?人教版九年級上冊全書教案?第二十一章二次根式教材內(nèi)容1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．2．本單元在教材中的地位和作用：二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章?反比例正函數(shù)?、第十八章?勾股定理及其應(yīng)用?等內(nèi)容的根底之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的根底．教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能〔1〕理解二次根式的概念．〔2〕理解〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)，〔〕2=a〔a≥0〕，=a〔a≥0〕．〔3〕掌握·＝〔a≥0，b≥0〕，=·；=〔a≥0，b>0〕，=〔a≥0，b>0〕．〔4〕了解最簡二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對二次根式進(jìn)行加減．2．過程與方法〔1〕先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡．〔2〕用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘〔除〕法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算．〔3〕利用逆向思維，得出二次根式的乘〔除〕法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡．〔4〕通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進(jìn)行合并，到達(dá)對二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡的目的．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，開展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)1．二次根式〔a≥0〕的內(nèi)涵．〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；〔〕2＝a〔a≥0〕；=a〔a≥0〕及其運(yùn)用．2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．3．最簡二次根式的概念．4．二次根式的加減運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)1．對〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)的理解；對等式〔〕2＝a〔a≥0〕及=a〔a≥0〕的理解及應(yīng)用．2．二次根式的乘法、除法的條件限制．3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．教學(xué)關(guān)鍵1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神．單元課時(shí)劃分本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：21．1二次根式3課時(shí)21．2二次根式的乘法3課時(shí)21．3二次根式的加減3課時(shí)教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)21．1二次根式第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容二次根式的概念及其運(yùn)用教學(xué)目標(biāo)理解二次根式的概念，并利用〔a≥0〕的意義解答具體題目．提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題．教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式的概念；2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“〔a≥0〕〞解決具體問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們獨(dú)立完成以下三個問題：問題1：反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________．問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．老師點(diǎn)評：問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)〔，〕．問題2：由勾股定理得AB=問題3：由方差的概念得S=.二、探索新知很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式，“〞稱為二次根號．〔學(xué)生活動〕議一議：1．-1有算術(shù)平方根嗎？2．0的算術(shù)平方根是多少？3．當(dāng)a<0，有意義嗎？老師點(diǎn)評:〔略〕例1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、〔x>0〕、、、-、、〔x≥0，y≥0〕．分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“〞；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．解：二次根式有：、〔x>0〕、、-、〔x≥0，y≥0〕；不是二次根式的有：、、、．例2．當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意義．解：由3x-1≥0，得：x≥當(dāng)x≥時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P練習(xí)1、2、3．四、應(yīng)用拓展例3．當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的≥0和中的x+1≠0．解：依題意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1當(dāng)x≥-且x≠-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．例4(1)y=++5，求的值．(答案:2)(2)假設(shè)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)五、歸納小結(jié)〔學(xué)生活動，老師點(diǎn)評〕本節(jié)課要掌握：1．形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式，“〞稱為二次根號．2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．六、布置作業(yè)1．教材P8復(fù)習(xí)穩(wěn)固1、綜合應(yīng)用5．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題

1．以下式子中，是二次根式的是〔〕A．-B．C．D．x2．以下式子中，不是二次根式的是〔〕A．B．C．D．3．一個正方形的面積是5，那么它的邊長是〔〕A．5B．C．D．以上皆不對二、填空題1．形如________的式子叫做二次根式．2．面積為a的正方形的邊長為________．3．負(fù)數(shù)________平方根．三、綜合提高題1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m2．當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3．假設(shè)+有意義，那么=_______．4.使式子有意義的未知數(shù)x有〔〕個．A．0B．1C．2D．無數(shù)5.a、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值．第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:一、1．A2．D3．B二、1．〔a≥0〕2．3．沒有三、1．設(shè)底面邊長為x，那么0.2x2=1，解答：x=．2．依題意得：，∴當(dāng)x>-且x≠0時(shí)，＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．3.4．B5．a(chǎn)=5，b=-421.1二次根式(2)第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1．〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；2．〔〕2=a〔a≥0〕．教學(xué)目標(biāo)理解〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)和〔〕2=a〔a≥0〕，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出〔〕2=a〔a≥0〕；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題．教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；〔〕2=a〔a≥0〕及其運(yùn)用．2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出〔〕2=a〔a≥0〕．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕口答1．什么叫二次根式？2．當(dāng)a≥0時(shí)，叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，有意義嗎？老師點(diǎn)評〔略〕．二、探究新知議一議：〔學(xué)生分組討論，提問解答〕〔a≥0〕是一個什么數(shù)呢？老師點(diǎn)評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)．做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：〔〕2=_______；〔〕2=_______；〔〕2=______；〔〕2=_______；〔〕2=______；〔〕2=_______；〔〕2=_______．老師點(diǎn)評：是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有〔〕2=4．同理可得：〔〕2=2，〔〕2=9，〔〕2=3，〔〕2=，〔〕2=，〔〕2=0，所以〔〕2=a〔a≥0〕例1計(jì)算1．〔〕22．〔3〕23．〔〕24．〔〕2分析：我們可以直接利用〔〕2=a〔a≥0〕的結(jié)論解題．解：〔〕2=，〔3〕2=32·〔〕2=32·5=45，〔〕2=，〔〕2=．三、穩(wěn)固練習(xí)計(jì)算以下各式的值：〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔4〕2四、應(yīng)用拓展例2計(jì)算1．〔〕2〔x≥0〕2．〔〕23．〔〕24．〔〕2分析：〔1〕因?yàn)閤≥0，所以x+1>0；〔2〕a2≥0；〔3〕a2+2a+1=〔a+1〕≥0；〔4〕4x2-12x+9=〔2x〕2-2·2x·3+32=〔2x-3〕2≥0．所以上面的4題都可以運(yùn)用〔〕2=a〔a≥0〕的重要結(jié)論解題．解：〔1〕因?yàn)閤≥0，所以x+1>0〔〕2=x+1〔2〕∵a2≥0，∴〔〕2=a2〔3〕∵a2+2a+1=〔a+1〕2又∵〔a+1〕2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1〔4〕∵4x2-12x+9=〔2x〕2-2·2x·3+32=〔2x-3〕2又∵〔2x-3〕2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴〔〕2=4x2-12x+9例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解以下因式:〔1〕x2-3〔2〕x4-4(3)2x2-3分析：(略)五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：1．〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；2．〔〕2=a〔a≥0〕;反之:a=〔〕2〔a≥0〕．六、布置作業(yè)1．教材P8復(fù)習(xí)穩(wěn)固2．〔1〕、〔2〕P97．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．以下各式中、、、、、，二次根式的個數(shù)是〔〕．A．4B．3C．2D．12．?dāng)?shù)a沒有算術(shù)平方根，那么a的取值范圍是〔〕．A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)<0D．a(chǎn)=0二、填空題1．〔-〕2=________．2．有意義，那么是一個_______數(shù)．三、綜合提高題1．計(jì)算〔1〕〔〕2〔2〕-〔〕2〔3〕〔〕2〔4〕〔-3〕2(5)2．把以下非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:〔1〕5〔2〕3.4〔3〕〔4〕x〔x≥0〕3．+=0，求xy的值．4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解以下因式:〔1〕x2-2〔2〕x4-93x2-5第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:一、1．B2．C二、1．32．非負(fù)數(shù)三、1．〔1〕〔〕2=9〔2〕-〔〕2=-3〔3〕〔〕2=×6=〔4〕〔-3〕2=9×=6(5)-62．〔1〕5=〔〕2〔2〕3.4=〔〕2〔3〕=〔〕2〔4〕x=〔〕2〔x≥0〕3．xy=34=814.〔1〕x2-2=〔x+〕〔x-〕〔2〕x4-9=〔x2+3〕〔x2-3〕=〔x2+3〕〔x+〕〔x-〕(3)略21.1二次根式(3)第三課時(shí)教學(xué)內(nèi)容＝a〔a≥0〕教學(xué)目標(biāo)理解=a〔a≥0〕并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡．通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a〔a≥0〕，并利用這個結(jié)論解決具體問題．教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：＝a〔a≥0〕．2．難點(diǎn)：探究結(jié)論．3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)，＝a才成立．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；1．形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式；2．〔a≥0〕是一個非負(fù)數(shù)；3．()2＝a〔a≥0〕．那么，我們猜測當(dāng)a≥0時(shí)，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題．二、探究新知〔學(xué)生活動〕填空：=_______；=_______；=______；=________；=________；=_______．〔老師點(diǎn)評〕：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：=2；=0.01；=；=；=0；=．因此，一般地：=a〔a≥0〕例1化簡〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕分析：因?yàn)椤?〕9=-32，〔2〕〔-4〕2=42，〔3〕25=52，〔4〕〔-3〕2=32，所以都可運(yùn)用=a〔a≥0〕去化簡．解：〔1〕==3〔2〕==4〔3〕==5〔4〕==3三、穩(wěn)固練習(xí)教材P7練習(xí)2．四、應(yīng)用拓展例2填空：當(dāng)a≥0時(shí)，=_____；當(dāng)a<0時(shí)，=_______，并根據(jù)這一性質(zhì)答復(fù)以下問題．〔1〕假設(shè)=a，那么a可以是什么數(shù)？〔2〕假設(shè)=-a，那么a可以是什么數(shù)？〔3〕>a，那么a可以是什么數(shù)？分析：∵=a〔a≥0〕，∴要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“〔〕2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)a≤0時(shí)，=，那么-a≥0．〔1〕根據(jù)結(jié)論求條件；〔2〕根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；〔3〕根據(jù)〔1〕、〔2〕可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0．解：〔1〕因?yàn)?a，所以a≥0；〔2〕因?yàn)?-a，所以a≤0；〔3〕因?yàn)楫?dāng)a≥0時(shí)=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0例3當(dāng)x>2，化簡-．分析：(略)五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：=a〔a≥0〕及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，＝－a的應(yīng)用拓展．六、布置作業(yè)1．教材P8習(xí)題21．13、4、6、8．2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．的值是〔〕．A．0B．C．4D．以上都不對2．a(chǎn)≥0時(shí)，、、-，比擬它們的結(jié)果，下面四個選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是〔〕．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=二、填空題1．-=________．2．假設(shè)是一個正整數(shù)，那么正整數(shù)m的最小值是________．三、綜合提高題1．先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+〔1-a〕=1；乙的解答為：原式=a+=a+〔a-1〕=2a-1=17．兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________．2．假設(shè)│1995-a│+=a，求a-19952的值．〔提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值〕3.假設(shè)-3≤x≤2時(shí)，試化簡│x-2│++。答案:一、1．C2．A二、1．-0．022．5三、1．甲甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)2．由得a-2000≥0，a≥2000所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3.10-x21．2二次根式的乘除第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容·＝〔a≥0，b≥0〕，反之=·〔a≥0，b≥0〕及其運(yùn)用．教學(xué)目標(biāo)理解·＝〔a≥0，b≥0〕，=·〔a≥0，b≥0〕，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出·＝〔a≥0，b≥0〕并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出=·〔a≥0，b≥0〕并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡．教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵重點(diǎn)：·＝〔a≥0，b≥0〕，=·〔a≥0，b≥0〕及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出·＝〔a≥0，b≥0〕．關(guān)鍵：要講清〔a<0,b<0〕=，如=或==×．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們完成以下各題．1．填空〔1〕×=_______，=______；〔2〕×=_______，=________．〔3〕×=________，=_______．參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝〞填空．×_____，×_____，×________2．利用計(jì)算器計(jì)算填空〔1〕×______，〔2〕×______，〔3〕×______，〔4〕×______，〔5〕×______．老師點(diǎn)評〔糾正學(xué)生練習(xí)中的錯誤〕二、探索新知〔學(xué)生活動〕讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律．老師點(diǎn)評：〔1〕被開方數(shù)都是正數(shù)；〔2〕兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù)．一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為·＝．〔a≥0，b≥0〕反過來:=·〔a≥0，b≥0〕例1．計(jì)算〔1〕×〔2〕×〔3〕×〔4〕×分析：直接利用·＝〔a≥0，b≥0〕計(jì)算即可．解：〔1〕×=〔2〕×==〔3〕×==9〔4〕×==例2化簡〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕分析：利用=·〔a≥0，b≥0〕直接化簡即可．解：〔1〕=×=3×4=12〔2〕=×=4×9=36〔3〕=×=9×10=90〔4〕=×=××=3xy〔5〕==×=3三、穩(wěn)固練習(xí)〔1〕計(jì)算〔學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評〕①×②3×2③·(2)化簡:;;;;教材P11練習(xí)全部四、應(yīng)用拓展例3．判斷以下各式是否正確，不正確的請予以改正：〔1〕〔2〕×=4××=4×=4=8解：〔1〕不正確．改正：=＝×=2×3=6〔2〕不正確．改正：×=×===＝4五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：〔1〕·＝=〔a≥0，b≥0〕，=·〔a≥0，b≥0〕及其運(yùn)用．六、布置作業(yè)1．課本P151，4，5，6．〔1〕〔2〕．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．假設(shè)直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cm和cm，那么此直角三角形斜邊長是〔〕．A．3cmB．3cmC．9cm2．化簡a的結(jié)果是〔〕．A．B．C．-D．-3．等式成立的條件是〔〕A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-14．以下各等式成立的是〔〕．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20二、填空題1．=_______．2．自由落體的公式為S=gt2〔g為重力加速度，它的值為10m/s2〕，假設(shè)物體下落的高度為720m，那么下落的時(shí)間是_________．三、綜合提高題1．一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一局部水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？2．探究過程：觀察以下各式及其驗(yàn)證過程．〔1〕2=驗(yàn)證：2=×====〔2〕3=驗(yàn)證：3=×====同理可得：45，……通過上述探究你能猜測出：a=_______〔a>0〕,并驗(yàn)證你的結(jié)論．答案:一、1．B2．C3.A4.D二、1．132．12s三、1．設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為x，那么x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．2．a(chǎn)=驗(yàn)證：a====.21．2二次根式的乘除第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容=〔a≥0，b>0〕，反過來=〔a≥0，b>0〕及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．教學(xué)目標(biāo)理解=〔a≥0，b>0〕和=〔a≥0，b>0〕及利用它們進(jìn)行運(yùn)算．利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：理解=〔a≥0，b>0〕，=〔a≥0，b>0〕及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．2．難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們完成以下各題：1．寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式．2．填空〔1〕=________，=_________；〔2〕=________，=________；〔3〕=________，=_________；〔4〕=________，=________．規(guī)律：______；______；_______；_______．3．利用計(jì)算器計(jì)算填空:〔1〕=_________，〔2〕=_________，〔3〕=______，〔4〕=________．規(guī)律：______；_______；_____；_____。每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運(yùn)算結(jié)果．〔老師點(diǎn)評〕二、探索新知剛剛同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺的同學(xué)也答復(fù)得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和答復(fù)，我們可以得到：一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=〔a≥0，b>0〕，反過來，=〔a≥0，b>0〕下面我們利用這個規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目．例1．計(jì)算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕分析：上面4小題利用=〔a≥0，b>0〕便可直接得出答案．解：〔1〕===2〔2〕==×=2〔3〕===2〔4〕===2例2．化簡：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕分析：直接利用=〔a≥0，b>0〕就可以到達(dá)化簡之目的．解：〔1〕=〔2〕=〔3〕=〔4〕=三、穩(wěn)固練習(xí)教材P14練習(xí)1．四、應(yīng)用拓展例3．，且x為偶數(shù)，求〔1+x〕的值．分析：式子=，只有a≥0，b>0時(shí)才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8．解：由題意得，即∴6<x≤9∵x為偶數(shù)∴x=8∴原式=〔1+x〕=〔1+x〕=〔1+x〕=∴當(dāng)x=8時(shí)，原式的值==6．五、歸納小結(jié)本節(jié)課要掌握=〔a≥0，b>0〕和=〔a≥0，b>0〕及其運(yùn)用．六、布置作業(yè)1．教材P15習(xí)題21．22、7、8、9．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．計(jì)算的結(jié)果是〔〕．A．B．C．D．2．閱讀以下運(yùn)算過程：，數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化〞，那么，化簡的結(jié)果是〔〕．A．2B．6C．D．二、填空題1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.2．x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_______．三、綜合提高題1．有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？2．計(jì)算〔1〕·〔-〕÷〔m>0，n>0〕〔2〕-3÷〔〕×〔a>0〕答案:一、1．A2．C二、1．(1);(2);(3)2．三、1．設(shè)：矩形房梁的寬為x〔cm〕，那么長為xcm，依題意，得：〔x〕2+x2=〔3〕2，4x2=9×15，x=〔cm〕，x·x=x2=〔cm2〕．2．〔1〕原式＝-÷=-=-=-〔2〕原式=-2=-2=-a21.2二次根式的乘除(3)第三課時(shí)教學(xué)內(nèi)容最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡運(yùn)算．教學(xué)目標(biāo)理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．通過計(jì)算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求．重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：最簡二次根式的運(yùn)用．2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們完成以下各題〔請三位同學(xué)上臺板書〕1．計(jì)算〔1〕，〔2〕，〔3〕老師點(diǎn)評：=，=，=2．現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2它們的比是．二、探索新知觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點(diǎn)：1．被開方數(shù)不含分母；2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式．學(xué)生分組討論，推薦3～4個人到黑板上板書．老師點(diǎn)評：不是．=.例1．(1);(2);(3)例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長．解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2所以AB===6.5〔cm〕因此AB的長為6.5cm．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P14練習(xí)2、3四、應(yīng)用拓展例3．觀察以下各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算〔+++……〕〔+1〕的值．分析：由題意可知，此題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以到達(dá)化簡的目的．解：原式=〔-1+-+-+……+-〕×〔+1〕=〔-1〕〔+1〕=2002-1=2001五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運(yùn)用．六、布置作業(yè)1．教材P15習(xí)題21．23、7、10．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．如果〔y>0〕是二次根式，那么，化為最簡二次根式是〔〕．A．〔y>0〕B．〔y>0〕C．〔y>0〕D．以上都不對2．把〔a-1〕中根號外的〔a-1〕移入根號內(nèi)得〔〕．A．B．C．-D．-3．在以下各式中，化簡正確的選項(xiàng)是〔〕A．=3B．=±C．=a2D．=x4．化簡的結(jié)果是〔〕A．-B．-C．-D．-二、填空題1．化簡=_________．〔x≥0〕2．a(chǎn)化簡二次根式號后的結(jié)果是_________．三、綜合提高題1．a(chǎn)為實(shí)數(shù)，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？假設(shè)不正確，請寫出正確的解答過程：解：-a=a-a·=〔a-1〕2．假設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值．答案:一、1．C2．D3.C4.C二、1．x2．-三、1．不正確，正確解答：因?yàn)椋詀<0，原式＝-a·=·-a·=-a+=(1-a)2．∵∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=∴.21.3二次根式的加減(1)第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容二次根式的加減教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二次根式加減的方法．先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行加減的方法的理解．再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡．重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式．2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：計(jì)算以下各式．〔1〕2x+3x；〔2〕2x2-3x2+5x2；〔3〕x+2x+3y；〔4〕3a2-2a2+a3教師點(diǎn)評：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并．同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減．二、探索新知學(xué)生活動：計(jì)算以下各式．〔1〕2+3〔2〕2-3+5〔3〕+2+3〔4〕3-2+老師點(diǎn)評：〔1〕如果我們把當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？2+3=〔2+3〕=5〔2〕把當(dāng)成y；2-3+5=〔2-3+5〕=4=8〔3〕把當(dāng)成z；+2+=2+2+3=〔1+2+3〕=6〔4〕看為x，看為y．3-2+=〔3-2〕+=+因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與外表上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的．〔板書〕3+=3+2=53+=3+3=6所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．例1．計(jì)算〔1〕+〔2〕+分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并．解：〔1〕+=2+3=〔2+3〕=5〔2〕+=4+8=〔4+8〕=12例2．計(jì)算〔1〕3-9+3〔2〕〔+〕+〔-〕解：〔1〕3-9+3=12-3+6=〔12-3+6〕=15〔2〕〔+〕+〔-〕=++-=4+2+2-=6+三、穩(wěn)固練習(xí)教材P19練習(xí)1、2．四、應(yīng)用拓展例3．4x2+y2-4x-6y+10=0，求〔+y2〕-〔x2-5x〕的值．分析：此題首先將等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得〔2x-1〕2+〔y-3〕2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值．解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴〔2x-1〕2+〔y-3〕2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6當(dāng)x=，y=3時(shí)，原式=×+6=+3五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：〔1〕不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；〔2〕相同的最簡二次根式進(jìn)行合并．六、布置作業(yè)1．教材P21習(xí)題21．31、2、3、5．2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是〔〕．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．以下各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中錯誤的有〔〕．A．3個B．2個C．1個D．0個二、填空題1．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有________．2．計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是________．三、綜合提高題1．≈2.236，求〔-〕-〔+〕的值．〔結(jié)果精確到0.01〕2．先化簡，再求值．〔6x+〕-〔4x+〕，其中x=，y=27．答案:一、1．C2．A二、1．2．6-2三、1．原式=4---=≈×2.236≈0.452．原式=6+3-〔4+6〕=〔6+3-4-6〕=-，當(dāng)x=，y=27時(shí)，原式=-=-21.3二次根式的加減(2)第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題．教學(xué)目標(biāo)運(yùn)用二次根式、化簡解應(yīng)用題．通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題．重難點(diǎn)關(guān)鍵講清如何解容許用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做穩(wěn)固．二、探索新知例1．如下圖的Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？〔結(jié)果用最簡二次根式表示〕分析：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值．解：設(shè)x后△PBQ的面積為35平方厘米．那么有PB=x，BQ=2x依題意，得：x·2x=35x2=35x=所以秒后△PBQ的面積為35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米．例2．要焊接如下圖的鋼架，大約需要多少米鋼材〔精確到0.1m〕？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度．解：由勾股定理，得AB==2BC==所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=2++5+2=3+7≈3×2.24+7≈13.7〔m〕答：要焊接一個如下圖的鋼架，大約需要13.7m的鋼材．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P19練習(xí)3四、應(yīng)用拓展例3．假設(shè)最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．〔同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式〕分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化為最簡二次根式：==|b|·由題意得∴∴a=1，b=1五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡二次根式的合并原理解決實(shí)際問題．六、布置作業(yè)1．教材P21習(xí)題21．37．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應(yīng)為〔〕．〔結(jié)果用最簡二次根式〕A．5B．C．2D．以上都不對2．小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為〔〕米．〔結(jié)果同最簡二次根式表示〕A．13B．C．10D．5二、填空題1．某地有一長方形魚塘，魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2．等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是________．〔結(jié)果用最簡二次根式〕三、綜合提高題1．假設(shè)最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值．2．同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b2=〔a±b〕2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)〔包括0〕都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=〔〕2，5=〔〕2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：〔-1〕2=〔〕2-2·1·+12=2-2+1=3-2反之，3-2=2-2+1=〔-1〕2∴3-2=〔-1〕2∴=-1求：〔1〕；〔2〕；〔3〕你會算嗎？〔4〕假設(shè)=，那么m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由．答案:一、1．A2．C二、1．202．2+2三、1．依題意，得，，所以或或或2．〔1〕==+1〔2〕==+1〔3〕==-1〔4〕理由：兩邊平方得a±2=m+n±2所以21.3二次根式的加減(3)第三課時(shí)教學(xué)內(nèi)容含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用．復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識并將該知識運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算．重難點(diǎn)關(guān)鍵重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識遷移到含二次根式的運(yùn)算．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：請同學(xué)們完成以下各題:1．計(jì)算〔1〕〔2x+y〕·zx〔2〕〔2x2y+3xy2〕÷xy2．計(jì)算〔1〕〔2x+3y〕〔2x-3y〕〔2〕〔2x+1〕2+〔2x-1〕2老師點(diǎn)評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運(yùn)算的再現(xiàn)．它主要有〔1〕單項(xiàng)式×單項(xiàng)式；〔2〕單項(xiàng)式×多項(xiàng)式；〔3〕多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式；〔4〕完全平方公式；〔5〕平方差公式的運(yùn)用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式．例1．計(jì)算:〔1〕〔+〕×〔2〕〔4-3〕÷2分析：剛剛已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．解：〔1〕〔+〕×=×+×=+=3+2解：〔4-3〕÷2=4÷2-3÷2=2-例2．計(jì)算〔1〕〔+6〕〔3-〕〔2〕〔+〕〔-〕分析：剛剛已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立．解：〔1〕〔+6〕〔3-〕=3-〔〕2+18-6=13-3〔2〕〔+〕〔-〕=〔〕2-〔〕2=10-7=3三、穩(wěn)固練習(xí)課本P20練習(xí)1、2．四、應(yīng)用拓展例3．=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b≠0，化簡+，并求值．分析：由于〔+〕〔-〕=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結(jié)果即可．解：原式=+=+=〔x+1〕+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b〔x-b〕=2ab-a〔x-a〕∴bx-b2=2ab-ax+a2∴〔a+b〕x=a2+2ab+b2∴〔a+b〕x=〔a+b〕2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4〔a+b〕+2五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算．六、布置作業(yè)1．教材P21習(xí)題21．31、8、9．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．3.課后作業(yè):?同步訓(xùn)練?作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．〔-3+2〕×的值是〔〕．A．-3B．3-C．2-D．-2．計(jì)算〔+〕〔-〕的值是〔〕．A．2B．3C．4D．1二、填空題1．〔-+〕2的計(jì)算結(jié)果〔用最簡根式表示〕是________．2．〔1-2〕〔1+2〕-〔2-1〕2的計(jì)算結(jié)果〔用最簡二次根式表示〕是_______．3．假設(shè)x=-1，那么x2+2x+1=________．4．a(chǎn)=3+2，b=3-2，那么a2b-ab2=_________．三、綜合提高題1．化簡2．當(dāng)x=時(shí)，求+的值．〔結(jié)果用最簡二次根式表示〕課外知識1．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式．練習(xí)：以下各組二次根式中，是同類二次根式的是〔〕．A．與B．與C．與D．與2．互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式．練習(xí)：+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．3．分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，到達(dá)化去分母中的根號的目的．練習(xí)：把以下各式的分母有理化〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．4．其它材料：如果n是任意正整數(shù)，那么=n理由：==n練習(xí)：填空=_______；=________；=_______．答案:一、1．A2．D二、1．1-2．4-243．24．4三、1．原式＝===-〔-〕=-2．原式＝===2〔2x+1〕∵x==+1原式＝2〔2+3〕=4+6.二次根式復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及根本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；2．熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：含二次根式的式子的混合運(yùn)算．難點(diǎn)：綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法那么化簡和計(jì)算含二次根式的式子．教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)1．請同學(xué)回憶二次根式有哪些根本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件．指出：二次根式的這些根本性質(zhì)都是在一定條件下才成立的，主要應(yīng)用于化簡二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法那么是什么？用式子表示出來．指出：二次根式的乘、除法那么也是在一定條件下成立的．把兩個二次根式相除，計(jì)算結(jié)果要把分母有理化．3．在二次根式的化簡或計(jì)算中，還常用到以下兩個二次根式的關(guān)系式：4．在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運(yùn)用三個可逆的式子：二、例題例1x取什么值時(shí)，以下各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：分析：(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；(3)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項(xiàng)式，因此x的取值必須使二次根式有意義，同時(shí)使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因?yàn)閚2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一個二次根式的被開方數(shù)的分子與分母都可以分解因式．把它們分別分解因式后，再利用二次根式的根本性質(zhì)把式子化簡，化簡中應(yīng)注意利用題中的隱含條件3-a≥0和1-a＞0．解因?yàn)?-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．這些性質(zhì)化簡含二次根式的式子時(shí)，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件的．問：上面的代數(shù)式中的兩個二次根式的被開方數(shù)的式子如何化為完全平方式？分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進(jìn)行通分，然后進(jìn)行計(jì)算．解注意：所以在化簡過程中，例6分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進(jìn)行計(jì)算，這兩種方法的運(yùn)算量都較大，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分別把兩個式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運(yùn)算變?yōu)楹喗荩產(chǎn)+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、課堂練習(xí)1．選擇題：A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≠2D．a(chǎn)＜2A．x+2B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2xB．2aC．-2xD．-2．填空題：4．計(jì)算：四、小結(jié)1．本節(jié)課復(fù)習(xí)的五個根本問題是“二次根式〞這一章的主要根底知識，同學(xué)們要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化簡、計(jì)算及求值的過程中，應(yīng)注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，以確定被開方數(shù)中的字母或式子的取值范圍．3．運(yùn)用二次根式的四個根本性質(zhì)進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，一定要注意論述每一個性質(zhì)中字母的取值范圍的條件．4．通過例題的討論，要學(xué)會綜合、靈活運(yùn)用二次根式的意義、根本性質(zhì)和法那么以及有關(guān)多項(xiàng)式的因式分解，解答有關(guān)含二次根式的式子的化簡、計(jì)算及求值等問題．五、作業(yè)1．x是什么值時(shí)，以下各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2．把以下各式化成最簡二次根式：第二十三章旋轉(zhuǎn)單元要點(diǎn)分析教學(xué)內(nèi)容1．主要內(nèi)容：圖形的旋轉(zhuǎn)及其有關(guān)概念：包括旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角．圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．通過不同形式的旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)圖案．中心對稱及其有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心的對稱點(diǎn)；關(guān)于中心對稱的兩個圖形．中心對稱的性質(zhì)：對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．中心對稱圖形：概念及性質(zhì)：包括中心對稱圖形、對稱中心．關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號都相反，即點(diǎn)P〔x，y〕關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P′〔-x，-y〕．課題學(xué)習(xí)．圖案設(shè)計(jì)．2．本單元在教材中的地位與作用：學(xué)生通過平移、平面直角坐標(biāo)系，軸對稱、反比例函數(shù)、四邊形等知識的學(xué)習(xí)，初步積累了一定的圖形變換數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．本章在此根底上，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞與設(shè)計(jì)等操作性活動形成圖形旋轉(zhuǎn)概念．它又對今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是幾何，包括圓等內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著橋梁鋪墊之作用．教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的根本性質(zhì)．了解中心對稱的概念并理解它的根本性質(zhì)．了解中心對稱圖形的概念；掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的關(guān)系并應(yīng)用；再通過幾何操作題的練習(xí)，掌握課題學(xué)習(xí)中圖案設(shè)計(jì)的方法．2．過程與方法〔1〕讓學(xué)生感受生活中的幾何，通過不同的情景設(shè)計(jì)歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念，并用這些概念來解決一些問題．〔2〕通過復(fù)習(xí)圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念從中歸納出“對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等〞等重要性質(zhì)，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題．〔3〕經(jīng)歷復(fù)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念和性質(zhì)，分析不同的旋轉(zhuǎn)中心，不同的旋轉(zhuǎn)角，出現(xiàn)不同的效果并對各種情況進(jìn)行分類．〔4〕復(fù)習(xí)對稱軸和軸對稱圖形的有關(guān)概念，通過知識遷移講授中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)內(nèi)容，并附加練習(xí)穩(wěn)固這個內(nèi)容．〔5〕通過幾何操作題，探究猜測發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并給予證明，附加例題進(jìn)一步穩(wěn)固．〔6〕復(fù)習(xí)中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)概念，然后提出問題，讓學(xué)生觀察、思考，老師歸納得出中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)概念，最后用一些例題、練習(xí)來穩(wěn)固這個內(nèi)容．〔7〕復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，通過實(shí)例歸納出兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，坐標(biāo)符號之間的關(guān)系，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題．〔8〕通過復(fù)習(xí)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等有關(guān)概念研究如何進(jìn)行圖形設(shè)計(jì)．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，從事圖形旋轉(zhuǎn)根本性質(zhì)的探索活動，進(jìn)一步開展空間觀察，培養(yǎng)運(yùn)動幾何的觀點(diǎn)，增強(qiáng)審美意識．讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，自主探究和合作交流進(jìn)一步體會旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得知識，體驗(yàn)成功，享受學(xué)習(xí)樂趣．讓學(xué)生從事應(yīng)用所學(xué)的知識進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的活動，享受成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情．教學(xué)重點(diǎn)1．圖形旋轉(zhuǎn)的根本性質(zhì)．2．中心對稱的根本性質(zhì)．3．兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們坐標(biāo)間的關(guān)系．教學(xué)難點(diǎn)1．圖形旋轉(zhuǎn)的根本性質(zhì)的歸納與運(yùn)用．2．中心對稱的根本性質(zhì)的歸納與運(yùn)用．教學(xué)關(guān)鍵1．利用幾何直觀，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念；2．利用幾何操作，通過觀察、探究，用不完全歸納法歸納出圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對稱的根本性質(zhì)．單元課時(shí)劃分本單元教學(xué)時(shí)間約需10課時(shí)，具體分配如下：23．1圖形的旋轉(zhuǎn)3課時(shí)23．2中心對稱4課時(shí)23．3課題學(xué)習(xí)；圖案設(shè)計(jì)1課時(shí)教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)〔1〕第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1．什么叫旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)中心？旋轉(zhuǎn)角？2．什么叫旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)？教學(xué)目標(biāo)了解旋轉(zhuǎn)及其旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念，了解旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)的概念及其應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問題．通過復(fù)習(xí)平移、軸對稱的有關(guān)概念及性質(zhì)，從生活中的數(shù)學(xué)開始，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念，應(yīng)用概念解決一些實(shí)際問題．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)及對應(yīng)點(diǎn)的有關(guān)概念及其應(yīng)用．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：從活生生的數(shù)學(xué)中抽出概念．教具、學(xué)具準(zhǔn)備小黑板、三角尺教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們完成下面各題．1．將如下圖的四邊形ABCD平移，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，作出平移后的圖形．2．如圖，△ABC和直線L，請你畫出△ABC關(guān)于L的對稱圖形△A′B′C′．3．圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？〔口述〕老師點(diǎn)評并總結(jié)：〔1〕平移的有關(guān)概念及性質(zhì)．〔2〕如何畫一個圖形關(guān)于一條直線〔對稱軸〕的對稱圖形并口述它既有的一些性質(zhì)．〔3〕什么叫軸對稱圖形？二、探索新知我們前面已經(jīng)復(fù)習(xí)平移等有關(guān)內(nèi)容，生活中是否還有其它運(yùn)動變化呢？答復(fù)是肯定的，下面我們就來研究．1．請同學(xué)們看講臺上的大時(shí)鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動？旋繞什么點(diǎn)呢？從現(xiàn)在到下課時(shí)鐘轉(zhuǎn)了多少度？分針轉(zhuǎn)了多少度？秒針轉(zhuǎn)了多少度？〔口答〕老師點(diǎn)評：時(shí)針、分針、秒針在不停地轉(zhuǎn)動，它們都繞時(shí)針的中心．如果從現(xiàn)在到下課時(shí)針轉(zhuǎn)了_______度，分針轉(zhuǎn)了_______度，秒針轉(zhuǎn)了______度．2．再看我自制的好似風(fēng)車風(fēng)輪的玩具，它可以不停地轉(zhuǎn)動．如何轉(zhuǎn)到新的位置？〔老師點(diǎn)評略〕3．第1、2兩題有什么共同特點(diǎn)呢？共同特點(diǎn)是如果我們把時(shí)針、風(fēng)車風(fēng)輪當(dāng)成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定的角度．像這樣，把一個圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)．下面我們來運(yùn)用這些概念來解決一些問題．例1．如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB，它繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△OEF，在這個旋轉(zhuǎn)過程中：〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是什么？〔2〕經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B分別移動到什么位置？解：〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋轉(zhuǎn)角．〔2〕經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別移動到點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置．例2．〔學(xué)生活動〕如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正方形．〔1〕這個圖案可以看做是哪個“根本圖案〞通過旋轉(zhuǎn)得到的？〔2〕請畫出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角．〔3〕指出，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、C、D分別移到什么位置？〔老師點(diǎn)評〕〔1〕可以看做是由正方形ABCD的根本圖案通過旋轉(zhuǎn)而得到的．〔2〕畫圖略．〔3〕點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D移到的位置是點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G、點(diǎn)H．最后強(qiáng)調(diào)，這個旋轉(zhuǎn)中心是固定的，即正方形對角線的交點(diǎn)，但旋轉(zhuǎn)角和對應(yīng)點(diǎn)都是不唯一的．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P65練習(xí)1、2、3．四、應(yīng)用拓展例3．兩個邊長為1的正方形，如下圖，讓一個正方形的頂點(diǎn)與另一個正方形中心重合，不難知道重合局部的面積為，現(xiàn)把其中一個正方形固定不動，另一個正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形重疊局部面積是否發(fā)生變化？說明理由．分析：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如圖中的虛線局部，要說明旋轉(zhuǎn)后正方形重疊局部面積不變，只要說明S△OEE`=S△ODD`，那么只要說明△OEF′≌△ODD′．解：面積不變．理由：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如下圖．在Rt△ODD′和Rt△OEE′中∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOEOD=OD∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`∴S四邊形OE`BD`=S正方形OEBD=五、歸納小結(jié)〔學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評〕本節(jié)課要掌握：1．旋轉(zhuǎn)及其旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的概念．2．旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)及其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P66復(fù)習(xí)穩(wěn)固1、2、3．2．?同步練習(xí)?一、選擇題1．在26個英文大寫字母中，通過旋轉(zhuǎn)180°后能與原字母重合的有〔〕．A．6個B．7個C．8個D．9個2．從5點(diǎn)15分到5點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為〔〕．A．20°B．26°C．30°D．36°3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，那么旋轉(zhuǎn)角等于〔〕．A．70°B．80°C．60°D．50°(1)(2)(3)二、填空題．1．在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)沿著某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為________，這個定點(diǎn)稱為________，轉(zhuǎn)動的角為________．2．如圖2，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，點(diǎn)E在AB上，如果△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與△ADE重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)_________；旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是__________．3．如圖3，△ABC為等邊三角形，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACP的位置，那么，〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是________；〔2〕旋轉(zhuǎn)角度是________；〔3〕△ADP是________三角形．三、綜合提高題．1．閱讀下面材料：如圖4，把△ABC沿直線BC平行移動線段BC的長度，可以變到△ECD的位置．如圖5，以BC為軸把△ABC翻折180°，可以變到△DBC的位置．(4)(5)(6)(7)如圖6，以A點(diǎn)為中心，把△ABC旋轉(zhuǎn)90°，可以變到△AED的位置，像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換．答復(fù)以下問題如圖7，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，AF=AB．〔1〕在如圖7所示，可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE移到△ADF的位置？〔2〕指出如圖7所示中的線段BE與DF之間的關(guān)系．2．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖，現(xiàn)將木塊沿水平線翻滾五個三角形，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長是多少？答案:一、1．B2．C3．B二、1．旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角2．A45°3．點(diǎn)A60°等邊三、1．〔1〕通過旋轉(zhuǎn)，即以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．〔2〕BE=DF，BE⊥DF2．翻滾一次滾120°翻滾五個三角形，正好翻滾一個圓，所以所走路徑是2．23.1圖形的旋轉(zhuǎn)(2)第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1．對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．2．對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3．旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等及其它們的運(yùn)用．教學(xué)目標(biāo)理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；理解對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；理解旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．掌握以上三個圖形的旋轉(zhuǎn)的根本性質(zhì)的運(yùn)用．先復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)及其旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)概念，接著用操作幾何、實(shí)驗(yàn)探究圖形的旋轉(zhuǎn)的根本性質(zhì)．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：圖形的旋轉(zhuǎn)的根本性質(zhì)及其應(yīng)用．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：運(yùn)用操作實(shí)驗(yàn)幾何得出圖形的旋轉(zhuǎn)的三條根本性質(zhì)．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕老師口問，學(xué)生口答．1．什么叫旋轉(zhuǎn)？什么叫旋轉(zhuǎn)中心？什么叫旋轉(zhuǎn)角？2．什么叫旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)？3．請獨(dú)立完成下面的題目．如圖，O是六個正三角形的公共頂點(diǎn)，正六邊形ABCDEF能否看做是某條線段繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)假設(shè)干次所形成的圖形？〔老師點(diǎn)評〕分析：能．看做是一條邊〔如線段AB〕繞O點(diǎn)，按照同一方法連續(xù)旋轉(zhuǎn)60°、120°、180°、240°、300°形成的．二、探索新知上面的解題過程中，能否得出什么結(jié)論，請答復(fù)下面的問題：1．A、B、C、D、E、F到O點(diǎn)的距離是否相等？2．對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？3．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形這里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等嗎？老師點(diǎn)評：〔1〕距離相等，〔2〕夾角相等，〔3〕前后圖形全等，那么這個是否有一般性？下面請看這個實(shí)驗(yàn)．請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點(diǎn)O作為旋轉(zhuǎn)中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案〔△ABC〕，然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形〔△A′B′C′〕，移去硬紙板．〔分組討論〕根據(jù)圖答復(fù)下面問題〔一組推薦一人上臺說明〕1．線段OA與OA′，OB與OB′，OC與OC′有什么關(guān)系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么關(guān)系？3．△ABC與△A′B′C′形狀和大小有什么關(guān)系？老師點(diǎn)評：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心相等．2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我們把這三個相等的角，即對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角稱為旋轉(zhuǎn)角．3．△ABC和△A′B′C′形狀相同和大小相等，即全等．綜合以上的實(shí)驗(yàn)操作和剛剛作的〔3〕，得出〔1〕對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；〔2〕對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；〔3〕旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．例1．如圖，△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，試確定頂點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的位置，以及旋轉(zhuǎn)后的三角形．分析：繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是D點(diǎn)，那么旋轉(zhuǎn)角就是∠ACD，根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即∠BCB′=ACD，又由對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即CB=CB′，就可確定B′的位置，如下圖．解：〔1〕連結(jié)CD〔2〕以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD〔3〕在射線CE上截取CB′=CB那么B′即為所求的B的對應(yīng)點(diǎn)．〔4〕連結(jié)DB′那么△DB′C就是△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形．例2．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋轉(zhuǎn)圖形．〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？〔2〕旋轉(zhuǎn)了多少度？〔3〕AF的長度是多少？〔4〕如果連結(jié)EF，那么△AEF是怎樣的三角形？分析：由△ABF是△ADE的旋轉(zhuǎn)圖形，可直接得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，要求AF的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到．△ABF與△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是A點(diǎn)．〔2〕∵△ABF是由△ADE旋轉(zhuǎn)而成的∴B是D的對應(yīng)點(diǎn)∴∠DAB=90°就是旋轉(zhuǎn)角〔3〕∵AD=1，DE=∴AE==∵對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等且F是E的對應(yīng)點(diǎn)∴AF=〔4〕∵∠EAF=90°〔與旋轉(zhuǎn)角相等〕且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P64練習(xí)1、2．四、應(yīng)用拓展例3．如圖，K是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，以AK為一邊作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，連接BK和DM，試用旋轉(zhuǎn)的思想說明線段BK與DM的關(guān)系．分析：要用旋轉(zhuǎn)的思想說明就是要用旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點(diǎn)的知識來說明．解：∵四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM為旋轉(zhuǎn)角且為90°∴△ADM是以A為旋轉(zhuǎn)中心，∠BAD為旋轉(zhuǎn)角由△ABK旋轉(zhuǎn)而成的∴BK=DM五、歸納小結(jié)〔學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評〕本節(jié)課應(yīng)掌握：1．對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2．對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等及其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P66復(fù)習(xí)穩(wěn)固4綜合運(yùn)用5、6．2．作業(yè)設(shè)計(jì)．作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．△ABC繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到△AB′C′，假設(shè)∠BAC′=130°，∠BAC=80°，那么旋轉(zhuǎn)角等于〔〕A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在圖形旋轉(zhuǎn)中，以下說法錯誤的選項(xiàng)是〔〕A．在圖形上的每一點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等B．圖形上每一點(diǎn)移動的角度相同C．圖形上可能存在不動的點(diǎn)D．圖形上任意兩點(diǎn)的連線與其對應(yīng)兩點(diǎn)的連線長度相等3．如圖，下面的四個圖案中，既包含圖形的旋轉(zhuǎn)，又包含圖形的軸對稱的是