5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、選擇題(共15小題)1.已知函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)，下列命題中正確的是(A,導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點B.如果在B.如果在x=x0附近的左側(cè)r(x)>0,C.如果在x=x0附近的左側(cè)f'M>0,D.如果在x=x0附近的左側(cè)f'(x)<0,.函數(shù)y=乎的最大值為()A.e-1 B.e.函數(shù)/(%)=x2lnx的減區(qū)間為()A.(O,何 B.件,+8).設(shè)函數(shù)f(x)=1+lnx,則()A.x=3為/(x)的極大值點C.x=2為/'(X)的極大值點右側(cè)f'M<0,那么/(x0)是極大值右側(cè)f'(x)<0,那么/(x0)是極小值右側(cè)rco>o,那么/(x0)是極大值e2 D.—3cf D.(釁)B.x=：為f(x)的極小值點x=2為fM的極小值點TOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)f(x)=3x-4x3,xe[0,1]的最大值是( )A* B-l C-° 4.已知函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex,則( )A./(V2)是fM的極大值也是最大值B./(V2)是/(x)的極大值但不是最大值/(-V2)是/(x)的極小值也是最小值fM沒有最大值也沒有最小值TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)/(x)=爐+ax2+(a+6)x+1有極大值與極小值，則實數(shù)a的取值范圍為( )A.(-1,2) B.(-3,6)C.(—8,—1)U(2,4-OO) D.(—8,—3)U(6,+8).已知函數(shù)/(%)=-x3+ax2-%-1在(-co,4-oo)上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)Q的取值范圍是( )A.(-8,—V5]U[V5,+8) B.[-V3,V5]C.(-OO,-V3)U(V3,+00) D.(-V3,V3).若函數(shù)f(x)在(0,+8)上可導(dǎo)，且滿足f(x)>xf'(x),則一定有( )A,函數(shù)F(x)=竽在(0,+8)上為增函數(shù)B.函數(shù)F(x)=早在(0,+oo)上為減函數(shù)C.函數(shù)G(x)=x/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)D.函數(shù)G(x)=x/(x)在(0,+8)上為減函數(shù)10.已知f(%)=Inx+?(q00),則()A.當(dāng)qV0時，f(x)存在極小值/(a)B.當(dāng)qV0時，/(x)存在極大值/(a)C.當(dāng)q>0時，/(x)存在極小值/(a)D.當(dāng)q>0時，/(x)存在極大值/(a)TOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)/(x)=3x-4x3(xE[0,1])的最大值是( )A.1 B.- C.0 D.-12.若函數(shù)f(x)=kx—Inx在區(qū)間(l,+8)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是( )A.(-8,—2] B.(-8,—1] C.[2,+8) D.[1,-Foo).己知函數(shù)/(%)=/+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值，則實數(shù)Q的取值范圍是( )A.(—1,2) B.(—8,-3)U(6,+8)C.(-3,6) D.(-oo,-l)u(2,4-00).若關(guān)于x的不等式e2*-alnxN[q恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍是( )A.[0,2e] B.(-00,2e] C.[0,2e2] D.(-oo,2e2].已知q>0且aH1,若當(dāng)xNl時，不等式恒成立，則q的最小值是( )1A.e B.— C.2 D.In2ee二、填空題(共7小題).函數(shù)/(x)=2x3-3x2+10的單調(diào)減區(qū)間為..已知函數(shù)/(x)=V+在R上有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是..某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品每件的零售價為p元，銷量Q(單位：件)與每件的零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q=8300-170p-p2,則該商品每件的零售價定為元時，總利潤最大..已知函數(shù)f(x)=/+2x,若f(1)+f(log工3)>0(a>0且awl),則實數(shù)a的取值范圍是..若函數(shù)f(x)=/+b/+以+2在x=1時有極值6,則8=；c=..函數(shù)/(X)=|3x- |在［-2,2］上的最大值是..若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x)+/,(x)<1且f(0)=3,則不等式f(x)>/+1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為.三、解答題(共6小題).已知函數(shù)/(x)=x3—3x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值..求函數(shù)y=i%3-4x4-4的極值..已知函數(shù)/(%)=Inx-sinx+ax(a>0).(1)若a=1,求證：當(dāng)％時，f(x)<2x—1；(2)若f(x)在(0,2n)上有且僅有1個極值點，求a的取值范圍..已知Q是實數(shù)，函數(shù)/(%)=Ma-a),求/(幻在區(qū)間［0,2］上的最大值..已知函數(shù)/'(%)=q/+力”2+=在％=1和％=一1處有極值，且/'(!.)=一1,求q,b,c的值,并求出相應(yīng)的極值..已知函數(shù)/(x)=a(x2-1)-Inx,a6R.(1)討論/(%)的單調(diào)性；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使得/(%)>asin(x-1)+：-eir在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)).答案答案B【解析】根據(jù)極值的概念，在》=&附近的左側(cè)ra)>o,函數(shù)單調(diào)遞增；在尤=與附近的右側(cè)f(X)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，所以/(xo)為極大值.l-lnxAl-lnx【解析】令y'="當(dāng)x>e時，y*<0,當(dāng)0V%Ve時，y'>0,所以當(dāng)x=e時，函數(shù)有極大值，極大值為Le因為函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax=：.DD【解析】函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),/口)=一委+；要，當(dāng)％=2時，r(x)=0；當(dāng)％>2時,/,(X)>0,函數(shù)/(%)為增函數(shù)；當(dāng)0VXV2時，f(x)<0,函數(shù)/(切為減函數(shù)，所以％=2為函數(shù)/(%)的極小值點.DA【解析】由題意得『(無)=(2-2%)e*+(2%-％2)眇=(2-％2)針，當(dāng)一 時，/'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)-/或時，/'(%)<0,函數(shù)/(無)單調(diào)遞減，所以/(%)在％=企處取得極大值，在工=一夜處取得極小值，又&)=2(a一l)e&>0,/(-V2)=2(-V2-l)e^^<0,當(dāng)％T+8時，/(x)->-00,當(dāng)-8時，/(%)->0,所以/(%)無最小值，有最大值,且/(魚)是/(%)的極大值，也是最大值?DB【解析】由/(%)=-/+a/-％-1,得到f(%)=-3無2+2ox-1,因為在(一8,+8)上是單調(diào)函數(shù)，所以f(%)=-3%2+2ax—1W0在(—00,+8)恒成立，則A—4a2—1240=—73<a<V3.所以實數(shù)Q的取值范圍是：［一百,網(wǎng).B【解析】因為/(%)>工廠(幻，構(gòu)造函數(shù)、=拶，其導(dǎo)數(shù)為歹=目斗產(chǎn)V0,由此知函數(shù)y=號在(0,+00)上是減函數(shù).C【解析】f'(x)=：-爰=詈，當(dāng)q>0時，令r(x)>。，解得x>a，令解得ov%va,故/(x)在(0,a)上遞減，在(a,+8)上遞增，故/(%)的極小值為/(a),無極大值；當(dāng)QV0時，f(x)>0,/(%)在(0,+8)上遞增，無極值.A【解析】/'(x)=3-12x2,令ra)=o，則X=-1(舍去)或/(0)=0,/(1)=-1,嗚=泊j所以/(x)在［0,1］上的最大值為1.D【解析】r(x)=k-2且尤>0,XX由題意可知當(dāng)x>1時，r(x)>0,即得/ex-1>0,解得x(fc<0時不滿足)，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，所以:W1,解得kNl.B［解析】因為f'(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f(x)=0有兩個不相等的實根.所以4=4。2—4x3(a+6)>0,即a?—3a—18>0.所以a>6或qV—3.C【解析】當(dāng)aVO時，/(%)=e2"一alnx為(0,+8)的增函數(shù)，/(%)無最小值，不符合題意;當(dāng)q=0時，e2”-alnxN即為e?”20,顯然成立；當(dāng)q>0時，/(x)=e2x—a\nx的導(dǎo)數(shù)為f'M=2e2x—由于y=2e2x—2在(0,4-oo)遞增，設(shè)/,a)=。的根為巾，即有Q=2me2m,當(dāng)0V%Vm時，/*(%)<0,/(%)遞減；當(dāng)%時，/,(x)>0,/(%)遞增，可得無=m處/(x)取得極小值，且為最小值e2m-alnm,由題意可得e2m—a\nm>-a,即上—alnm>-a,22m 2化為m+2mlnm<1,設(shè)g(m)=m+2mlnm,g'(m)=14-2(1+Inm),當(dāng)m=l時，g(l)=1,m>l,時，g，(m)>0,g(m)遞增，可得m+2mlnm<1的解為0Vm工1,則a=2me2mG(0,2e2］.綜上可得［0,2e2］.A【解析】因為a>0且a#l,當(dāng)xNl時，不等式q"Nqx恒成立，所以標(biāo)一12x,兩邊取自然對數(shù)，得：(％-l)lnaNlnx,令p(x)=Inx—(x-l)lna,貝!IxN1時，p(x)<0,因為p'(x)=i-lna,當(dāng)Ina<0,即qE(0,1)時，p'(x)>0,p(x)遞增，當(dāng)xNl時，p(x)>p(l)=0,與p(%)40矛盾；當(dāng)lna>0,即qW(1,+8)時，令"(切=0,得％=二，Ina%w(o,意)，p'M>o,p(x)遞增；

%€(高,+8),p*(x)<0,p(x)遞減.若高>1，即QW(l,e),當(dāng)％w[l,需)時，p(%)遞增，p(x)Np(l)=0,矛盾;若專工1,BPa€[e,4-oo),當(dāng)為6[1,+8)時，p(x)<p(l)=0,成立.綜上，Q的取值范圍是[e,+8).故Q的最小值是e.(0,1)【解析】令r(%)=6/-6xV0,解得OVxVl,所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).17.(-co,0)【解析】「(幻=3x2+a,由題意可知fM=0有兩個不等的根，所以a<0.30(0,1)U(3,+oo)【解析】由題意知，/(%)是奇函數(shù)，且r(%)=3/+2>0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增，因此由f⑴+/(噫3)>0,得/(1)>一/(log23)=-/(-loga3)=/(loga3),即1>loga3.當(dāng)q>1時，q>3；當(dāng)OVaVl時，l>loga3恒成立.故實數(shù)Q的取值范圍為(0,1)U(3,+00).-6,921.2【解析】容易判斷此函數(shù)為［-2,2］上的偶函數(shù)，故只需考慮函數(shù)f(x)=13%—爐|在也2］上的最大值即可.因為/(%)=3x—因為/(%)=3x—x3,x3—3x,0<x<V3,

V3<x<2,所以ra)=3—3%2,3%2-3,0<%<V3,V3<%<2.令f'M—0，解得x=0.因為f(x)=O,f⑴=2,/(V3)=0,/(2)=2,所以fM=13x-/|在[0,2]上的最大值是2,此時%=1,或x=2.故/(%)=|3%-/|在[-2,2]上的最大值是2.(-oo,0)【解析】設(shè)gM=ex/(x)-ex,(xGR),則g'M=ex/(x)+e"r(無)—ex=ex[/(x)+f'M-1]?因為fM+f,MV1，所以fM+fM-l<0,所以g'(x)vo,所以y=g(%)在定義域上單調(diào)遞減，因為鏟fG)>e*+2,所以g(%)>2,又因為g(O)=e°/(O)—e°=3-l=2,所以gO)>g(0),所以無VO.(1)因為/(%)=/—3x,所以r(x)=3/—3.令/'(x)=0>解得X］——1,x2=1.隨著x的變化，r(x),/'(X)變化情況如下表：X(-00,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+00)f'M + 0 - 0 +/,(x) / 極大值 、 極小值 /所以，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—1)和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,1).(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，X/(-l)=2,f(l)=-2,"3)=18,所以，函數(shù)/"(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值為18,最小值為一2.因為y'=M-4,令;/=0得%=-2,x2=2.當(dāng)x變化時，y',y的變化情況如下表：x (—8,-2) —2 (—2,2) 2 (2,4-00)TOC\o"1-5"\h\zy' + 0 - 0 +- 28 . 4 _y 7 t -3 7所以當(dāng)x=—2時，函數(shù)有極大值，極大值為g,當(dāng)x=2時，函數(shù)有極小值，極小值為一￡25.(1)當(dāng)q=1時，/(%)=Inx-sinx4-x.令g(x)=fM-(2%-1)=Inx-sinx-x4-1,xG(1j)，則g'(x)=}-cosx1=—cosx<0,所以g(x)在(1彳)上單調(diào)遞減，故。(幻<g(l)=-sinl<0,所以/(x)<2x-1.(2)由題知r(%)=~~cosx+q,令/'(X)=0=：+Q=cosx.因為/(%)在(0,2n)上有且僅有1個極值點，所以函數(shù)y=：+Q(Q>0)與函數(shù)y=COSX,x6(0,；)的圖象只有一個交點，所以—+qVcos2n=1,即qV1 12Tt 2n所以a的取值范圍為(0,1—/)./'(x)=3x2-2ax.令f'(x)=O,解得.=0,x2=y.①當(dāng)藍(lán)40,即aWO時，f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，從而/(x)max=f(2)=8-4a.②當(dāng)年22,即a23時，f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，從而f(x)max=f(。)=。.③當(dāng)0<竽<2,即0<a<3時，f(x)在［。號］上單調(diào)遞減，在售,2］上單調(diào)遞增，從而心_(8-4a(0<a<2),/Wmax-l0(2<a<3).綜上所述，f(X)max="堞-2)，由題意得/'(x)=3ax2+2bx+c.因為/(x)在x=1和x=-1處有極值，且/(I)=-1,ff(-D=0,所以"'(1)=0,匕⑴=T，(3a-2b+c=0,所以|3a+2b+c=0,(a+b+c=—1,所以｛b=0,3lC=-2>所以f。)="3_|x,所以f,M=|x2-|=1(X+1)(X-1),所以在(一8,—1),(l,+8)上，/'(x)>0,函數(shù)為增函數(shù)；在(一1,1)上，f(x)<0,函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)x=-l時，f(x)有極大值，為八一1)=1；當(dāng)x=l時，f(x)有極小值，為f(l)=-L(1)因為/■(%)=鼠角—1)—inx,x6(0,+oo),所以f'(x)=2ax-：=岑二，當(dāng)Q40時，/,(x)<0,所以/(x)在％W(0,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>0時