1第七章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用§1萊斯利人口模型§2列昂季耶夫投入產(chǎn)出分析最后兩次課的內(nèi)容是復(fù)習(xí)內(nèi)容.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!2§1萊斯利人口模型一、萊斯利人口模型的建立設(shè)婦女最大年齡為N,把年齡等分為n個(gè)年齡段，第i個(gè)年齡段為時(shí)間以一個(gè)年齡段為單位，從而時(shí)間離散化為設(shè)在時(shí)段t,第i個(gè)年齡段的人口數(shù)為第i個(gè)年齡段的生育率和存活率分別為和線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!33333(I)si線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!44444二、萊斯利矩陣的特征值和特征向量線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!5部分證明n=1時(shí)等式成立.設(shè)對(duì)于n等式成立.按最后一列展開(kāi)得到遞推公式5(1)線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!6令,根據(jù)條件,求和號(hào)中至少有一項(xiàng)非零,f(x)是單調(diào)嚴(yán)格下降連續(xù)函數(shù),并且根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中間值定理,存在唯一,使得

即是唯一正特征值.是單根.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!7現(xiàn)在求屬于的特征向量.代數(shù)重?cái)?shù)為一，故幾何重?cái)?shù)也為一,故矩陣的行向量組線性相關(guān),但后n-1個(gè)行向量線性無(wú)關(guān),個(gè)行向量必定是后n-1個(gè)行向量線性組合線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!8(2)設(shè)相鄰兩個(gè)bi不等于零時(shí)，我們證明萊斯利矩陣的其他特征值的絕對(duì)值都小于.8線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!99如果設(shè)線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!1010101010線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!11線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!12本星期日課程內(nèi)容:四萊斯利人口模型補(bǔ)充題給定矩陣針對(duì)n=3,(1

)求特征多項(xiàng)式(2)證明有唯一正特征值(3)設(shè)證明的其他兩個(gè)特征值(可能為復(fù)數(shù))線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!13

重要矩陣對(duì)稱(chēng)對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量正交.正交矩陣保持向量長(zhǎng)度和正交性方陣的多項(xiàng)式A有特征值,則f(A)有特征值f().可逆矩陣A有特征值,則f(A)有特征值f().例三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有特征值1,2,3,求的行列式.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!1414141414這種數(shù)學(xué)模型是由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂季耶夫首先提出,多年來(lái)被各國(guó)廣泛使用,在編制經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)以及研究污染、人口等社會(huì)問(wèn)題中發(fā)揮了很大的作用.列昂季耶夫因此獲得了1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).列昂季耶夫提出以下假設(shè):一國(guó)民經(jīng)濟(jì)劃分為幾個(gè)生產(chǎn)部門(mén),每個(gè)部門(mén)生產(chǎn)一種產(chǎn)品;二每個(gè)部門(mén)將其他部門(mén)產(chǎn)品加工為本部門(mén)產(chǎn)品,在這一過(guò)程中,消耗的其他部門(mén)產(chǎn)品為“投入”,本部門(mén)產(chǎn)品為“產(chǎn)出”.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!1515151515他出生于德國(guó)慕尼黑，在俄羅斯的圣彼得堡成長(zhǎng)，他的父親老列昂季耶夫（WassilyW.Leontief）是一位經(jīng)濟(jì)學(xué)教授。他15歲就進(jìn)入了父親執(zhí)教的列寧格勒大學(xué)攻讀哲學(xué)，也選修了一些經(jīng)濟(jì)學(xué)的課程。19歲（1925年）時(shí)便獲學(xué)士學(xué)位，同年移居德國(guó)進(jìn)入柏林大學(xué)專(zhuān)攻經(jīng)濟(jì)學(xué)，22歲時(shí)（1928年）獲經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位。他離開(kāi)俄國(guó)的原因跟他公開(kāi)反對(duì)共產(chǎn)主義有關(guān)，他甚至為此數(shù)度被逮捕和監(jiān)禁。線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!1616161616xi表示表示第i個(gè)部門(mén)總產(chǎn)出,xij表示第i個(gè)部門(mén)分配給第j個(gè)部門(mén)的產(chǎn)品數(shù)量，yi是第i個(gè)部門(mén)的最終產(chǎn)品數(shù)量，Nj是j部門(mén)的最初投入.根據(jù)每個(gè)部門(mén)總產(chǎn)出等于總投入的假設(shè)得平衡方程線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)投入產(chǎn)出方程由(1)和(3)得寫(xiě)成矩陣形式這個(gè)方程稱(chēng)為投入產(chǎn)出方程.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)投入產(chǎn)出方程解的存在唯一性和非負(fù)性定理1

如果A為非負(fù)矩陣,并且則方程組對(duì)于任意Y有唯一解.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!19191919定理2(霍金斯-西蒙)如果A為非負(fù)矩陣,

并且假設(shè)Y≧0,則方程組的解X≧0.證明根據(jù)上一個(gè)定理,E－A可逆,設(shè)其逆矩陣為我們證明B的每個(gè)元素非負(fù).用反證法.設(shè)第k行有負(fù)元素,此行的最小元素記為由B(E－

A)=E得注意到我們得矛盾.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!L1的x1軸上的截距對(duì)于x1軸的斜率為L(zhǎng)2的x2軸上的截距對(duì)于x1軸的斜率為L(zhǎng)1和L2在象限相交，需要n=2時(shí)的幾何解釋.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!以上所作的初等變換不改變主子式的值,故子矩陣的非對(duì)角線上的元素為負(fù),如此下去得到線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!22必要性證明.對(duì)于方程組有非負(fù)解X，設(shè)對(duì)于第i個(gè)分量為1其余分量為0的列向量Y，方程(*)有非負(fù)解X，考慮前I個(gè)等式，并且移項(xiàng)得相應(yīng)系數(shù)矩陣線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!231969-2014諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)名單及其與數(shù)學(xué)的關(guān)系線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!24線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!25線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!262006埃德蒙·費(fèi)爾普斯EdmundS.Phelps[60]

（美國(guó)）在宏觀經(jīng)濟(jì)跨期決策權(quán)衡領(lǐng)域所取得的研究成就美國(guó)哥倫比亞大學(xué)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)2007里奧尼德·赫維茨LeonidHurwicz[61]

（美國(guó)）為機(jī)制設(shè)計(jì)理論奠定了基本美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)埃里克·馬斯金EricS.Maskin[62]

（美國(guó)）美國(guó)普林斯頓高等研究院羅杰·梅爾森RogerB.Myerson[63-64]

（美國(guó)）美國(guó)芝加哥大學(xué)2008保羅·克魯格曼PaulKrugman[65-66]

（美國(guó)）對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的貿(mào)易模式和區(qū)域的分析美國(guó)普林斯頓大學(xué)國(guó)際經(jīng)濟(jì)學(xué)，區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)2009埃莉諾·奧斯特羅姆ElinorOstrom[67-71]

（美國(guó)）經(jīng)濟(jì)治理，尤其是對(duì)普通民眾作出的貢獻(xiàn)和經(jīng)濟(jì)治理分析，尤其是企業(yè)邊際領(lǐng)域方面的貢獻(xiàn)。美國(guó)印第安納大學(xué)，美國(guó)亞利桑那州立大學(xué)經(jīng)濟(jì)治理線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!2727272727>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!28證明中用到的知識(shí)：1.重根如果多項(xiàng)式在有重根,則證2.

棣莫弗(DeMoivre,A.)公式

3.三角不等式如果等號(hào)成立的充分必要條件是存在使得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!29即等式對(duì)于n+1也成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,等式對(duì)于任意自然數(shù)成立.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!3030>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..3,thickness=3);線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!31取自由未知量xn=1,得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!3232設(shè)設(shè)是和不同的特征值.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!33P的列是33(3)設(shè)L可以對(duì)角化,即存在可逆矩陣P,使得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!34萊斯利矩陣及其應(yīng)用——佛坪大熊貓種群發(fā)展的預(yù)測(cè)研究

郭瑞海(西南民族學(xué)院數(shù)學(xué)系)袁曉鳳(中國(guó)科學(xué)院成都計(jì)算所數(shù)理室)第22卷第2期JournalofSouthwestNationalitiesCollegeNaturalScienceEdition

May1996三、萊斯利矩陣對(duì)于大熊貓種群發(fā)展的預(yù)測(cè)線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!36幾個(gè)特殊矩陣的特征值(1)萊斯利矩陣的主特征值和特征向量.(2)是n維列向量，的特征值為(n-1)重.(3)B

有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b(n-1)重.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!3737373737§2列昂季耶夫投入產(chǎn)出分析簡(jiǎn)介國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)間存在某種連鎖關(guān)系.一個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)倚賴(lài)其他部門(mén)的產(chǎn)品或半成品,同時(shí)也為其他部門(mén)提供條件.如何在特定的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)下確定各個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)的產(chǎn)出水平以滿(mǎn)足整個(gè)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)需要是一個(gè)十分重要的問(wèn)題.投入產(chǎn)出模型就是利用數(shù)學(xué)方法綜合地描述各經(jīng)濟(jì)部門(mén)間產(chǎn)品的生產(chǎn)和消耗關(guān)系的一種經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!38383838投入產(chǎn)出模型創(chuàng)始人

瓦西里·瓦西里耶維奇·列昂季耶夫（俄語(yǔ)：ВасилийВасильевичЛеонтьев；英語(yǔ)：WassilyLeontief，1905年8月5日－1999年2月5日）是一位俄裔美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，后移居美國(guó)任教于哈佛大學(xué).他以“投入產(chǎn)出理論”對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的貢獻(xiàn)獲得了1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).1928年他以國(guó)民政府鐵道部的顧問(wèn)身份訪問(wèn)中國(guó)一年，往后他不時(shí)地利用在中國(guó)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)解釋“投入產(chǎn)出理論”.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!3939393939一、投入產(chǎn)出表設(shè)有n個(gè)生產(chǎn)部門(mén)，分別用1,2,…，n表示，第i個(gè)部門(mén)只生產(chǎn)產(chǎn)品i，根據(jù)報(bào)告期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列表如下中間產(chǎn)品中間投入最初投入總投入最終產(chǎn)品總產(chǎn)出投入部門(mén)間流量產(chǎn)出線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!4040404040二、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型

表示j部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗的的i部門(mén)產(chǎn)品數(shù)量，稱(chēng)為j部門(mén)對(duì)于i部門(mén)的直接消耗系數(shù).矩陣稱(chēng)為直接消耗系數(shù)矩陣,顯然A是非負(fù)矩陣,并且有1.直接消耗系數(shù)矩陣如果線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!4141414141由(2),(3)得寫(xiě)成矩陣形式線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!42證明我們要證E-A

可逆.用反證法.若E-A

不可逆,則E-AT不可逆.于是存在非零列向量X矛盾.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!43定理3(霍金斯-西蒙)設(shè)A為直接消耗系數(shù)矩陣.當(dāng)Y≧0時(shí)投入產(chǎn)出方程(E－A)X=Y有非負(fù)解的充分必要條件是E－A的順序主子式為正,即線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!證明充分性(用初等變換法)對(duì)于n階方程組的矩陣為設(shè)假定其順序主子式都大于零.第i(i≥2)行加行的倍得到線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!由初等變換的過(guò)程知故解線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!對(duì)這個(gè)矩陣進(jìn)行初等行變換，由充分性的證明知道這個(gè)矩陣變?yōu)檫f推得46線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!47線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁(yè)!48線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁(yè)!49線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用共50頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁(yè)!502010彼得·戴蒙德PeterA.Diamond[73-75]

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