第21練導數與函數的極值、最值基礎對點練考點一利用導數研究函數的極值1.(多選)(2022?貴溪市實臉中學月考)己知定義在R上的函數貝x),其導函數/(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述錯誤的是()A.火與MGMc)B.函數次x)在x=c處取得極小值，在x=e處取得極大值C.函數在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值D.函數人外有兩個極小值，一個極大值答案ABD解析由/(x)的圖象可得，當x<c時，/(x)>0,尺0單調遞增；當y<e時，/(x)<0,j(x)單調遞減；當x>e時，/(x)>0,兒0單調遞增.對于A項，由題意可得貝a)勺S)勺(c),所以A不正確.由題意得函數次x)在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值，故B,D不正確，C正確.2.已知函數px2—qx的圖象與x軸相切于點(1,0),則兀0的( )A.極大值為去，極小值為04B.極大值為0,極小值為歷4p=2,q=T，C.極小值為一句，極大值為0p=2,q=T，D.極小值為0,極大值為一科答案A解析f(x)=3x2—2px—<7,3—2p—o=0,解得,1—p—9=0,f(x)=3X2-4x+1=(x-1)(3x-1),當或x>l時，f(x)>0,當鏟走vl時，f(x)<0,於)在(一8,J和(i,+8)上單調遞增，在&])上單調遞減，所以極大值為/(g)=卷，極小值為火i)=o.(2022?信陽模擬)設危尸界+cosx,則函數危)( )A.有且僅有一個極小值B.有且僅有一個極大值C.有無數個極值D.沒有極值答案A解析f(x)=x—sinx,令g(x)=x—sinx,則g'(x)=1—cosxNO,：.f(x)單調遞增且/(0)=0,...當x<0時，/(x)〈0,函數火x)單調遞減，當心>0時，/'(x)>0,函數凡r)單調遞增，故./U)有唯一的極小值點.cosr—n it(2022?沙坪壩重慶南開中學月考)函數於)=—^T-在尸押取得極值，則。=.答案1解析:*x)=6，“—sinx-cosx+a:?f(、)= ，IT又兀0在x=]處取得極值，：.f'◎=二孚=0,得。=1，經檢驗。=1符合題意.若函數負工)=渥+311%有兩個極值點，則實數。的取值范圍是.答案(T。)解析./(x)=xlnx+ax2(x>0),(x)=lnx+l+2ax.令g(x)=lnx+l+2ar,由于函數次欠)="2+xlnx有兩個極值點=g(x)=0在區間(0,+°°)上有兩個實數根.g'(x)='+2a=l產,當時，g'(x)>0,則函數g(x)在區間(0,+8)上單調遞增，因此g(x)=0在區間(0,+8)上不可能有兩個實數根，應舍去.當a<0時，令g'(x)=0,解得》=一古，令/(x)>0,解得OVx<一《，此時函數g(x)單調遞增；令g'(x)<0,解得x>一古，此時函數g(x)單調遞減..,.當x=—七時，函數g(x)取得極大值.要使g(x)=O在區間(0,+8)上有兩個實數根，則/-支=E(一會>0,解得一；<a<0.???實數a的取值范圍是(一；，0).考點二利用導數研究函數的最值6.設函數人^二^一入，直線y=ar+6是曲線y=/(x)的切線，則2a+b的最大值是()A.e-1 B.-1C.2e—4 D.e2—4答案D解析由題意得，(x)=ex—2.設切點為(f, 則-2t,f(z)=e,-2.則切線方程為y-(e'-2t)=(e'-2)(x-t),即y=(e'—2)x+e,(l—f).又因為y=ar+h是曲線y=/(x)的切線，所以a=e>—2,b=e,(l—t),則2a+6=-4+3e'-re'.令g(r)=-4+3eJ汨，則g'⑺=(2—r)e，，則當02時，g'(z)<0,g")在(2,+8)上單調遞減；當K2時，g'⑺>0,g(f)在(-8,2)上單調遞增，所以當t=2時，g⑺取最大值g(2)=-4+3e2—2e2=-4+e?,即2a+6的最大值為e2—4.7.(2022?綿陽江油中學月考)函數y=(x—2)廿+機在[0,2]上的最小值是2-e,則最大值是()A.1B.2C.3D.4答案B解析>'=-+。-2)丫=。-1)廿，因為xG[0,2],所以當xG[0,l)時，y1<0,當xG（l,2］時，y'>0,所以函數在［0,1）上單調遞減，在（1,2］上單調遞增，所以函數在x=l處取得最小值，根據題意有一e+m=2—e,所以,”=2,當x=0時，y=—2+2=0,當x=2時，y=0+2=2,所以其最大值是2..（2022?鄭州模擬）已知函數以）=^一（3。+|}2+6以，若危）在（-1,+8）上既有極大值，又有最小值，且最小值為"一；，則a的取值范圍為（）a.（4,號 -1）c（T-1］ d（tI）答案c解析因為/（x）=3x2—（6<z+3）x+66f=（3x-6a）（x—1）的零點為2a和1,又/U）=3a—T，所以1是函數的極小值點也是最小值點，則2。是函數的極大值點，所以一且火一1）23。一去解得f.某產品包裝公司要生產一種容積為丫的圓柱形飲料罐（上下都有底），一個單位面積的罐底造價是一個單位面積罐身造價的3倍，若不考慮飲料罐的厚度，欲使這種飲料罐的造價最低,則這種飲料罐的底面半徑是.答案需解析設飲料罐的底面半徑為八高為〃，單位面積罐身造價為V由V=nr2h,得〃=/，2Va總造價/（「）=3。X2X兀3+2nrha—6nra+~^~92%所以/（r）=127rrt?--,所以火r）在0,［髭］上單調遞減，上單調上單調遞增,所以當r=<y*時造價最低.10.若不等式2%111犬+32一/+0￥對xG(0,+8)恒成立，則實數4的取值范圍是答案(一8,4]解析因為不等式2xlnx+32—f+ar對x￡(0,+8)恒成立，所以aWx+21nx+：,對x>0恒成立，即a<G+21nx+()min. 3令g(x)=x+2\n.23R+Zr—3則g(x)=l+--^=―/—,由g'(x)=O得，x=l或x=—3,當xd(0,1)時，g'(x)<0,函數g(x)單調遞減，當xG(l,+8)時，g'(x)>0,函數g(x)單調遞增，所以當x=l時，函數g(x)取得最小值g(l)=4,所以a<4.能力提升練.?.當xG(O,D時，/(x)<0,函數段)單調遞減,當xG(l,+8)時，/(x)>o,函數代6單調遞增，二於)極小值=yu)=(+4_I=々_當，；/(x)極小值21,1 , 3.'.a—2^1?解得a2夏.12.(多選)己知函數段)是定義在R上的奇函數，當x<0時，_/(x)=e，(x+l),則下列命題正確的是()A.函數人幻有兩個極值點B.函數次x)有2個零點c.yw<0的解集為(-8,-I)u(o,I)D.Vxt,X2GR,都有依川一兒口|<2答案ACD解析當x<0時，由y(x)=er(x+1),得/(x)=eXr+2),由，(x)=er(x+2)<0,得x<-2,由，(x)=ev(x+2)^0,得一2〈歡0,函數y(x)在(-8,—2)上單調遞減，在［—2,0)上單調遞增，且_/(—1)=0,當Xf—8時,於)—。，畫出函數y(x)的圖象如圖所示，由圖知函數人x)共有兩個極值點一2,2,A正確；函數抵此有3個零點一1,0,1,B不正確；ytr)<0的解集為(-8,-l)U(0,1),C正確；函數/(x)在R上的值域為(-1,1),/.對Vxi,X2GR,都有l/(xD-/(X2)k2,D正確.13.函數_/(x)=2cosx+sin2x,xGR的值域為.答案 必叵］解析由題意知，1Ax)是周期為2兀的周期函數，不妨令xG[0,2ir],f(x)=2sinx+2cos2x=-2sinx+2(1-2sin2x)=_4sin2x-2sinx+2=-2(2sinx-1)(sinx+1).令/(x)=0,得§由無=；或sinx=—1,又??“￡[(),2汨，.7t53兀?衣=不請，》.?虛)=攣/?=-￥-靖)=0，又加)=2,J(2n)=2.妨*、 3^/3 3s改丸X)max—2，丸X)min— ??故/(X)的值域為一邛^,14.已知函數火x)=ar+lnx,xG(0,e],且_/(x)的最大值為-3,則a=.答案一e2解析f(x)=a+pxG(0,e],I，+8)①若a》一：，則//(x)》0,從而兀0在(0,e]上單調遞增，所以火x)max=_/(e)=ae+l20,不符合題意；②若a<—令f(x)>0,得。+50,又xe(0,e],解得0a<一!，令/(x)<0,得。+上0,又xC(0,e],解得一[bWe.從而凡r)在(0,—習上單調遞增，在e上單調遞減，所以TWmax=/(一!)=-1+歷(一5)令T+《_g=_3,得In㈢=-2,即4=-62.因為一e2<-f,所以a=—e2為所求.故實數。的值為一e2.11.若函數_/(x)=+