單元質檢卷六數列（時間：100分鐘滿分：130分）一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.（2021廣東珠海二模）設數列｛a｝是等差數列，S是數列｛a｝的前"項和,戊9=10,￡=15,則?&-（）TOC\o"1-5"\h\zA.18 B.30C.36 D.24（2021廣西柳州模擬）已知等比數列｛&｝的各項均為正數,若logzw+log晶N,則1。山a=（ ）A.±1 B.±2C.2 D.4（2021江西南昌十中高三月考）在數列｛a“｝中，af,a. ?，則&必=（）1~A.-2 B.-1C.2 D」2（2021云南昭通模擬）已知數列｛a｝是等差數列，其前"項和為S,有下列四個命題：甲：518,=0；乙:；丙:aiTFigW）；丁：S91s6力.如果只有一個是假命題,則該命題是（）A.甲 B.乙TOC\o"1-5"\h\zC.丙 D.T（2021安徽安慶模擬）設｛aj是等比數列，前〃項和為S,若—二=:，則一二二（ ）2+4 5 2+4A* B* C.1 D.1（2021河南鄭州三模）已知數列｛a｝的前n項和為Sn,且動=1,S產&”-3,若62125,則k的最小值為（）定義一種運算”，對于任意〃GN*均滿足以下運算性質：（1）2X2021=1;（2）（2"2席2021=（2〃）021+3,貝IJ2020X2021=（ ）A.3025 B.3028C.4041D.1（2021云南云天化中學高三期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題:將1到2020這2020個數中，能被3除余1且被4除余1的數按從小到大的順序排成一列,構成數列｛a.｝,則此數列的項數為（）A.167 B.168 C.169 D.170（2021云南紅河三模）已知數列｛a｝的前n項和為￡,且滿足SH?+n.若數列［b,,｝滿足4=二二則4.505A.505A ?2020D2020D. 2021r2019C. 2020（2021江西上饒三模）南宋著名數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數學史上的一個偉大的成就.在“楊輝三角”中，已知每一行的數字之和構成的數列為等比數列,且數列前〃項和為S,若&qlog2（S+l）-1,則友02尸（）A.4041 B.4043C.4039 D.4037有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：”有一個姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問一共屠了多少兩肉？”在這個問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數為（）

D.3D.315（2021浙江紹興一中高三期末）已知數列｛a.｝與｛4｝滿足以a-3*1,6產［2，為偶數，且11,為奇數，國之，則下列結論正確的是（）a>-a\=8四-&i—18｛電您a”｝是等差數列&h｝是等比數列二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.（2021江蘇鎮江信息考試）各項均為正數的等比數列｛a,J,其公比gWl,且awN,請寫出一個符合條件的通項公式a?=.（2021廣西桂林模擬）已知數列｛a.｝的前〃項和為S,且S,+2al則.（2021浙江紹興一模）《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：”今有垣厚若千尺兩鼠對穿,大鼠日一尺，小鼠也日一尺,大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢,各穿幾何？”大意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚,S為前〃天兩只老鼠打洞長度之和，則&=.（2021四川達州二診）數列｛a｝滿足a=1,a與,ae%a"“-2a,,-3,若該數列中有且僅有三項滿足Ka,則實數A的取值范圍是.三、解答題:共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（12分）（2021全國乙，理19）記S為數列｛a.｝的前〃項和，4為數列｛￡｝的前〃項積.已知」-+--2.（1）證明：數列｛4｝是等差數列；+1,為奇數,++1,為奇數,+2,為偶數.（12分）（2021新高考/,17）已知數列｛a“｝滿足ai=l,a.“W（1）記b產女“,寫出瓦色并求數列｛4｝的通項公式;⑵求｛&｝的前20項和.（12分）（2021河北衡水中學高三調研）在首項為2的數列｛a｝中，前"項和S“=t/+n（tGR）.（1）求實數t的值及數列｛&｝的通項公式；⑵將①——■——,②+a?,③4之 ?a”三個條件任選一個補充在題中，求數列｛4｝的前n項+1和T?.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.（14分）（2021浙江寧波模擬）已知公比q>\的等比數列｛4｝和等差數列⑻滿足:西=2,仇，，任心,且32是友和公的等比中項.（1）求數列｛&｝與｛&｝的通項公式；⑵記數列｛a,加的前〃項和為。，若當"GN附，等式（T”4-7；<0恒成立，求實數A的取值范圍.答案：D解析：由等差數列的性質得團=中方，,?5書用=15,則53^3,所以等差數列｛4｝的公差d二四f2首項ai=a-2d=T,則《書di/x；0-?d=~6+3024.C解析：由題意得Q0, &X）, 產I，所以Iog2&flog24二log2（a3a9）=log25zz21og256r4,則log28之.B解析：由i一知,4=-1, 32念二-1,…，2:.｛&｝是周期為3的周期數列，而2021=3X673+2,??及02]■=^2=T.4.C解析:設等差數列｛&｝的公差為&若必力,則；35）司,即熱力；若317~3i9^0,所以-2dR,即dR;若Sg-Si6=a”，aiB也19力，所以sib^O.又因為只有一個是假命題,所以丙是假命題.5.B解析:設等比數列｛a｝的公比為0,由 =—=可得SgS,整理得a-j+a\(Si+a2),2+4 5所以(a+aj/%(ai9)，解得qW,B解析：S=ai=LS=a〃+i-3=S*i-3,則S,”+33(S,+3),S+3N,所以｛S+3｝是等比數列，首項為4,公比為2,所以S+3司X2"Tq""，$之1-3,由S2"-32125,得后6.所以《的最小值為6.B解析：設a?=(2n)X2021,則由運算性質⑴知團=1,由運算性質⑵知a"*戶a0+3,即axa”畤所以數列｛&｝是首項為1,公差為3的等差數列，故2020^2021-(2X1010)X2O21=amo=l+1009X3-3028.C解析：由題意得，能被3除余1且被4除余1的數就是能被12除余1的數，所以a“=12"Tl,〃CN",由a.W2020,即12/?-11^2020,所以云翳口6吟又〃GN*,所以此數列的項數為169.D解析:5=4萬'+力，當〃22時，StN(〃T)2+〃TN//-7"3,則an=SnSn-\=8/7-3(/7^2),當n=\時，功=S節,適合上式,所以44〃-3,TOC\o"1-5"\h\z所以4T2=一2之〃.4 4故? =一!一=1.—!—=1(1--^),+1 2-2(+1) 4 (+1) 1 +1，+，-7_!—二"+—— 0=(1，)人理=幽I2 23 20202021 4 2 2 3 2020 2021 4 2021 4 2021 2021,A解析:因為每一行的數字之和構成的數列為等比數列，且第一行數字和為1,第二行數字和為2,第三行數字和為4,所以該等比數列首項為1,公比(7-2,所以Sn~ 所以，〃Wlog2（S+l）-1^21og22rt-l=2n-l,所以&02i=2X2021-1-4041.C解析：由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數列，記首項為團,公比為q,前〃項和為S,所以以巧,q2因此前5天所屠肉的總兩數為"=空卓=155.故選C.I- 1-2D解析：因為數列｛4｝與｛4｝滿足4+1品地目h=（-3）”+1,令/7-1,得bzHi+4也=（-3）'+1=-2,又51=2,Zh~l,&=2,所以或二~6,令77^2,得益4心&XT）?+1=10,又改二~6,&-1,環2所以用陽所以故A錯誤；令/7=3,得&為必⑸二（-3）泊=-26,又a陽&-1,Z?4=2,所以a二~42,所以劭a=42卅=-36,故B錯誤；由已知得bln八次一也向2nA=（川）+1,灰〃2，&//4-1,所以選生〃"；弧期I心〃1儂=（-3）"”+1,b2nl=1,bln2所以2期1+期=-3"1+1,兩式相減得改柿+：'4X9"所以-+：'：+|R,乙 2+1-2-1所以｛出是以6為首項,9為公比的等比數列,故D正確；由az”“a,”』X9"'得az"-i=ai+（8-&）+（戊-a?）+,?+（也“-\-@2nq之與X（1為4?"為"」）之用xt==：+；x9"T,1-9 4 4由2a2〃-i七2〃之（；+：x9"）+期=3 得出=《x9"4 4 2 2所以a2n坦-改“二Tx9"-—（x9"-|）="X9",所以如川-選〃吆-（期吆-期）=4*9"掰乂9"不是常數，所以｛期，2-期｝不是等差數列,故C錯誤.2?（答案不唯一）解析:因為以行口,&泡所以又qWl,不妨令g之,所以dfl=3]q1=d5Qn^2X2/；3=2n*.1-（?”解析：當〃=1時,a32a產1,則a《，

當時，Slt^2ari=ntSn-\^lan-\=n-\,兩式相減得34-2&-1=1,即 即a-1力(4-1-1),所以數列｛a,「1｝是首項為a/l=g公比為|的等比數列，則 所以&=1-(。y解析：由題意知,大老鼠每天打洞的距離是以1為首項,2為公比的等比數列,4所以大老鼠前"天打洞長度之和為=r=2"T,同理小老鼠前〃天打洞長度之和為必同理小老鼠前〃天打洞長度之和為必所以Sn=2n-\+2及\玄二2，'1，所以'97+1耳.(1,3]解析：由條件可知為，2-為“之(為“-a)-3,設 則Z?〃+]W〃—3,即-34(4~3),所以數列/廠3｝是公比為2的等比數列，首項6/3%2-3-3=-1,即AT=(T)X2〃,得b"々鐘所以為“-&才-2"'.當n=\時，4-&考-12泡/加I,當〃之時，&-4-3-2口>0,4力,當〃23時,國m-a“<0,即為hQ小ai-1,&瑪aWa刈am,8=3a-2a一3名，主4&-2a-3=-2,???,若該數列中有且僅有三項滿足久忘為,則1<4^3.(1)證明當n=l時，仇二S,易得打總當〃22時, 二S”代入/1-^2消去S/l9得^ 4L之，化簡得bn~bn-\故巾〃｝是以g為首項,g為公差的等差數列.⑵解:易得&=s="總由（1）可得6.1：",由 1 3可得S2一+：.2 +1當時，dn=Sn~Sn-\=~~： -,顯然功不滿足該式.+1（+1?仔=1.故為N1解：（1）刊+1=2,由bnA=32n^2=32心+1=/〃+2+1=32n+3,得bn+「bn二22n埼一a2n3.所以｛｝是首項為2,公差為3的等差數列，所以6H2+（〃T）X3d〃T.⑵由（1）知,數列｛ ｝的奇數列與偶數列都是以3為公差的等差數列,設數列｛ ｝的前〃項和為Sn,則￡（）=（"9+生夫,?+a9）+的））=10x3+20xS^SOO,所以｛ ｝的前20項和為300.解：（1）令n=lf得S寸+1=2,所以t=\.當〃22時，an=Sn~Sn-\=/f^n~[（n-l）~^（/7-1）]=2/7,動之也適合上式,所以at,=2n.⑵若選①,b,r1+）=2二+]）=7VTI7=-^~--^），TOC\o"1-5"\h\z所以北』（1，+】一 —]（1-!—） .4 2 2 3 +1 4 +1 4+4若選②，4=a+2 之4⑷，所以北二（2聞）*（4M"）—,/（2〃尚”）-（2司―，+2〃）+（4/2六,?4）*4f4心-*乙 1-4 J JJ若選③,6〃之 ?&=2〃?4",所以7>2X4'MX42￥6X4：>“+2〃X4",則47>2X42+1X43希X4"""+2"X4”,兩式相減得-3北=2X4,+2X4?+2X1+2*4”-2〃X4"”岑產-2〃X4"1型「:1-2〃X4"”,故北將+.X4,20.解：（D設等差數列｛4｝的公差為a由題意得,bzbs=2= 4,所以（1+3加2=（1+加（1+7加，整理可得d-M,解得d=O或d=l.若d=Q則az-Ai-l,可得q—=不合乎題意；若d=\,則32=4=1+3aM,可得9—^