2022年中考數學壓軸題.已知在梯形4BC￡)中，AD//BC,AC^BC=\0,cosZACB=^,點E在對角線AC上(不與點4、C重合)，NEDC=ZACB,OE的延長線與射線C8交于點尸，設的長為x.(1)如圖1,當。F_L8C時，求40的長：(2)設￡C=y,求y關于x的函數解析式，并直接寫出定義域：(3)當△。廠C是等腰三角形時，求彳。的長.過點A作AHVBC交于點H,AH=AC-sina=6=DF,8/7=2,如圖1,設：FC=4a,4：.cosZACB= 則Er=3。，EC=5a,■:NEDC=Na=NCAD,NACD=N4CD,:.△ADCs^DCE,：.AC?CE=CN=DF2+FC2=36+16/=10?5a,9解得：a=2或言（舍去a=2）,o7AD=HF=\0-2-4a=（2）過點。作4）交Z。的延長線于點從HCN=CHOdh2=(ZCsina)2+(ZCcosa-x)2,即：82=36+(8-x)2,由(1)得：AC*CE=CD1,即：'=存'一|^+10(0<x<l6且xWlO)…①，(3)①當。>=OC時，NECF=NFDC=a,NDFC=ZDFC,：.ADFCs△CFE,:DF=DC,:?FC=EC=y,Ax+y=10,即：10= 10+x,解得：x=6；②當FC=DC,則NQFC=N/7)C=a,則：EF=EC=y,DE=AE=\0-yf,_...“.. . -syADix4在等腰△力￡)E中，cosZDJ￡=cosa=9芯=——=早/ic iu-y□即：5x+8y=80,將上式代入①式并解得：x=當；③當FC=FD,則/尸。。=/尸￡^=(1,而NECF=aWNFCD,不成立,故：該情況不存在；39故：Z。的長為6和二".4.已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形Z6。。是頂點坐標分別為4(3,0)、B(3,4)、C(0,4).點。在y軸上，且點。的坐標為(0,-5),點尸是直線4c上的一動點.

(1)當點尸運動到線段4C的中點時，求直線。尸的解析式(關系式)；(2)當點尸沿直線4c移動時，過點。、尸的直線與x軸交于點問在x軸的正半軸上是否存在使△COM與△48C相似的點M?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)當點尸沿直線4c移動時，以點尸為圓心、R(/?>0)為半徑長畫圓.得到的圓稱AC為動圓P.若設動圓尸的半徑長為三，過點力作動圓尸的兩條切線與動圓P分別相切于點、E、F.請探求在動圓尸中是否存在面積最小的四邊形。EPF?若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由.方法一：解：(1)過點尸作尸〃〃。4,交OC于點”，如圖1所示.■:PH〃OA,:?△CHPsACOA..HPCHCP^0A~CO~CA丁點P是4C中點，1：.CP=2CA-11；?HP=NA,CH=^CO.*：A(3,0)、C(0,4),：.OA=3,0c=4.3：.HP=J,CH=2.

：.OH=2.,:PH〃OA,ZCOA=90°,：.ZCHP=ZCOA=900.3，點尸的坐標為(5,2).設直線DP的解析式為》=履+6,3,:D(0,-5),P2)在直線0尸上,...直線DP的解析式為y=竽x-5.(2)①若dDOMs^ABC,圖2(1)所示,?叢DOMs4ABC,DOOM布二正?點8坐標為（3,4）,點。的坐標為（0,-5）,?BC=3,”=4,OD=5.5OM4=~?OM=?點”在x軸的正半軸上,15?點M的坐標為手。）②若ADOMsACBA,如圖2(2)所示,":△DOMs^CBA,DOOMCB~BA???8C=3,48=4,OD=5,5OM3=~??,點A/在x軸的正半軸上,.?.點M的坐標為（石，0）.15 20綜上所述：若△QOA/與△C84相似，則點〃的坐標為（二，0）或（彳，0）.4 3V0/1=3,OC=4,ZAOC=90°,：.AC=5.:?PE=PF=1jC=j.:DE、。尸都與O尸相切，:?DE=DF,NDEP=NDFP=90°.:?Saped=S&pfd.:.S四邊形。￡尸尸=2SaP￡￡>=2xgpE?DE=PE?DE5=*E.VZDEP=90°,??。序=。戶-PE2.=z）尸一竿.根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：當。尸_L4C時，DP最短,此時QE取到最小值，四邊形0EPF的面積最小.VDPUC,/.ZDPC=90°.:.NAOC=ZDPC.：/OCA=/PCD,NAOC=NDPC,：.AAOCsADPC.eAOAC"DP-DCJO=3,AC=5,DC=4-（-5）=9,.3 5「DP-9':.de2=dp2-^2291'Too-??S四邊形DEPL]DE/2291=4?...四邊形DEPF面積的最小值為“:1.方法二：A(3,0),C(0,4),?.?尸為4C的中點，.?.尸尸爭=|,尸尸警=2,3：.P(-,2),,：D(0,-5),...直線DP的解析式為y=歲-5.(2)若△￡>■與△ZBC相似，則NOOM=NOCZ或/OOM+NOC=9(T,①當NODM=ZOCA時，則KaLKdm=0,'：A(3,0)、C(0,4),?：D(0,-5),當y=0時，x=竽,AA/i(—,0)>4②當NOQM+NOC4=90°時，DMLAC,

:.KdmXKac=-1，4 3?.?K/c=一半：.Kdm=t,j 4VD(0,-5),當y=0時，x=20/.A/2(~?0).4(3)易知MC：y=一于r+4,?點P在直線4c上，設尸"-1/+4),：.DE=24t+隼,耨t2-24t+8：.DE=24t+隼,耨t2-24t+81,當'=翳時，S四邊形。EPF有最小值,3.如圖，在中，ZACB=90°,以斜邊48上的中線CQ為直徑作OO,與BC交于點與的另一個交點為E,過“作A/NLZ8,垂足為N.(1)求證：MN是。。的切線；

(2)若0。的直徑為5,sin5=J,求EO的長.?：OC=OM,：?4OCM=4OMC,在Rt△48C中，CQ是斜邊45上的中線,：.CD=^AB=BD,:?/DCB=/DBC,：,/OMC=ZDBC,：?OM〃BD,?：MN上BD,：.OMLMN,???OM過O,???MN是。。的切線；(2)解：連接DW,CE,〈CO是OO的直徑，:?NCED=90°,NDMC=90°,即 CELAB.由（1）知：BD=CD=5,???加為8c的中點，3VsinB=耳，-p_4??COS￡）=弓，在RtZ\5A/￡）中，BM=BDsB=4,:.BC=2BM=8,在RtACEB中，BE=BC?cosB=拳32 7:.ED=BE-8￡>=昔-5=?4.已知NMPN的兩邊分別與OO相切于點4B,。。的半徑為r.（1）如圖1,點C在點48之間的優弧上，NMPN=80°,求N/C8的度數；（2）如圖2,點C在圓上運動，當尸C最大時，要使四邊形4P8C為菱形，NZP8的度數應為多少？請說明理由；（3）若尸C交。。于點D,求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含r的式子表示）.圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接。4,OB,圖1'：PA,P8為。。的切線,:.NP4O=NPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,：.N4PB+N/OB=180°,VZJP5=80°,.,.N/08=100°,：.ZACB=50°；(2)如圖2,當乙4尸8=60°時，四邊形ZP8C是菱形,連接。1,OB,由(1)可知，NAOB+N4PB=180°,VZJP5=60",.,.408=120°,/.ZACB=60°=NAPB,?.?點c運動到尸c距離最大，...PC經過圓心，,：PA,尸8為。。的切線，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APg/\BPC(SAS'),：.N4CP=NBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.4P=AC,：.AP=AC=PB=BC,，四邊形ZP8C是菱形；(3);。。的半徑為r,J.OA^r,0P=2r,

：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,，助的長度=6；8：丁=^r,???陰影部分的周長=以+尸。+麗=百出+等=（V3+1+J）r..如圖，以為OO的切線，尸8c為。。的割線，力。，。尸于點O,△力OC的外接圓與8c*：*：OALAP,ADLOP.J由射影定理可得：PA2=PD.PO,4）2=尸。?。。…（5分）又由切割線定理可得PA2=PB?PC,:?PB*PC=PD?PO,:?D、B、C、。四點共圓，…（10分）:?NPDB=NPCO=NOBC=NODC,/PBD=NCOD,:ZBOsAcod,PDBD—PDBD—,…（15分）CD0D:.bd?cd=pd?od=ad2,BDAD又N8O/=N8OP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,：?NBAD=/ACD,：.AB是△40。的外接圓的切線,:?NBAE=/ACB.

7.如圖，點4為y軸正半軸上一點,4,8兩點關于x軸對稱，過點力任作直線交拋物線y=^x2于尸，。兩點.(1)求證：NABP=N4BQ（2）若點4的坐標為（0,1）,且NP8°=60°,試求所有滿足條件的直線尸°的函數。作y。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設點力的坐標為（0,1）,則點8的坐標為（0,-Z）.設直線尸。的函數解析式為y=h+f,并設尸，。的坐標分別為（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+￡ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因為NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：設尸C=a,DQ=b,不妨設。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因為尸。〃。0,所