例3.證明n階級(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(ajai).nj>i1第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算第一章矩陣§1.6方陣的行列式=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)現設等式對于(n1)階范德蒙行列式成立,則證明:當n=2時,D2=(a2a1).Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第一章矩陣§1.6方陣的行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)nj>i2=(aiaj).nj>i1前面我們得到,a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33=a31A31+a32A32+a33A33.下面來看a11A31+a12A32+a13A33

=?a11A31+a12A32+a13A33

=a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11

a12

a13=0.容易看出第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).推廣到一般情形,有第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算例如.1234567822-4231

05不計算直接證明:A41+A42+A44=2A43三.行列式的計算基本思想:

1.化行列式為上三角行列式;2.降階.第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算注.

二階、三階用對角線法則.例1.設D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,證明:D=D1D2.證明:對D1施行行變換,可把D1化為下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算對D2施行列變換,可把D2化為下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是對D的前m行施行上述的行變換,再對D的后n列施行上述的列變換,可得:.p11

pm1

…

pmm

c11…

c1kq11cn1…

cnkqn1…

qnn…………=.....0=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnn第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算例2.計算D2n=.D2n=adD2(n1)bcD2(n1).依次類推可得D2n=(adbc)n.第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算分析:

例3.計算n階行列式第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算Dn=353253…………25線性方程組:四.Cramer法則第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算(1)記D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,D2=a11b1

…a1n

a21b2

…a2n…………an1bn

…ann,…,Dn=.a11

a12

…b1a21

a22

…b2…………an1

an2…bn第1章行列式和線性方程組的求解

§１.3行列式的性質及計算定理(Cramer法則)x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD,其中Dj是b替換D的第j列所得的行列式(j=1