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中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

引例探究：如圖，△ABC、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M．當△EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是（）A． B． C．D．

中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

120°90°90°定值？定值為90°？

中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

連結AD、DG，根據旋轉的性質，得△ADG和△CDF為相似三角形.又根據等腰三角形“三線合一”，可得∠FDG=90°.所以∠AMF=

∠MGF+∠MFG=∠MGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°點M始終在以AC為直徑的圓上運動求BM的最小值即可轉化為求圓外一點到圓上一點的距離的最小值解法一：定量計算可得，BO=,r=1,BM最小值為

M'

中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

連結AD、DG根據旋轉的性質，得△ADG和△CDF為相似三角形.所以∠DCF=

∠DAM,解法二：根據“外角等于其內對角”判定A、M、C、D四點共圓.

中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

模型總結：當動點對定線段所張的角為定值時，可考慮構造輔助圓.120°90°90°注重“形”的積累，培養“型”的思想

中考微專題系列微課“輔助圓”解決幾何最值問題

變式探究1.改變圖形和最值呈現方式。

平面直角坐標系中，O為原點，A（0，2），C（1，0），△AOC和△GOF為全等的直角三角形，△GOF繞著原點順時針旋轉，連結AG和FC，直線AG,FC交于點M，求點M縱坐標的最大值。

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變式探究2.改變“旋轉”為“直線運動”。

等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，滿足AF=CE，連接AE，BF相交于點P．當點F從點A運動到點C時，求△ABP的面積的最大值．

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變式探究3.改變“旋轉”為“翻折”。

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF長的最小值是_________．

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