回歸課本(八)圓錐曲線一．考試內容：橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質.橢圓的參數方程.雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質.拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質.二．考試要求：(1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程.(2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.(3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.(4)了解圓錐曲線的初步應用.【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數學的重點內容，高考中主要出現三種類型的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質；②求曲線方程和軌跡；③關于直線與圓錐曲線的位置關系的問題.三．基礎知識:(一)橢圓及其標準方程橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于||這個條件不可忽視.若這個距離之和小于||，則這樣的點不存在；若距離之和等于||，則動點的軌跡是線段.2.橢圓的標準方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大于項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.4.求橢圓的標準方程的方法：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數法求解.(二)橢圓的簡單幾何性質橢圓的幾何性質：設橢圓方程為（＞＞0）.⑴范圍：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.⑵對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.⑶頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.⑷離心率：橢圓的焦距與長軸長的比度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.⑴定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數（e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓.⑵準線：根據橢圓的對稱性，（＞＞0）的準線有兩條，它們的方程為.對于橢圓（＞＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即.3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，.橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.4.橢圓的參數方程橢圓（＞＞0）的參數方程為（θ為參數）.說明⑴這里參數θθ與直線OP的傾斜角α不同：；⑵橢圓的參數方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換.92.橢圓的參數方程是.5.橢圓的的內外部（1）點在橢圓的內部.（2）點在橢圓的外部.6.橢圓的切線方程(1)橢圓上一點處的切線方程是.（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是(三)雙曲線及其標準方程雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數2a（小于||）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡.若＜時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數法求解.(四)雙曲線的簡單幾何性質1.雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.2.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數.3.，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.雙曲線的焦半徑公式，.4.雙曲線的內外部(1)點在雙曲線的內部.(2)點在雙曲線的外部.5.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.6.雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.(五)拋物線的標準方程和幾何性質1．拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。需強調的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。2．拋物線的方程有四種類型：、、、.對于以上四種方程：應注意掌握它們的規律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。3．拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例（1）范圍：x≥0；（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點P（x1，y1），F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：（7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為α，則有①|AB|=x+x+p以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。（8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當a≠0時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。4.拋物線上的動點可設為P或P，其中.5.二次函數的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.(1)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(2)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(3)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(4)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.7.拋物線的切線方程(1)拋物線上一點處的切線方程是.（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.(六).兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓;當時,表示雙曲線.(七)直線與圓錐曲線相交的弦長公式或（弦端點A，由方程消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.(八).圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是.四．基本方法和數學思想1.橢圓焦半徑公式：設P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當P點在右支上時，；（2）當P點在左支上時，；（e為離心率）；另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F為焦點，則；y2=2px(p＜0)上任意一點，F為焦點，；4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；的雙曲線標準方程為為參數，≠0）；6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長,這里體現了解析幾何“設而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p;雙曲線（a>0，b>0）的焦點到漸進線的距離為b;8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為Ax2+Bx2＝1；2=2px(p>0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結論：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;（a>b>0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦；2=2px(p≠0)拋物線上的點的坐標可設為（，y0）,以簡化計算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p≠0)拋物線有KAB＝13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成F(x,y)＝0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關點法或轉移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程。五．高考題回顧一、利用圓錐曲線的定義求相關距離：1.（04年全國卷一.文理7）橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則=（）.A．B．C． D．42.（04年遼寧卷.9）已知點、，動點P滿足.當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是（）.A． B． C． D．23.（遼寧卷）已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 A．2+ B． C． D．21二、利用方程思想討論直線與圓錐曲線的公共點：4.（04年全國卷一.文理8）設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）.A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]5.（上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有無窮多條D．不存在6.（山東卷）設直線關于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數為（）（A）1（B）2（C）3（D）4三、熟練運用圓錐曲線的幾何性質解題：7.（04年全國卷二.理15）設中心在原點的橢圓與雙曲線=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是.8.（04年天津卷.文5理4）設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若，則（）A.1或5 B.6 C.7 D.99.(全國卷III)設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）（A）（B）（C）（D）10.（江蘇卷）(11)點P(-3,1)在橢圓的左準線上.過點P且方向為a=(2,-5)的光線,經直線=-2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)11.（湖南卷）已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為（）A．30oB．45oC．60oD．90o四、利用圓錐曲線的定義解答相關三角形問題：12(04年湖北卷.理6）已知橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個項點，則點P到軸的距離為（）.A.B.3C.D.13.（山東卷）設雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率14.（04年福建卷.文理4）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是（）.A.B.C.D.五、利用圓錐曲線中的焦半徑公式解題：15.（04年重慶卷.文10）已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為().A.B.C.D.16.（04年湖南卷.理16）設F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點使組成公差為d的等差數列,則d的取值范圍為.六.軌跡問題.17.（江西卷）以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線； ②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；18.(重慶卷)已知，B是圓F：(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為19.（上海）直角坐標平面xoy中，若定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足=4。則點P的軌跡方程是．習題歸納圓錐曲線,圓錐曲線與直線1(1)已知兩個定點,,且=10,則點的軌跡方程是.(2)已知兩個定點,,且=8,則點的軌跡方程是.(3)已知兩個定點,,且=6,則點的軌跡方程是.2兩焦點分別為,,且經過點的橢圓方程是.3若橢圓上一點P到焦點的距離等于6,則點P到另一個焦點的距離是4ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是,,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點C的軌跡方程是.5點P是橢圓上一點,以點P以及焦點,為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標是.6橢圓的長軸與半短軸的和等于,離心率等于,焦點的坐標是,頂點的坐標是,準線方程是,左焦點到右準線的距離等于.7橢圓上一點P到左焦點的距離等于3,則點P到左準線的距離是,則點P到右準線的距離是.8(1)已知兩個定點,,動點P到的距離的差的絕對值等于6,則點P的軌跡方程是;(2)已知兩個定點,,動點P到的距離的差的絕對值等于8,則點P的軌跡方程是;(3)已知兩個定點,,動點P到的距離的差的絕對值等于10,則點P的軌跡方程是;9已知曲線C的方程是,(1)若曲線C是圓,則的取值范圍是;(2)若曲線C是橢圓,則的取值范圍是;(3)若曲線C是雙曲線,則的取值范圍是.10橢圓與雙曲線有相同的焦點,則的取值范圍是.11ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是,,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點C的軌跡方程是.12雙曲線的實軸長與虛半軸長的和等于,離心率等于,焦點的坐標是,頂點的坐標是,