第2講函數與方程思想1.函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得方程的思想，就是從問題的數量關系入手分析數學問題中的等量關系,從而建立方程或方程組或者構造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題，從而使問題獲得解決.第2講函數與方程思想1方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數

y=f(x)，當y=0時，就轉化為方程f(x)=0，也可以把函數式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函數與方程這種相互轉化的關系十分重要.函數與不等式也可以相互轉化,對于函數y=f(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數的圖象與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.2.函數與方程思想一直是數學最本質的思想之一，是高中數學的一條重要主線，新課標內容中不僅沒有淡化這一傳統，而且還有加強的趨勢，這從考試說明中很容易看出來.方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數23.備考中要熟練掌握一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體性質與圖象特征，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件，迅速構造出有關的函數解析式，并能恰當使用其性質或圖象，順利解決問題.4.函數與方程思想的應用涉及的知識點較多，應用起來具有一定的創(chuàng)造性，更能體現考生的能力水平，是考查創(chuàng)新實踐能力的良好載體和首選載體，另外它對考生的理解能力，應用數學知識的能力，以及數學思維能力等都有較高層次要求，備考過程中要加強訓練.3.備考中要熟練掌握一次函數、二次函數、反比例3【例1】（2009·江蘇調研）已知命題“在等差數列{an}中，若3a3+a9+a()=30，則S13=78”為真命題，由于印刷問題，括號內的數模糊不清，可以推得其中的數為

.分析由S13=78，可得關于a1與d的方程,設括號內數為x,可得關于a1，d的方程，聯立可解得x=17.解析設等差數列{an}公差為d,首項為a1,括號內為x,依題意有：17174探究拓展用方程的思想建立關于基本量的等式，通過解方程（組），使問題得以解決，是處理數列問題的基本方法與思路.數列中基本量一般指首項a1、公差d、公比q、項數n、第n項an、前n項和Sn,關聯式為an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,方程思想的應用，使各基本量之間關系表現的形象生動，備考者要細細體會，牢固掌握.探究拓展用方程的思想建立關于基本量的等5變式訓練1若復數z滿足條件（1+i）z=1-i，則z=

.解析設z=a+bi(a,b∈R),則(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,

a-b=1

a+b=-1，-ia=0b=-1,得∴z=-i變式訓練1若復數z滿足條件（1+i）z=1-i，則z6【例2】（2009·南京調研）如圖所示，

半圓的直徑AB=2，O為圓心，C是半

圓上不同于A，B的任意一點.若P為半徑OC上的動點，則（PA+PB）·PC的最小值是

.解析設PC長為x(0≤x≤1)，則PO長為1-x,依題意，O為AB中點，所以問題轉化為求函數t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值問題.【例2】（2009·南京調研）如圖所示，

半圓的直徑AB7

探究拓展將題設條件恰當轉化，有時可轉化為函數問題，借助函數相關知識，使問題順利解決.其中要特別注意函數所依賴的未知數的設立及其取值范圍的確定，不同的量作未知數，所得的函數解析式不同，自變量的取值范圍不同，解決問題的過程繁簡程度也不同，這就要求備考者在備考中要有優(yōu)化解題過程的意識.答案答案8

變式訓練2解

變式訓練29【例3】（2008·南京調研）已知數列{an}是公差為d的等差數列，它的前n項和為Sn，（1）求公差d的值；（2）若求數列{bn}中的最大項和最小項的值；（3）若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.解

（1）∵S4=2S2+4，

【例3】（2008·南京調研）已知數列{an}是公差為d10函數與方程思想優(yōu)秀課件111∵對任意的n∈N*，都有bn≤b8,∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6.∴a1的取值范圍是（-7，-6）.探究拓展解決數列問題，似乎永遠離不了函數與方程思想，因為數列實質是特殊的函數，回歸函數后，便于使用函數的性質與圖象等工具解決數列問題，從本例中可見一斑.函數的單調性結合定義在正自然數集上的數列，便確定了最大項與最小項，若作出函數圖象，則使結論更加明顯.因此，可以說“學數列離不了函數”.數列基本量間的關系是靠方程維系的，基本量間的互求當然離不了方程(組)的建立，如本例第(1)問.∵對任意的n∈N*，都有bn≤b8,12

變式訓練3(n∈N*)，則數列{an}的最大項是第

項.解析12和13變式訓練3(n∈N*)13【例4】（2009·通州第四次調研）某廠家擬在2009年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m

(m≥0)萬元滿足(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量是1萬件.已知2009年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）.（1）將2009年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；【例4】（2009·通州第四次調研）某廠家擬在200914（2）該廠家2009年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解（1）由題意可知，當m=0時，x=1,

（2）該廠家2009年的促銷費用投入多少萬元時，15

即m=3時，ymax=21.答該廠家2009年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.探究拓展(1)解決實際應用問題的關鍵是對問題實質的把握，通過對問題本質的分析研究，建立相應恰當的函數模型（或方程），把實際問題轉化為數學問題處理.(2)解決實際問題不論建立怎樣的數學模型，不要忘記將問題回歸到原問題上去，應保證答案結果符合實際意義.

16

變式訓練4（2009·揚州市五月模擬）諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一次，把獎金總金額平均分成6份，獎勵在6項（物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫(yī)學、和平）為人類作出了最有益貢獻的人.每年發(fā)放獎金的總金額是在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎金數逐年遞增.假設基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額約為19800萬美元.設f(x)表示為第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)獎后的基金總額（1999年記為f（1））.（1）用f(1)表示f(2)與f(3),并根據所求結果歸納出函數f(x)的表達式；變式訓練4（2009·揚州市五月模擬）諾貝爾獎17（2）試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由.（參考數據：1.062410=1.83，1.031210=1.36）解（1）由題意知：

f(2)=f(1)·（1+6.24%）-·f（1）·6.24%=

f（1）·（1+3.12%），一般地：f（3）=f（2）·（1+6.24%）-·

f（2）·6.24%=f（1）·(1+3.12%)2,∴f（x）=19800·（1+3.12%）x-1（x∈N*）.（2）試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞18（2）2008年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為：

f(10)=19800·(1+3.12%)9=26107，2009年度諾貝爾獎各項獎金額為與150萬美元相比少了14萬美元.答新聞“2009年度諾貝爾獎各項資金高達150萬美元”不真，是假新聞.函數與方程思想優(yōu)秀課件119規(guī)律方法總結

1.函數與方程兩種思想是密切相關的，函數問題可轉化為方程問題來解決；方程問題也可以用函數思想來處理.如求函數y=f(x)的零點，就是解方程

f(x)=0；解不等式f(x)>0（或f(x)<0），就是求函數y=f(x)值為正(負)時,所對應的自變量x的區(qū)間.2.函數與方程思想的應用概括地講，一是構建函數與方程，二是應用函數與方程的性質思考問題.含有一個變量的等式，就是方程，含有多個變量的等式可理解為方程，也可轉化為函數.理解為方程就是要考慮有解的條件，及解方程過程的合理性；理解為函數，就在于確定解析式與定義域.規(guī)律方法總結

1.函數與方程兩種思想是密切相關的，函數問題可203.構造函數解決數學問題，是函數思想應用的較高境界，因為這種“構造”帶有一定的“創(chuàng)造”性，事后看起來合理自然，其背后是構造者精心構思、綜合多種知識的能力和匠心獨運的結果.備考過程中，要不斷總結歸納用函數的觀點和方法分析與解決常見數學問題的方法技巧，自覺地充分合理地運用函數與方程的思想，提高數學意識和數學思維的能力.只有平時多加強訓練并注意總結積累，才能不斷提高能力，解題時才能得心應手、運用自如.3.構造函數解決數學問題，是函數思想應用的較高214.可以從以下幾個方面思考使用函數與方程思想(1)實際應用題中，建立適當的數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式知識解答，或依據題中的等量關系列方程（組），通過解方程（組）使問題得以解決.(2)將函數解析式轉化為方程（注意轉化后未知數的范圍仍服從于原自變量與函數值的取值范圍），利用方程有解的條件解決有關問題.(3)將方程中（也可能是含有多個變量的數學問題中）某個合適的未知可變量作為主變量，構造出恰當的函數解析式，揭示出其中的函數關系式，依據函數性質解決問題.4.可以從以下幾個方面思考使用函數與方程思想22(4)數列是特殊的函數，是定義在正自然數集（或其子集）上的函數，數列的通項公式，前n項和公式都可以看成是關于n的函數.數列問題完全可以用函數方法解決.(5)對不等式解集的研究，可以構造出函數，轉化為函數值域限定問題處理.(6)直接研究具體函數，求解函數性質問題，如極值、最值、單調區(qū)間、周期性等.(4)數列是特殊的函數，是定義在正自然數集（或23一、填空題1.（2009·金陵中學三模）已知等差數列{an}滿足：

a1=-8,a2=-6.若將a1,a4,a5都加上同一個數，所得的三個數依次成等比數列，則所加的這個數為

.

解析公差d=a2-a1=2,a4=a1+3d=-2,

a5=a1+4d=0.設同加上x合乎題意，則(a4+x)2=(a1+x)(a5+x),即(-2+x)2=(-8+x)·（0+x），解得x=-1.-1-1242.(2009·南京調研)已知變量x、y滿足則z=2x+y的最大值為

.解析依據約束條件畫出可行域，由目標函數

z=2x+y得平移直線斜率為-2，在可行域內平移直線

y=-2x+z,且最大截距對應z取最大值，可得最優(yōu)解是（3，3），zmax=9.92.(2009·南京調研)已知變量x、y滿足9253.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的實數解的個數為

.解析方程可變形為構造函數并分別作出它們的圖象，易知有2個交點，所以方程有2個實數解.23.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的實數解的個數為2264.（2008·揚州模擬改編）對任意函數

f(x),x∈D,可按圖構造一個數列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數據x0∈D,經數列發(fā)生器輸出

②若x1D,則數列發(fā)生器結束工作；若x1∈D,則將x1反饋回輸入端，再輸出

x2=f(x1),并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現定義若要數列發(fā)生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x0的值為

.x1=f(x0);4.（2008·揚州模擬改編）對任意函數x1=f(x0);27解析

∴x=1或x=2.故當x0=1時，xn=1；當x0=2時，xn=2(n∈N*).答案1或2解析285.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為

.

解析由題設令x=1,15.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a296.（2009·通州五月查漏補缺卷）已知兩個不共線向量的夾角為，且若點M在直線OB上，且的最小值為則的值為

.

解析

①當點M在射線OB上時，

依二次函數知識可知：6.（2009·通州五月查漏補缺卷）已知兩個不30答案

注意：計論點M與射線OB的位置關系是正確解題的關鍵.答案注意：計論點M與射線OB的位置關系是正確解題31二、解答題7.已知關于n的不等式對于一切大于1的正整數n都成立，試求實數a的取值范圍.解

∴f(n)是關于n的遞增函數，二、解答題32函數與方程思想優(yōu)秀課件1338.已知橢圓方程為在橢圓上是否存在點

P（x,y）到定點A（a,0）(其中0<a<3)的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及P點坐標，若不存在，請給予證明.

解設存在P（x,y）滿足題設條件，∴|AP|2=(x-a)2+y2，

8.已知橢圓方程為在橢圓上是否存在點34依題意(3-a)2=1,∴a=2.此時P點的坐標是（3，0），故當a=2時，存在這樣的點P滿足條件，P點坐標為（3，0）.函數與方程思想優(yōu)秀課件1359.（2009·揚州中學調研）某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求AB至少長2.8m,C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5m，∠BCD=60°，已知建造支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計

AB，CD的長，可使建造這個支架的成本最低？解設BC=am（a≥14）,CD=bm.連結BD.9.（2009·揚州中學調研）某建筑的金36答當AB=3m，CD=4m時，建造這個支架的成本最低.答當AB=3m，CD=4m時，建造這個支架的成本最低3710.（2009·淮安市五月調研）已知函數f(x)=lnx-

x+1,x∈(0,+∞).（1）求f(x）的單調區(qū)間和極值；（2）設a≥1,函數g(x)=x2-3ax+2a2-5,若對于任意

x0∈(0,1),總存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范圍；（3）對任意x∈(0,+∞)，求證：（1）解

∴當x>1時，f′(x)<0；當0<x<1時，f′(x)>0.∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），10.（2009·淮安市五月調研）已知函數f(x)=lnx38單調遞減區(qū)間為（1，+∞），極大值為f(1)=0，無極小值.（2）解∵g′(x)=2x-3a(a≥1),∴當x∈(0,1)時,g′(x)=2x-3a<0,g(x)單調遞減，此時g(x)值域為（2a2-3a-4,2a2-5）.由（1）得，當x∈(0,1)時，f(x)值域為（-∞，0），由題意可得（3）證明∵x>0,∴t>1,原不等式等價于單調遞減區(qū)間為（1，+∞），極大值為f(1)=0，39由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上單調遞減，∴f(t)<f(1)=0,即lnt<t-1,

返回由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上單調40

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經一去不復返。聰明的人是考慮現在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學家培根]99.真正的發(fā)現之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發(fā)生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們如此汲汲于名利，如果一個人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應該最擔心的也是時間；因為沒有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區(qū)別在于：自認最快樂的人實際上就是最快樂的，但自認為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發(fā)之際，往往能輕易解決從前認為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領域里往上攀爬，卻在抵達最高處的同時，發(fā)現自己爬錯了墻頭。－－[坎伯]112.「偉大」這個名詞未必非出現在規(guī)模很大的事情不可；生活中微小之處，照樣可以偉大。――[布魯克斯]113.人生的目的有二：先是獲得你想要的；然后是享受你所獲得的。只有最明智的人類做到第二點。――[羅根·皮沙爾·史密斯]114.要經常聽.時常想.時時學習，才是真正的生活方式。對任何事既不抱希望，也不肯學習的人，沒有生存的資格。――[阿薩·赫爾帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能夠隨心所欲地去思考.去感覺.去行動的自由。――[威廉·海茲利特]116.昨天是張退票的支票，明天是張信用卡，只有今天才是現金；要善加利用。――[凱·里昂]117.所有的財富都是建立在健康之上。浪費金錢是愚蠢的事，浪費健康則是二級的謀殺罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰(zhàn)自己的極限固然是令人激奮的經驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。――[邁可·漢默]119.進步不是一條筆直的過程，而是螺旋形的路徑，時而前進，時而折回，停滯后又前進，有失有得，有付出也有收獲。――[奧古斯汀]120.無論那個時代，能量之所以能夠帶來奇跡，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。無論何處，活力皆是所謂“人格力量”的原動力，也是讓一切偉大行動得以持續(xù)的力量。――[史邁爾斯]121.有兩種人是沒有什么價值可言的：一種人無法做被吩咐去做的事，另一種人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.對于不會利用機會的人而言，機會就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成為不會孵化的蛋。――[喬治桑]123.未來不是固定在那里等你趨近的，而是要靠你創(chuàng)造。未來的路不會靜待被發(fā)現，而是需要開拓，開路的過程，便同時改變了你和未來。――[約翰·夏爾]124.一個人的年紀就像他的鞋子的大小那樣不重要。如果他對生活的興趣不受到傷害，如果他很慈悲，如果時間使他成熟而沒有了偏見。――[道格拉斯·米爾多]125.大凡宇宙萬物，都存在著正、反兩面，所以要養(yǎng)成由后面.里面，甚至是由相反的一面，來觀看事物的態(tài)度――。[老子]126.在寒冷中顫抖過的人倍覺太陽的溫暖，經歷過各種人生煩惱的人，才懂得生命的珍貴。――[懷特曼]127.一般的偉人總是讓身邊的人感到渺??；但真正的偉人卻能讓身邊的人認為自己很偉大。――[G.K.Chesteron]128.醫(yī)生知道的事如此的少，他們的收費卻是如此的高。――[馬克吐溫]129.問題不在于：一個人能夠輕蔑、藐視或批評什么，而是在于：他能夠喜愛、看重以及欣賞什么。――[約翰·魯斯金]函數與方程思想優(yōu)秀課件141第2講函數與方程思想1.函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得方程的思想，就是從問題的數量關系入手分析數學問題中的等量關系,從而建立方程或方程組或者構造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題，從而使問題獲得解決.第2講函數與方程思想42方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數

y=f(x)，當y=0時，就轉化為方程f(x)=0，也可以把函數式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函數與方程這種相互轉化的關系十分重要.函數與不等式也可以相互轉化,對于函數y=f(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數的圖象與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.2.函數與方程思想一直是數學最本質的思想之一，是高中數學的一條重要主線，新課標內容中不僅沒有淡化這一傳統，而且還有加強的趨勢，這從考試說明中很容易看出來.方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數433.備考中要熟練掌握一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體性質與圖象特征，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件，迅速構造出有關的函數解析式，并能恰當使用其性質或圖象，順利解決問題.4.函數與方程思想的應用涉及的知識點較多，應用起來具有一定的創(chuàng)造性，更能體現考生的能力水平，是考查創(chuàng)新實踐能力的良好載體和首選載體，另外它對考生的理解能力，應用數學知識的能力，以及數學思維能力等都有較高層次要求，備考過程中要加強訓練.3.備考中要熟練掌握一次函數、二次函數、反比例44【例1】（2009·江蘇調研）已知命題“在等差數列{an}中，若3a3+a9+a()=30，則S13=78”為真命題，由于印刷問題，括號內的數模糊不清，可以推得其中的數為

.分析由S13=78，可得關于a1與d的方程,設括號內數為x,可得關于a1，d的方程，聯立可解得x=17.解析設等差數列{an}公差為d,首項為a1,括號內為x,依題意有：171745探究拓展用方程的思想建立關于基本量的等式，通過解方程（組），使問題得以解決，是處理數列問題的基本方法與思路.數列中基本量一般指首項a1、公差d、公比q、項數n、第n項an、前n項和Sn,關聯式為an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,方程思想的應用，使各基本量之間關系表現的形象生動，備考者要細細體會，牢固掌握.探究拓展用方程的思想建立關于基本量的等46變式訓練1若復數z滿足條件（1+i）z=1-i，則z=

.解析設z=a+bi(a,b∈R),則(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,

a-b=1

a+b=-1，-ia=0b=-1,得∴z=-i變式訓練1若復數z滿足條件（1+i）z=1-i，則z47【例2】（2009·南京調研）如圖所示，

半圓的直徑AB=2，O為圓心，C是半

圓上不同于A，B的任意一點.若P為半徑OC上的動點，則（PA+PB）·PC的最小值是

.解析設PC長為x(0≤x≤1)，則PO長為1-x,依題意，O為AB中點，所以問題轉化為求函數t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值問題.【例2】（2009·南京調研）如圖所示，

半圓的直徑AB48

探究拓展將題設條件恰當轉化，有時可轉化為函數問題，借助函數相關知識，使問題順利解決.其中要特別注意函數所依賴的未知數的設立及其取值范圍的確定，不同的量作未知數，所得的函數解析式不同，自變量的取值范圍不同，解決問題的過程繁簡程度也不同，這就要求備考者在備考中要有優(yōu)化解題過程的意識.答案答案49

變式訓練2解

變式訓練250【例3】（2008·南京調研）已知數列{an}是公差為d的等差數列，它的前n項和為Sn，（1）求公差d的值；（2）若求數列{bn}中的最大項和最小項的值；（3）若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.解

（1）∵S4=2S2+4，

【例3】（2008·南京調研）已知數列{an}是公差為d51函數與方程思想優(yōu)秀課件152∵對任意的n∈N*，都有bn≤b8,∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6.∴a1的取值范圍是（-7，-6）.探究拓展解決數列問題，似乎永遠離不了函數與方程思想，因為數列實質是特殊的函數，回歸函數后，便于使用函數的性質與圖象等工具解決數列問題，從本例中可見一斑.函數的單調性結合定義在正自然數集上的數列，便確定了最大項與最小項，若作出函數圖象，則使結論更加明顯.因此，可以說“學數列離不了函數”.數列基本量間的關系是靠方程維系的，基本量間的互求當然離不了方程(組)的建立，如本例第(1)問.∵對任意的n∈N*，都有bn≤b8,53

變式訓練3(n∈N*)，則數列{an}的最大項是第

項.解析12和13變式訓練3(n∈N*)54【例4】（2009·通州第四次調研）某廠家擬在2009年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m

(m≥0)萬元滿足(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量是1萬件.已知2009年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）.（1）將2009年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；【例4】（2009·通州第四次調研）某廠家擬在200955（2）該廠家2009年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解（1）由題意可知，當m=0時，x=1,

（2）該廠家2009年的促銷費用投入多少萬元時，56

即m=3時，ymax=21.答該廠家2009年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.探究拓展(1)解決實際應用問題的關鍵是對問題實質的把握，通過對問題本質的分析研究，建立相應恰當的函數模型（或方程），把實際問題轉化為數學問題處理.(2)解決實際問題不論建立怎樣的數學模型，不要忘記將問題回歸到原問題上去，應保證答案結果符合實際意義.

57

變式訓練4（2009·揚州市五月模擬）諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一次，把獎金總金額平均分成6份，獎勵在6項（物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫(yī)學、和平）為人類作出了最有益貢獻的人.每年發(fā)放獎金的總金額是在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎金數逐年遞增.假設基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額約為19800萬美元.設f(x)表示為第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)獎后的基金總額（1999年記為f（1））.（1）用f(1)表示f(2)與f(3),并根據所求結果歸納出函數f(x)的表達式；變式訓練4（2009·揚州市五月模擬）諾貝爾獎58（2）試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由.（參考數據：1.062410=1.83，1.031210=1.36）解（1）由題意知：

f(2)=f(1)·（1+6.24%）-·f（1）·6.24%=

f（1）·（1+3.12%），一般地：f（3）=f（2）·（1+6.24%）-·

f（2）·6.24%=f（1）·(1+3.12%)2,∴f（x）=19800·（1+3.12%）x-1（x∈N*）.（2）試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞59（2）2008年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為：

f(10)=19800·(1+3.12%)9=26107，2009年度諾貝爾獎各項獎金額為與150萬美元相比少了14萬美元.答新聞“2009年度諾貝爾獎各項資金高達150萬美元”不真，是假新聞.函數與方程思想優(yōu)秀課件160規(guī)律方法總結

1.函數與方程兩種思想是密切相關的，函數問題可轉化為方程問題來解決；方程問題也可以用函數思想來處理.如求函數y=f(x)的零點，就是解方程

f(x)=0；解不等式f(x)>0（或f(x)<0），就是求函數y=f(x)值為正(負)時,所對應的自變量x的區(qū)間.2.函數與方程思想的應用概括地講，一是構建函數與方程，二是應用函數與方程的性質思考問題.含有一個變量的等式，就是方程，含有多個變量的等式可理解為方程，也可轉化為函數.理解為方程就是要考慮有解的條件，及解方程過程的合理性；理解為函數，就在于確定解析式與定義域.規(guī)律方法總結

1.函數與方程兩種思想是密切相關的，函數問題可613.構造函數解決數學問題，是函數思想應用的較高境界，因為這種“構造”帶有一定的“創(chuàng)造”性，事后看起來合理自然，其背后是構造者精心構思、綜合多種知識的能力和匠心獨運的結果.備考過程中，要不斷總結歸納用函數的觀點和方法分析與解決常見數學問題的方法技巧，自覺地充分合理地運用函數與方程的思想，提高數學意識和數學思維的能力.只有平時多加強訓練并注意總結積累，才能不斷提高能力，解題時才能得心應手、運用自如.3.構造函數解決數學問題，是函數思想應用的較高624.可以從以下幾個方面思考使用函數與方程思想(1)實際應用題中，建立適當的數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式知識解答，或依據題中的等量關系列方程（組），通過解方程（組）使問題得以解決.(2)將函數解析式轉化為方程（注意轉化后未知數的范圍仍服從于原自變量與函數值的取值范圍），利用方程有解的條件解決有關問題.(3)將方程中（也可能是含有多個變量的數學問題中）某個合適的未知可變量作為主變量，構造出恰當的函數解析式，揭示出其中的函數關系式，依據函數性質解決問題.4.可以從以下幾個方面思考使用函數與方程思想63(4)數列是特殊的函數，是定義在正自然數集（或其子集）上的函數，數列的通項公式，前n項和公式都可以看成是關于n的函數.數列問題完全可以用函數方法解決.(5)對不等式解集的研究，可以構造出函數，轉化為函數值域限定問題處理.(6)直接研究具體函數，求解函數性質問題，如極值、最值、單調區(qū)間、周期性等.(4)數列是特殊的函數，是定義在正自然數集（或64一、填空題1.（2009·金陵中學三模）已知等差數列{an}滿足：

a1=-8,a2=-6.若將a1,a4,a5都加上同一個數，所得的三個數依次成等比數列，則所加的這個數為

.

解析公差d=a2-a1=2,a4=a1+3d=-2,

a5=a1+4d=0.設同加上x合乎題意，則(a4+x)2=(a1+x)(a5+x),即(-2+x)2=(-8+x)·（0+x），解得x=-1.-1-1652.(2009·南京調研)已知變量x、y滿足則z=2x+y的最大值為

.解析依據約束條件畫出可行域，由目標函數

z=2x+y得平移直線斜率為-2，在可行域內平移直線

y=-2x+z,且最大截距對應z取最大值，可得最優(yōu)解是（3，3），zmax=9.92.(2009·南京調研)已知變量x、y滿足9663.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的實數解的個數為

.解析方程可變形為構造函數并分別作出它們的圖象，易知有2個交點，所以方程有2個實數解.23.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的實數解的個數為2674.（2008·揚州模擬改編）對任意函數

f(x),x∈D,可按圖構造一個數列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數據x0∈D,經數列發(fā)生器輸出

②若x1D,則數列發(fā)生器結束工作；若x1∈D,則將x1反饋回輸入端，再輸出

x2=f(x1),并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現定義若要數列發(fā)生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x0的值為

.x1=f(x0);4.（2008·揚州模擬改編）對任意函數x1=f(x0);68解析

∴x=1或x=2.故當x0=1時，xn=1；當x0=2時，xn=2(n∈N*).答案1或2解析695.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為

.

解析由題設令x=1,15.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a706.（2009·通州五月查漏補缺卷）已知兩個不共線向量的夾角為，且若點M在直線OB上，且的最小值為則的值為

.

解析

①當點M在射線OB上時，

依二次函數知識可知：6.（2009·通州五月查漏補缺卷）已知兩個不71答案

注意：計論點M與射線OB的位置關系是正確解題的關鍵.答案注意：計論點M與射線OB的位置關系是正確解題72二、解答題7.已知關于n的不等式對于一切大于1的正整數n都成立，試求實數a的取值范圍.解

∴f(n)是關于n的遞增函數，二、解答題73函數與方程思想優(yōu)秀課件1748.已知橢圓方程為在橢圓上是否存在點

P（x,y）到定點A（a,0）(其中0<a<3)的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及P點坐標，若不存在，請給予證明.

解設存在P（x,y）滿足題設條件，∴|AP|2=(x-a)2+y2，

8.已知橢圓方程為在橢圓上是否存在點75依題意(3-a)2=1,∴a=2.此時P點的坐標是（3，0），故當a=2時，存在這樣的點P滿足條件，P點坐標為（3，0）.函數與方程思想優(yōu)秀課件1769.（2009·揚州中學調研）某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求AB至少長2.8m,C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5m，∠BCD=60°，已知建造支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計

AB，CD的長，可使建造這個支架的成本最低？解設BC=am（a≥14）,CD=bm.連結BD.9.（2009·揚州中學調研）某建筑的金77答當AB=3m，CD=4m時，建造這個支架的成本最低.答當AB=3m，CD=4m時，建造這個支架的成本最低7810.（2009·淮安市五月調研）已知函數f(x)=lnx-

x+1,x∈(0,+∞).（1）求f(x）的單調區(qū)間和極值；（2）設a≥1,函數g(x)=x2-3ax+2a2-5,若對于任意

x0∈(0,1),總存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范圍；（3）對任意x∈(0,+∞)，求證：（1）解

∴當x>1時，f′(x)<0；當0<x<1時，f′(x)>0.∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），10.（2009·淮安市五月調研）已知函數f(x)=lnx79單調遞減區(qū)間為（1，+∞），極大值為f(1)=0，無極小值.（2）解∵g′(x)=2x-3a(a≥1),∴當x∈(0,1)時,g′(x)=2x-3a<0,g(x)單調遞減，此時g(x)值域為（2a2-3a-4,2a2-5）.由（1）得，當x∈(0,1)時，f(x)值域為（-∞，0），由題意可得（3）證明∵x>0,∴t>1,原不等式等價于單調遞減區(qū)間為（1，+∞），極大值為f(1)=0，80由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上單調遞減，∴f(t)<f(1)=0,即lnt<t-1,

返回由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上單調81

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創(chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁