僅供個人參考僅供個人參考不得用于商業用途不得用于商業用途混頻振蕩器的耦合設計loanGrosu,1RanjibBanerjee,2ProdyotK.Roy,3和SyamalK.Dana2Gr.T.Popa醫藥學院生物工程系，羅馬尼亞70115中心儀印度醫學生物學研究所，院長學院，Kolkata700032,我們一般是用公式表示一個理想狀態下的同步，非同步耦合函數，震蕩消失和一個差值的混頻震蕩。耦合函數可分為單向耦合，相互耦合和矩陣耦合三種耦合類型。尤其是矩陣耦合能夠在不同的狀態變量反應系統中產生同步，非同步耦合函數，震蕩消失。耦合的應用例子有spiking-burstingHindmarsh-Rose的神經元模型R?ssler振蕩器Lorenz系統，Sprott系統和一個雙軸系統。我們用比例定律來定義一個同步轉化的過程。介紹Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse動力學系統同步的概念可以解釋許多自然系統和人工系統觀察到的空間模型，耦合系統的集體反應。這些觀察資料開創在復雜的生物系統潛在的應用，比如在心臟，大腦和工程系統里的弱磁場感應和安全通信。從應用的角度看，同步的控制和在動力學系統中協調反應的操作能力是很重要的。同步和失步的控制，與動力學大腦尤其重要。在耦合振蕩器中相位同步的自動控制應該早點在工程學，生態學，醫學中應用。最近，人們在探索理想狀態的工程學，比如連續模型和失步在很多使用反饋控制的振蕩器。用公式表示一個合適的動力學耦合函數對實現和控制理想的協調反應，比如完全同步?滯后于同步?同步產生的 PS和存在時間間隔的同步，顯得很重要。耦合振蕩器中的同步狀態在相同的耦合器中實現耦合消失是另一個具有挑戰性的任務。我們用可以實現普通類型和混合類型的同步的混頻耦合器的耦合函數公式得出一般公式。在普通同步類型中，所有的混頻耦合器的狀態變量獲得同步的一種形式（CS,或AS）。在混合同步中，分離狀態變量獲得同步的微分方程。最近正嘗試在一種適應性的方法在根據李雅普諾夫方程穩定性的相同耦合器來獲得CS,AS共存。這種方法在數字研究和實用性受到限制。相反，我們用相加性開環和閉環方式描述一種更普遍的?按自然規律可實現的耦合定義來獲得CS和AS，還可以在任何相同或差值的反應系統中產生AD。在近期的一份信中，我們發現單向的相加性開環和閉環耦合的一種延伸的實例與實驗證明差值。這里，我們把單相耦合的詳細信息加起來，再介紹在相同反應系統中的 AD。我們獲得了在任何獨立系統都遵循比例定理的同步轉換途徑，更進一步延伸了實現AS的相互耦合定理。相互相加性開環和閉環耦合只對CS超前。然而，AS只在相互相加性開環和閉環耦合下被限制轉化為動力學系統，這相類似于所說的在載普通線性單向耦合和相互耦合下對AS超前。最后，我們介紹矩陣類型單相耦合，僅供個人參考僅供個人參考(I)不得用于商業用途(I)不得用于商業用途用這種矩陣耦合，混頻驅動器在反應系統中：例如，一對相似的狀態變量能夠產生AS，另一對狀態變量能夠產生CS，然而另一個反應變量難以產生靜止狀態或AD，可以產生不同可能性的相關動力學結合。矩陣耦合在需要控制不同比例的化學成分的集中反應情況下在產業生產和催化作用中來獲得一種理想的輸出很用用處。結構如下：1相互相加性開環和閉環耦合理論2(1)顯示關于AS?CS和AD的相同振蕩器的數字例子InSec2(2)同步的轉換路徑和比例反應InSec2(3)關于AS的相互相加性開環和閉環耦合(OPCL)InSec。3.InSec。4含有數字例子的矩陣耦合。5lnSec中總結的結果。OPCL耦合：單向單向的OPCL耦合在兩個相同的混頻振蕩器中首先產生CS然后擴展其網絡。為實現CS,AS和混頻的放大和衰減我們擴展了差值振蕩器理論。耦合函數因差值的實例簡單描述如下：混頻驅動器被定義為 其中包含了差值項。含參數的混頻振蕩器模型假定已知，它驅動另一個混頻耦合器 達到理想動態 ，其中@是一常數。耦合后，反應系統耦合函數被定義為僅供個人參考僅供個人參考不得用于商業用途不得用于商業用途D(x.g)=g-f(g)十(H-篤乎)(—￡)? (2)加"彌是動態系統的雅可比行列式，H是一個任意的n維方陣當f(x)可以用泰勒展開式表示，yw=As)+^_(j-j)+ ⑶'' 耦合系統的錯誤信號定義為e=x-g。保留Eq中的一階項來替換Eq，有誤差的動態e=He由Eq獲得。如果H為所有特征值都含有負實部的Hurwitz矩陣，e趨于0，t趨于0，我們就可以獲得漸進穩定的同步。用來獲得同步的耦合函數的重要性是由相互作用的振蕩器的雅克比模型建立的H矩陣元素的選擇。矩陣的元素 當是常數時獲得。如果存在任何狀態變量，它就被一常數 替換。另一關于耦合函數定義的重要因素是參數值 p的適當選擇.它們的選擇應滿足勞斯-赫爾維茲準則，以確保所有特征值都含有負實部，這樣H就被定義為Hurwitz矩陣。對于一個三維系統， H矩陣的特征方程為其中a都為常數并且都大于0時求得勞斯-赫爾維茲準則，H矩陣的勞斯-赫爾維茲準則求完后，一個漸進穩定的同步可以甚至在參數差值的情況下也建立起來。目標動態中的常倍數 a可以作為控制參數來實現另一種相關動態： CS(a=1),AS(a=-1),衰減()，放大()。當a=0時AD(震蕩消失)也能產生。耦合的一般形式同步類型的轉變和放大、衰減的控制就能完成。轉換的能力在消息編碼中的應用具有很大的潛力。數字仿真：相同的耦合器我們用一種spiking-burstingHindmarsh-Rose神經元模型來詳細敘述單向OPCL耦合，Vi=v7-ayl+bv]— y?=c-rfv?-y7,y3=r{s(y}+16)-皿 (5)y⑴是膜電位，y(2),y(3)是關于快和慢的膜電流，I是偏壓電流。雅克比式模型1;—2dy{-I0;rs0-r]r,1;(6)逆矩陣，HR模型由上面解釋的他的雅克比式獲得H=H=[j){\-1;p2_'0;rs0-r]7. (7)我們把模型作為驅動器，另一個相同的HR系統作為響應，耦合函數用Eqs求得。求得HR耦合器耦合反應：上]二x2—ax]+bxj-a3+/+ -I}y；+ -a)y；+(a-l)/+{pl-2ftayj+3a(ayJ'}(心一?Vj),jc2=c-必：-x2+c(a-I)+da(a—V)y\+(P2+2rfaV|)(X|—a.Vi),x3=r{5(X|+L6)-x3}+L6r5(a-1). (8)為了Eq中的H矩陣成為Hurwitz矩陣，應該選擇合適的參數(p1,p2)來滿足HR準則，p(1)<r+1,假定p(2)=0.為了仿真，我們分別選擇p(1)=-1.5實現CS，a=1，-1來實現AS。圖1顯示反應神經元和驅動神經元的，時間序列x(1),x(2)。選擇a=0，驅動神經元可在單項反應神經元中產生AD和靜止狀態：盡管圖中fig1顯示的只有一個反應變量x(1),所有的反應變量下降到0幅度。另一種選擇是選擇 來產生衰減。然而，如果用那些驅動器不同狀態下的反應變量：任何反應的狀態變量保持諧振， 在類似的驅動變量下發展成AS、DS，或另一種衰減狀態甚至達到靜止狀態。這為控制不同的同步提供了可能性， 也就是神經元細胞膜兩邊的膜電壓和快慢電流，維持著不同形式的同步數字仿真：差值的震蕩器我們現在來描述Rossler系統的差值實例，DESIGNOFCOUPLINGFORSYNCHRONIZATIONOF.(Q400t800 1200L- (e)400 1800 1200(Q400t800 1200L- (e)400 1800 1200圖1.HR耦合神經元模型：a=1.0,b=3.0,c=1.0,d=5.0,S=5.0,r=0.003,1=4.1,andp1=-1.5.Time，圖a中時間序列x(1),y(1)和x(1)對y(1)a=1是的CS圖。C圖中時間序列y(1)(實線)x(1)(虛線)，圖d中顯示的x(1)和y(1)當a=-1的AS。為了視覺清晰把圖c中的x(1)縮減了。圖e中的諧振y(1)和反應x(1)在0水平下確保為AD類型。是參數的差。耦合函數用Eqs定義后，從Rossler模型的雅克比式中重新獲得H矩陣，差值的震蕩器耦合后的反應是：注意用Eq的耦合含有非線性成分，另外，每個差值的參數都會存在線性耦合項目。在第一個例子中可看出，線性耦合項會因為相同的振蕩器消失。這種線性耦合在同步穩定中起著至關重要的作用。仍然會因為不同參數的選擇下成為 Hurwitz矩陣，其產生的不同的?二He和同步穩定會導致動態誤差。對于電流仿真，我們在圖2相位圖中一系列可能值選擇p(1)=10,p(2)=-10,參數空間會因為H矩陣的所有特征值含有負的實部存在暗區，我們可以在相位圖中很容易地選擇參數來實現 AS或CS。PHYSICALREVIEWE80f016212(2009)FIG.2,Phasediagramof(“iJR)inRusslersystem:chaiecofparaineiershiHmatrix:eigenvaluesallhavenegativerealpartsinthedarkregion.類似的相位圖因為H矩陣參數的不同選擇來實現RH準則，相位圖會移動成不同的動態系統。對于a=1,-1，這里只顯示了時間序列x(1),y(1),但也適應其他驅動和反應的狀態變量。注意，盡管Rossler振蕩器不是反向對稱系統， AS也可以形成。這個事實會隨著軸對稱Lorenz系統的例子更進一步詳述，含有差值的驅動Lorenz系統:

FIG.3?(Coloronline)CoupledmismatchedRdsslersystem.Re-sptuise: c=0.2.and</=10:driverpununeterNareidenlicatexceptAu>=0.15,Timeseriesof曲undy(in(a)andplotofajvsv(in(b)coiifinnCStor疣=1;timeseriesof(solidline)andV](doitedline)in(c)andplotofX|vsy(in(d)cuiifirinAS.H=|0-1J;1bO;內0肥巴(b)a兒o2020-202U丘0(b)a兒o2020-202U丘0?2060 65{70 75 80*20X|0 20FIG4.(Coloronline)CoupledmismatchedLorenzsystem*Re-s|Mmse: 丄&<r=10,andb-^3,driveridenticalexceptAr=10:L:nneseriesofa(andyjin(a),andplotof口vsin(b)confirmCS(a=1).Timeseriesofxj(solidline)andV|(dottedline)in(c)andplotofy.vsx{in(d)showAS(a=-1)?為差值，當耦合函數用Eqs.(2)和Eqs.(3)時系統獲得Eq,Lorenz系統3維H矩陣獲得：|-cr(T0;『十pi-1戸2；P3Pa_然后耦合獲得后的反應系統斯=叭乃一鮎)+aSa(y2一必),m-—工血+(a△廠)(]/￡)?+a(a-1)兒力+(P1+?3)(巧一a")十S2十?V|)(x3-?>3),=-bx^+x{x2- +a(1-a)y[y2+(P3—?v2)(^i—ayi)+(P4—ayi)&2-?y2)?(14)盡管耦合用Eq表示顯得復雜，但是可以通過H矩陣的合適參數來使耦合簡化。當滿足RH準則并且H成為Hurwitz矩陣時的典型選擇是p(2)=0,p(3)=0,p(4)=0,p(1)<1-r。為了進一步減少耦合的復雜性，除了葉 驅動器應選擇相同的反應。我們在Eq中插入一個調節變量 來核對像因為差值 的線性耦合作用。是同步的漸進穩定的關鍵值， 成對的Lorenz系統的數字仿真的結果在圖4中顯示。時間序列x(1),y(1)的圖像，y⑴對x(1)的CS圖(a=1時)和AS圖(a=-1).盡管圖4中只顯示了一個狀態變量，但是所有的時間序列當a=-1時幅度相同，相位相反，因此在軸對稱Lorenz系統中也適應。我們可以獲得與文獻知識相對立的完整僅供個人參考僅供個人參考不得用于商業用途不得用于商業用途僅供個人參考僅供個人參考(17)不得用于商業用途(17)不得用于商業用途AS,因此，單向的OPCL耦合控制只在反向對稱系統可以獲得AS的局限。下一步，我們舉個含有一個二次非線性的Sprott系統的例子，PHYSICALREVIEWE8(1.016212(2009)(a) 50 ((a) 50 (150 250(b) -0.5y(0FIG.5.(Coloronline)CoupledSprottsystem:口二0.22工Ao=0.025;p]=-l,a=-1:Timeseriesy\(solidline)ofdriverandx\(dolledline)ofresponsein(a)arcinAS;plotofVjvsXjin(b)alsoconfirmAS.H=[0-a0;101;1p—lfl(15)Aj=-ax2,工2二X]+X3^(15)=Xj -另外一個作為驅動的差值Sprott系統：y(=-^y2-Af?y2,y2=y^y^內二歹】十必一力? (⑹耦合后反應變成了：夭I二一(1X2- 1E)y心二A］十，大3=XI十卅-h十a(1一?)y；+(卩一2av2)(x2一av2).對實際應用會更加簡單。Sprott系統通過重新插入一個參數，連接電流仿真。驅動器和反應對于a=0.225,_a=0.025參數耦合前是混亂的。選擇p=-1，在圖5的左面，控制參數a=-1，驅動和反應序列在AS狀態下H成為了Hurwitz矩陣。右邊的x(1)對y(1)的圖也能保證AS狀態。注意盡管不是一個反向對稱系統，隨著驅動器變化的所有的狀態變量都在AS狀態下。同步轉化途徑正如上面討論的，因為相同的振蕩器只有非線性成分。另外在Rossler系統，Lorenz振蕩器，和Sprott系統的例子中，如果差值與微分方程的線性項有關，那耦合是線性的。然而，如果差值參數與微分方程的非線性項有關耦合就是非線性的。而外，以線性電流為例，由于差值對于同步的影響，而耦合會對使種影響無效。為了解釋同步轉化過程的作用， 我們已經在Eq中插入參數的各自的Lorenz振蕩器和Sprott系統。這個控制參數由兩個關鍵值協調：正負變量大小的差值。一個相似的函數因不同的變量用來評估驅動和反應之間的同步誤差10<3Dfn(S)記0一10<3Dfn(S)記0一j=10/?(￡-tc)-10弓Me-￡c)FIG,6rTransitionroutetosynchronization:(a)and(c)coupledSprottsystem:(b)and(d)Lorenzsystem.Opencirclesforimmcri-caldatapoints.Slopein(b)and(d): 1.57,(18)A 〈［心⑴一 刃F〉(18)廠［g(f)2〉5(f)2〉嚴相似函數是一個在相似的帶任意延遲的驅動振蕩器和反應振蕩器的兩個狀態變量_x1和yl_之間的誤差衡量的統計學。它作為同步的衡量標準，尤其在試驗中非常有用。 對于在耦合振蕩器固有耦合強度，它表明隨著延遲的變化而周期性變化， 但有全e_cF 丁式0”局極小值 。當全局極小值在 .的有限值時相似函A數識別LS。但是，當全局極小值 也能依靠a值的符號鑒定CS和AS類型。它只需要驅動器和反應的相似的兩個狀態變量來評估在試驗條件下測量有限接近同步誤差時具有很大的優勢。對于含有差值的Sprott系統中，當含有差值的Sprott系統，當 時，我們用數字仿真時間序列，然后畫出圖6(a)中的 的圖形，來對每一個從0.5變到1.5的延遲(yiblilen)來估量相應的 當延遲為0時，對所有的yiblilen, min都是非零值，除了在的關鍵值處yiblilen「匚 巧：” j*時min=o。當min=0時(=0)，在關鍵值=1時ln()呈現很快下滑到最小值，這證實了同步。由于差值差值，參數(yiblilen)作為額外的線性耦合強度，任何線性耦合強度的compromise會使同步下降。正如圖6(b)所示，Lorenz耦合系統重復過程中控制參數。。的同步轉化過程對任意系統和差值類型都是獨立的。對于Lorenz系統，使yiblilen從0.8變到1.2，注意到這種同步轉化遵循一個獨特的比例定理當 時傾斜，這種比例定理能對如圖6(c),6(d)所示中各種的Lorenz系統和Sprott系統成立，對于其他系統，比如 Rossler同樣成立，無論是CS或AS轉變也保持不變。如果我們仔細觀察Eqs(14)和Eqs(17)，我們發現耦合加上了反應中的匹配項到驅動器的差值項，當反應和驅動相同時，反應中的匹配項實際上由, ￡=￡Jyiblilen調制直到在關鍵值 處保證同步。我們必須提到OPCL耦合的定義和方式與普通的線性耦合不同。在普通的線性耦合下，在關鍵耦合驅動的附近可以觀察到轉變或開關間歇。 這種同步中差值導致的不穩定通過增強耦合強度來克服： 在這過程中，隨著增強耦合強度，在差值的振蕩器中出現 PS和LS，幾乎CS狀態最終由強烈的耦合獲得。然而，成對的振蕩器甚至在同

步獲得后都會保持差值。另一方面，在OPCL耦合中，同步在關鍵值 處一旦被建立起來，成對的振蕩器會變得相同。這是在OPCL耦合和普通線性耦合下的同步過程的顯著不同，我們同樣已經核對了=附近沒有發現開關間斷點。因此，OPCL耦合對成對的振蕩器有內在的能力處理差值、通過協調控制參數yiblilen為穩定同步提供免疫。這種控制參數的協調能力可以用來評估參數。OPCL方法：相互耦合相互影響的混頻振蕩器的OPCL耦合更早為了實現CS被研究，但那時沒研究AS。現在我們把相互的OPCL耦合延伸到AS，在OPCL耦合的兩個相互影響的振子：x=f(x)+2(兒八(W)(20)(W)(20)(21)wherethecouplingtermsaredefinedbydxand耦合項定義為當s(t)=(x(t)+y(t)/2)時是多面的同步。由 =He和它0的錯誤解

法產生的動態誤差，或者通過選擇合適的參數來滿足 HR準則的Hurwitz矩陣一旦確定同步將漸進穩定。在 Ref[19]中詳細呈現出數字結果。用相互耦合來實現AS，我們修改Eqs(20)和(21)中的耦合各自變成Eqs.(22)和Eqs.(23)dx200 300 400-1 0I(23)當s(t)=(x(t)+y(t)/2)時是多面的同步。然而，對于AS模型系統的f(y)dx200 300 400-1 0I(23)當s(t)=(x(t)+y(t)/2)時是多面的同步。然而，對于AS模型系統的f(y)…。。?的對稱轉換的附加條件必須滿足。當AS的誤差狀態為e=(x+y),動態誤差遵循。=He，H矩陣是Hurwitz矩陣時同步穩定。真如上面提到的，在線性的相互耦合和單向耦合下，對于 AS，這種動態系統的對稱轉換的局限普遍存在，在單向的 OPCL耦合

下被禁止。對于數字性證明，我們用一個通過定義為比二C+戈3，大2=耳［一耳4上3=乳；一耳(24)的雙軸系統的對稱轉換。這個系統是三次非線性，用適當的參數時顯示一軸或二軸紊亂。OPCL相互耦合建立后，成對的雙軸系統獲得如下：上］=CX］ A2=X1—龍2，.3I用1一戸)訃(心+門)乃二巧-七+卩+3-I—,AS雙軸系統的數字結果在圖7中顯示出來了，保證AS，成對的振蕩器的時間序列x(1)和y(1),y(1)對x(1)的圖像。OPCL耦合：矩陣類型現在我們來介紹OPCL耦合的矩陣類型。我們用單向耦合實現同步，當y(t)=［y1y2y3］是驅動狀態并且a是一個常數時用Eq建立一個目標動態g(t)=ay(t).結果，因為驅動變量a值的選擇，所有反應系統的變量被迫成為了CS或AS狀態，甚至a=0時反應變量產生AD狀態。我們在不同的狀態變量下通過定義一個新的目標動態g(t)用這個結果來同時獲得CS、AS和AD

resultIoachieveCS,AS.andADsimultancouslvindilTcrcntJstalevariablesbyiletininganewgoaldynamicsAg(0=ki(d^2(0必)卩=[旳兒切2a跖巴 (26)(27)wherea.(Z=1,2.3)isagainaconstant.Theresponsesystemaftervouplingbecomes(27)■■工1—Si-j￡+IA'i—4工￥]|_。心」|_心-a3y3Jx=/(x)+D(x9g)9where(hecouplinglime(ionisdeiinedbyD(x.g)=(28)剩下的原理和SeeH中所述很容易得到。注意對單向 OPCL耦合Eq.(28)是Eq.(2)的一般形式；如果a相等，用兩個類似的振蕩器【】可以吧Eq.(2)存在Eq.(28)中。為了圖解說明，我們舉個Sprott系統(15)的例子，耦合前反應和驅動系統被認為相同，因此，除了在Eq.(16)中的差值為0,各自在Eq.(15)和Eq.(16)中的模型保持不變。耦合后，反應變成對一個反應系統不同的狀態變量，允許通過設置a(i)的目標動態，如圖8所示。當CS,AD在不同的反應變量狀態實現AS類似地，一些衰減和放大可以通過選擇合適的參數a值來產生。像上面所提的，從實際應用（工業生產，反應系統的成分濃度可能下降、提高或者變成0）的角度看，矩陣耦合顯得更有意思。神經元振蕩器中，為了獲得理想的神經元動態減小其他細胞膜電流，把可以關掉任何狀態變量的作為細胞膜電壓。總結耦合函數的一般公式給出，在相同的耦合器和合差值的耦合器中，它能夠以理想的反應如： CSAS和AD乍為對象。耦合函數由三種耦合方式（單向、相互、矩陣耦合）定義，這些是以Hurwitz矩陣的穩定性為根據。Hurwitz矩陣可以從動態系統雅克比式模型獲得，產生漸進穩定的同步的耦合的成功取決于Hurwitz矩陣參數的選擇。在能控制CS和AS勺耦合函數中引進另一個參數， 因此，在實際中可以允許CS和AS的轉變。spiking-burstingHindmarsh-Rose的神經元模型的一個數字例子來解釋兩個相同的振蕩器來圖解說明耦合。在相同的反應系統中，振動停止和AD甚至也可以產生。由于實際上沒有兩個系統會完全相同，我們把耦合函數延伸到混頻系統中。當在成對系統中調節參數是，在同步轉換過程中的比例顯得很有意思。我們更進一步把