰發生的經濟、科技動因。第三次是20世紀80年代至今的信息科技技術革命，最大成就是互聯網的應用，美國一枝獨秀，遙遙領先，成為歷史上最強大的超級大國。三次工業革命：第一次是以蒸汽機的發明為標志的工業革1.1數字電路與數字信號

電子技術是二十世紀發展最迅速、應用最廣泛的技術。已使工業、農業、科研、教育、醫療、文化娛樂以及人們的日常生活發生了根本的變革。特別是數字電子技術，更是取得了令人矚目的進步。電子技術的發展是以電子器件的發展為基礎的。真空管20世紀初直至中葉晶體三極管1947年集成電路60年代初70年代末微處理器1.1.1數字技術的發展及其應用1.1數字電路與數字信號電子技術是二十世紀80年代后：ULSI，10億個晶體管/片、ASIC制作技術成熟目前，芯片內部的布線細微到亞微米(0.13~0.09m)量級微處理器的時鐘頻率高達3GHz（109Hz）90年代后：一片集成電路上有40億個晶體管。60~70代：IC技術迅速發展：SSI、MSI、LSI、VLSI。10萬個晶體管/片。

專用集成電路將來，高分子材料或生物材料制成密度更高、三維結構的電路超大規模甚大規模80年代后：ULSI，10億個晶體管/片、AS發展特點:以電子器件的發展為基礎電子管時代:1906年，福雷斯特等發明了電子管；電子管體積大、重量重、耗電大、壽命短。目前在一些大功率發射裝置中使用。電壓控制器件電真空技術發展特點:以電子器件的發展為基礎電子管時代:1906年，福雷晶體管時代:電流控制器件半導體技術半導體二極管、三極管器件晶體管時代:電流控制器件半導體二極管、三極管器件半導體集成電路半導體集成電路注解：ASIC（ApplicationSpecificIntergratedCircuits）即專用集成電路，是指應特定用戶要求和特定電子系統的需要而設計、制造的集成電路。目前用CPLD（復雜可編程邏輯器件）和FPGA（現場可編程邏輯陣列）來進行ASIC設計是最為流行的方式之一，它們的共性是都具有用戶現場可編程特性，都支持邊界掃描技術，但兩者在集成度、速度以及編程方式上具有各自的特點。ASIC的特點是面向特定用戶的需求，品種多、批量少，要求設計和生產周期短，它作為集成電路技術與特定用戶的整機或系統技術緊密結合的產物，與通用集成電路相比具有體積更小、重量更輕、功耗更低、可靠性提高、性能提高、保密性增強、成本降低等優點,嚴格的說,ASIC不能算是學術名詞,也不能算是技術.注解：ASIC（ApplicationSpecificI

數字技術應用的典型代表是電子計算機，數字電子技術的發展衍生出計算機的不斷發展和完善。

數字技術被廣泛應用于：廣播、電視、通信、醫學診斷、測量、控制、文化誤樂以及家庭生活等方面。例如：照相機JPEG(靜態影像壓縮標準)視頻記錄設備MPEG(動態影像壓縮標準)交通燈控制系統數字技術應用的典型代表是電子計算機，數字電子數碼相機智能儀器計算機數字技術的應用數碼相機智能儀器計算機數字技術的應用

電子電路按功能分為模擬電路和數字電路。

現代數字電路由數字集成器件構造而成，邏輯門是基本的單元電路。根據電路的結構特點及其對輸入信號響應規則不同，數字電路分為兩個大類：組合邏輯電路、時序邏輯電路。1.1.2數字集成電路的分類及特點電子電路按功能分為模擬電路和數字電路。

1.數字集成電路的分類從集成度來說，數字集成電路可分為：小規模（SSI）、中規模（MSI）、大規模（LSI）、超大規模（VLSI）和甚大規模（ULSI）等五類。

表1.1.1數字集成電路的分類分類門的個數典型集成電路小規模最多12個邏輯門電路中規模12～99計數器、加法器大規模100～9999小型存儲器、門陣列超大規模1000～99999大型存儲器、微處理器甚大規模106以上可編程邏輯器件、多功能集成電路集成度:每一芯片所包含的門的個數。1.數字集成電路的分類從集成度來說，數字集成電路可分2.數字集成電路的特點1）穩定性能高，結果的再現性好2）易于設計3）大批量生產，成本低廉4）可編程性5）高速度，低功耗2.數字集成電路的特點1）穩定性能高，結果的再現性好2）3.數字電路的分析、設計與測試

數字電路的研究對象是電路的輸入與輸出之間的邏輯關系。

分析工具：邏輯代數。電路邏輯功能的表達：主要用真值表、功能表、邏輯表達式、卡諾圖和波形圖。（1）數字電路的分析方法數字電路的分析:根據電路確定電路輸出與輸入之間的邏輯關系。3.數字電路的分析、設計與測試數字電路的研究對象是電路（2）數字電路的設計方法數字電路的設計:從給定的邏輯功能要求出發，選擇適當的邏輯器件，設計出符合要求的邏輯電路。設計方式:分為傳統的設計方式和基于EDA軟件的設計方式。設計過程：方案提出、驗證和修改三階段。（2）數字電路的設計方法數字電路的設計:從給定的邏輯功能要傳統的設計方式：基于EDA軟件的設計方式：

傳統的硬件電路設計全過程均由人工完成，硬件電路的驗證和調試是在電路構成后進行的，故電路存在的問題只能在驗證后發現。若問題大，要重新設計。需經反復調試、驗證、修改完成。設計周期長，資源浪費大，不能滿足大規模集成電路設計的要求。

是借助于計算機來快速準確地完成電路的設計。設計者提出方案后，利用計算機進行邏輯分析、性能分析和時序測試，如發現錯誤或方案不理想，可以重復上述過程直到得到滿意的電路，然后進行硬件電路的實現。這種方法對于設計較復雜的數字系統，優點更為突出。

EDA技術實現硬件設計軟件化。電路設計、分析、仿真、修訂全通過計算機完成。傳統的設計方式：基于EDA軟件的設計方式：傳統EDA技術以計算機為基本工具、借助于軟件設計平臺，自動完成數字系統的仿真、邏輯綜合、布局布線等工作。最后下載到芯片，實現系統功能。使硬件設計軟件化。a、設計：在計算機上利用軟件平臺進行設計原理圖設計VerlogHDL語言設計狀態機設計設計方法EDA（ElectronicsDesignAutomation)技術EDA技術以計算機為基本工具、借助于軟件設計平臺，自動完成數c、下載b、仿真d、驗證結果實驗板下載線c、下載b、仿真d、驗證結果實驗板下載線測試設備為：數字電壓表、電子示波器、邏輯分析儀(一種專用示波器）等。具體測試技術將在實驗課中詳細介紹。（3）數字電路的測試技術測試設備為：數字電壓表、電子示波器、邏輯分析儀(一種專用---時間和數值均連續變化的電信號，如正弦波、三角波等

uOt

Otu1.模擬信號1.1.3模擬信號和數字信號---時間和數值均連續變化的電信號，如正弦波、三角波等uO數字信號波形2.數字信號

---在時間上和數值上均是離散的信號。數字電路和模擬電路：工作信號，研究的對象不同，分析、設計方法以及所用的數學工具也相應不同數字信號波形2.數字信號數字電路和模擬電路：工作信號，研究的3.模擬信號的數字表示由于數字信號便于存儲、分析和傳輸，通常都將模擬信號轉換為數字信號.

0

0

模擬信號

模數轉換器

3V

數字輸出

0

0

0

0

1

1

模數轉換的實現模擬信號通過取樣電路后變成時間離散、幅值連續的取樣信號模擬電壓信號對取樣信號進行量化并進行編碼得數字信號3.模擬信號的數字表示由于數字信號便于存儲、分析和傳1.1.4數字信號的描述方法

模擬信號表示方式：

數字信號表示方式：數學表達式波形圖二值數字邏輯邏輯電平描述的數字波形1.1.4數字信號的描述方法電壓(V)二值邏輯電平+51H(高電平)00L(低電平)邏輯電平與電壓值的關系（正邏輯）1.二值數字邏輯和邏輯電平

在電路中用低、高電平表示0、1兩種邏輯狀態

0、1數碼---表示數量時稱二進制數表示方式二值數字邏輯

---表示事物狀態時稱二值邏輯電壓(V)二值邏輯電平+51H(高電平)00L(低電平)邏

注：邏輯“0”和邏輯“1”表示彼此相關又互相對立的兩種狀態。不是表示大小。例如：“是”與“非”、“真”與“假”、“開”與“關”、“低”與“高”等等。因而常稱為數字邏輯。注：邏輯“0”和邏輯“1”表示彼此相關又互相對立的兩(a)用邏輯電平描述的數字波形(b)16位數據的圖形表示2.數字波形數字波形------是邏輯電平對時間的圖形表示.分析一個數字系統時，因電路采用相同的邏輯電平標準，一般不標高、低電平的電壓值，時間軸也可不標(a)用邏輯電平描述的數字波形(b)16位數據的圖形表示高電平低電平有脈沖非歸零型（一拍內用高電平代表

1，低電平代表0）歸零型（一拍內有脈沖代表1，無脈沖代表0）

一般只有作為時序控制信號的時鐘脈沖是歸零型，其他大多數數字信號都是非歸零型。數字信號只有兩個取值，故稱為二值信號，數字波形又稱為二值位形圖。非歸零信號的每位數據占用一個位時間。每秒鐘傳輸數據的位數稱為數據率或比特率。無脈沖(1)數字波形的兩種類型:非歸零型歸零型1位1bit一拍T：一定的時間間隔高電平低電平有脈沖非歸零型（一拍內用高電平代表歸零型（一拍內例1.1.1

某通信系統每秒鐘傳輸1544000位(1.544兆位)數據，求每位數據的時間。解：按題意，每位數據的時間為例1.1.1某通信系統每秒鐘傳輸1544000位(1.5(2)周期性和非周期性

周期脈寬非周期性數字波形周期性數字波形

周期性數字波形常用周期T和f頻率來描述。脈沖波形的脈沖寬度稱為脈寬，它表示脈沖的作用時間。另一個重要參數是占空比q（脈寬占整個周期的百分比）。q（％）=tw/T*100％

當占空比為50％時，此時的矩形脈沖為方波。即0和1交替出現并持續占有相同的時間。(2)周期性和非周期性 周期脈寬非周期性數字波形周期性數例1.1.2

設周期性數字波形的高電平持續6ms，低電平持續10ms，求占空比q。解：因數字波形的脈沖寬度tw=6ms，周期T=6ms+10ms=16ms。例1.1.2設周期性數字波形的高電平持續6ms，低電平持非理想脈沖波形(3)實際數字信號波形及主要參數非理想脈沖波形(3)實際數字信號波形及主要參數幾個主要參數:占空比Q

-----

表示脈沖寬度占整個周期的百分比上升時間tr

和下降時間tf----從脈沖幅值的10%到90%上升

下降所經歷的時間(典型值為幾ns)

例見教材12頁脈沖寬度(tw)----

脈沖幅值的50%的兩個時間所跨越的時間周期(T)----

表示兩個相鄰脈沖之間的時間間隔

tr脈沖寬度

tw

0.5V

4.5V

2.5V

幅值=5.0V

0.0V

5.0V

tf0.5V

2.5V

4.5V

幾個主要參數:占空比Q-----表示脈沖寬度占整個周(4)時序圖----表明各個數字信號時序關系的多重波形圖。

由于各信號的路徑不同，這些信號之間不可能嚴格保持同步關系。為了保證可靠工作，各信號之間通常允許一定的時差，但這些時差必須限定在規定范圍內，各個信號的時序關系用時序圖表達。(4)時序圖----表明各個數字信號時序關系的多重波形圖。

1.2.1十進制

1.2.2二進制

1.2.3十～二進制之間的轉換

1.2.4十六進制和八進制1.2數制1.2.1十進制1.2.2二進制1.2.3十～二一、定義：

以10為基數的計數體制。1.2.1十進制二、特點：

1、任何一位數可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數碼表示。

2、進位規律是“逢十進一”。即9+1=10=1×101+0×100例如：一、定義：1.2.1十進制二、特點：

式中，102

、101

是根據每一個數碼所在的位置而定的，稱之為“權”。3、在十進制中，各位的權都是10的冪，而每個權的系數只能是0～9這十個數碼中的一個。三、一般表達式:位權系數式中，102、101是根據每一個數碼所在

在數字電路中，計數的基本思想是要把電路的狀態與數碼一一對應起來。顯然，采用十進制是十分不方便的。它需要十種電路狀態，要想嚴格區分這十種狀態是很困難的。在數字電路中，計數的基本思想是要把電一、特點二、二進制數的一般表達式為:1、任何一位數可以而且只可以用0和1表示。2、進位規律是：“逢二進一”。3、各位的權都是2的冪。1.2.2二進制位權系數例如：1+1=10=1×21

+0×20一、特點二、二進制數的一般表達式為:1、任何一位數可以而且只例1.2.1

試將二進制數(01010110)B轉換為十進制數。解：將每一位二進制數乘以位權然后相加便得相應的十進制數。

位數太多，不符合人的習慣，不能在頭腦中立即反映出數值的大小，一般要將其轉換成十進制后，才能反映。三、二進制的優點：1）、二進制的數字裝置簡單可靠，所用元件少易于電路實現---每一位數只有兩個值，可以用管子的導通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點的閉合或斷開來表示。

2）、基本運算規則簡單，運算操作方便四、二進制的缺點：(01010110)B=26+24+22+21=（86)D例1.2.1試將二進制數(01010110)B轉換為十進制二進制數的最低位數碼標示二進制數的最高位數碼標示五、二進制的波形表示二進制數的最低位數碼標示二進制數的最高位數碼標示五、二進制的六、二進制數據的傳輸(串聯)LSBMSB六、二進制數據的傳輸(串聯)LSBMSB七、二進制數據的傳輸(并聯)

將一組二進制數據所有位同時傳送。傳送速率快,但數據線較多，而且發送和接收設備較復雜。七、二進制數據的傳輸(并聯)將一組二進制數據

常用方法是“按權相加”。一、二進制數轉換成十進制數：1.2.3十～二進制之間的轉換常用方法是“按權相加”。一、二進制數轉換成十進制數：1二、十進制數轉換成二進制數：

1.

整數部分的轉換（基數除法）

將十進制數的整數部分連續不斷地除以2,直至商為零，所得余數由低位到高位排列，即為所求二進制數。整數部分小數部分二、十進制數轉換成二進制數：1.整數部分的轉換（基數除法例1.2.2(63)10==(?)26321=b01=b53153171=b11=b21=b31=b42222余數故

(63)10=(111111)2

若十進制數較大時，則不必逐位去除2，可算出2的冪與十進制對比。

例1.2.3

（261)10=(?)2

解：∵28=256，261–256=5，(5)10=(101)2,∴(261)10=(100000101)2其它進制的數可以類推。例1.2.2(63)10==(?)26321=b02.小數部分的轉換（基數乘法）等式兩邊依次乘以2,可分別得b-1、b-2…..:2.小數部分的轉換（基數乘法）等式兩邊依次乘以2,可分別得例1.2.4

將(0.706)D轉換為二進制數，要求其誤差不大于2-10。解：按上述方法，可得：0.706×2=1.412……1……b－10.412×2=0.824……0……b－20.824×2=1.648……1……b－30.648×2=1.296……1……b－40.296×2=0.592……0……b－50.592×2=1.184……1……b－6

0.184×2=0.368……0……b－7

0.368×2=0.736……0……b－8

0.736×2=1.472……1……b－9

由于最后的小數小于0.5，根據“四舍五入”的原則，b－10應為0。所以，(0.706)D=(0.1011010010)B，其誤差例1.2.4將(0.706)D轉換為二進制數，要求其誤差由此可見：基數乘法是純小數部分用來乘以基數R，直到乘積的小數部分為0（精確轉換），或者小數部分雖不為0，但得到的位數已達到需要的精度（近似轉換）為止。再將每次乘積的整數部分按得到的先后順序排列，即為等值的R進制數的小數部分。可簡記為“乘R順取整”。

基數的除法也可推廣到R進制，簡記為“除R倒取余”。由此可見：一、特點：1.2.4十六進制和八進制

1、八進制數以8為基數，采用0,1