最新高考數學解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列最新高考數學解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列最新高考數學解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列新高考數學解題技巧大揭秘專題19概率、隨機變量及其分布列編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:專題十九概率、隨機變量及其分布列1.某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；(2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)答案：解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得P(X＝1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(X＝＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)，P(X＝＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).X的分布列為X123Peq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,10)X的數學期望為E(X)＝1×eq\f(3,20)＋×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,4)＋×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,10)＝.(2)記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝＋P(X1＝且X2＝1)．由于各顧客的結算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝＋P(X1＝×P(X2＝1)＝eq\f(3,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(3,20)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(3,20)＝eq\f(9,80).故該顧客結算前的等候時間不超過分鐘的概率為eq\f(9,80).結合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變量分布列、期望和方差的求解及其實際應用．本部分復習要從整體上，知識的相關關系上進行．離散型隨機變量問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關系.必備知識互斥事件有一個發生的概率若A、B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(Aeq\x\to( ))＝1.相互獨立事件與n次獨立重復試驗(1)若A1，A2，…，An是相互獨立事件，則P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)如果在一次試驗中事件A發生的概率為p，事件A不發生的概率為1－p，那么在n次獨立重復試驗中事件A發生k次的概率為：Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.離散型隨機變量的分布列、期望與方差(1)主干知識：隨機變量的可能取值，分布列，期望，方差，二項分布，超幾何分布，正態分布．(2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…；③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；④二項分布：ξ～B(n，p)，則P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．正態分布(1)若X服從參數為μ和σ2的正態分布，則可表示為X～N(μ，σ2)．(2)N(μ，σ2)的分布密度曲線關于直線x＝μ對稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1.(3)當X～N(μ，σ2)時，＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)．以上三個概率值具有重要的應用，要熟記，不可混用．必備方法1．在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關的概率值進行計算的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重復試驗概型，就把這部分歸結為用獨立重復試驗概型，用獨立重復試驗概型的概率計算公式解答．2．相當一類概率應用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景后得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質的因素去除，抓住問題的本質．3．求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據數學期望和方差的公式計算．

eq\a\vs4\al\co1(互斥事件與相互獨立事件的概率)互斥事件、相互獨立事件的概率在求隨機變量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多來源于生活，考查閱讀理解能力及對概率知識的應用能力．【例1】某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如下：辦理業務所需的時間/分12345頻率從第一個顧客開始辦理業務時計時．(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)第三個顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第一個顧客需1分鐘，第二個顧客需3分鐘；第一個顧客需3分鐘，第二個顧客需1分鐘；兩個顧客都需要2分鐘．(2)①找出第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數X的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；②求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解．解設Y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務”，則事件A對應三種情形：①第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業務所需的時間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)法一X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對應第一個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1對應第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業務所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X的所有可能取值為0,1,2.X＝0對應第一個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.在概率的計算中，一般是根據隨機事件的含義，把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然后根據相應的概率公式進行計算．【突破訓練1】甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．解記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4.(1)記A表示事件：再賽2局結束比賽．A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比賽結果相互獨立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比賽結果相互獨立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.eq\a\vs4\al\co1(獨立重復試驗與二項分布)以實際生活或生產為背景來考查二項分布是高考的“永久”熱點，難點是透過問題的實際背景發現n次獨立重復試驗模型及二項分布，準確把握獨立重復試驗的特點是解答二項分布問題的關鍵．【例2】現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ＝|X－Y|.求隨機變量ξ的分布列與數學期望E(ξ)．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)利用二項分布的概率公式求解；(2)利用二項分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數學期望．解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,9).所以，這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)∴ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①是否為n次獨立重復試驗；②隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數．(2)在n次獨立重復試驗中，恰好發生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.【突破訓練2】某公司擬資助三位大學生自主創業，現聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創業方案進行評審．假設評審結果為“支持”或“不支持”的概率都是eq\f(1,2).若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創業資助；若只獲得一個“支持”給予5萬元的資助；若未能獲得“支持”，則不予資助，求：(1)該公司的資助總額為零的概率；(2)該公司的資助總額超過15萬元的概率．解(1)設A表示“資助總額為零”這個事件，則P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(1,64).(2)設B表示“資助總額超過15萬元”這個事件，則P(B)＝15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(11,32).

eq\a\vs4\al\co1(離散型隨機變量的分布列、期望)與方差以考生比較熟悉的實際應用問題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨立事件及獨立重復事件等基礎知識，考查對隨機變量的識別及概率計算的能力．【例3】某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率．(ⅰ)若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數學期望及方差；(ⅱ)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝請說明理由．[審題視點][聽課記錄][審題視點](1)根據日需求量分類求出函數解析式；(2)(ⅰ)根據當天的需求量，寫出相應的利潤，列出分布列，求出數學期望和方差．(ⅱ)比較兩種情況的方差或數學期望即可．解(1)當日需求量n≥16時，利潤y＝80.當日需求量n＜16時，利潤y＝10n－80.所以y關于n的函數解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80，n＜16，,80，n≥16))(n∈N)．(2)(ⅰ)X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝，P(X＝70)＝，P(X＝80)＝.X的分布列為X607080PX的數學期望為E(X)＝60×＋70×＋80×＝76.X的方差為D(X)＝(60－76)2×＋(70－76)2×＋(80－76)2×＝44.(ⅱ)答案一：花店一天應購進16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585PY的數學期望為E(Y)＝55×＋65×＋75×＋85×＝.Y的方差為D(Y)＝(55－2×＋(65－2×＋(75－2×＋(85－2×＝.由以上的計算結果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小．另外，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應購進16枝玫瑰花．答案二：花店一天應購進17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585PY的數學期望為E(Y)＝55×＋65×＋75×＋85×＝.由以上的計算結果可以看出，E(X)＜E(Y)，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤．故花店一天應購進17枝玫瑰花．(1)求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率公式求概率．(2)求隨機變量期望與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列．若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解．【突破訓練3】根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為.設各車主購買保險相互獨立．(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數．求X的期望．解記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買．(1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－＝，X～B(100,，即X服從二項分布，所以期望E(X)＝100×＝20.二項展開式的通項與二項分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態，即A與eq\x\to(A)，每次試驗中P(A)＝p＞0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗．在n次獨立重復試驗中，每次試驗事件A發生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(eq\x\to(A))＝1－p＝q.由于試驗的獨立性，n次試驗中，事件A在某指定的k次發生，而在其余n－k次不發生的概率為pkqn－k.而在n次試驗中，事件A恰好發生k(0≤k≤n)次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2，…，n.它恰好是(q＋p)n的二項展開式中的第k＋1項．【示例】某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數學期望E(ξ)．[滿分解答](1)設“至少有一個系統不發生故障”為事件C，那么1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,10)·p＝eq\f(49,50)，解得p＝eq\f(1,5).(4分)(2)由題意，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\