第講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用[教材閱讀指導(dǎo)](對(duì)應(yīng)人教版新教材選擇性必修第二冊(cè)頁(yè)碼及相關(guān)問(wèn)題)P7閱讀“洛倫茲力的方向”這一部分內(nèi)容，體會(huì)洛倫茲力既與速度垂直，又與磁場(chǎng)垂直，即垂直于速度和磁場(chǎng)所確定的平面。思考洛倫茲力做功有什么特點(diǎn)？提示：因洛倫茲力總與速度垂直，故總不做功。P8[思考與討論]，洛倫茲力與安培力是什么關(guān)系？提示：導(dǎo)線中運(yùn)動(dòng)電荷所受洛倫茲力的矢量和在宏觀上表現(xiàn)為安培力。P9[思考與討論]第3問(wèn)。提示：偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)先垂直紙面向里減小至零，再?gòu)牧汩_(kāi)始垂直紙面向外增大。P12閱讀“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”這一部分內(nèi)容，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要滿足什么條件？提示：磁場(chǎng)必須是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子初速度方向與磁場(chǎng)垂直。P12～14閱讀“帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期”這一部分內(nèi)容，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的速度越大，周期越小嗎？提示：不是，由T＝eq\f(2πm,qB)可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期與速度大小無(wú)關(guān)。P15[練習(xí)與應(yīng)用]T3，怎么確定帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓心？提示：半徑和表示速度的矢量線段(軌跡切線)垂直，兩半徑的交點(diǎn)或半徑與弦的垂直平分線的交點(diǎn)為圓心。物理觀念洛倫茲力、洛倫茲力的方向洛倫茲力公式1.洛倫茲力的定義：eq\x(\s\up1(01))運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力稱為洛倫茲力。2．洛倫茲力的方向(1)用左手定則判定：伸開(kāi)左手，使拇指與其余四個(gè)手指eq\x(\s\up1(02))垂直，并且都與手掌在同一個(gè)平面內(nèi)；讓磁感線從掌心eq\x(\s\up1(03))垂直進(jìn)入，并使四指指向eq\x(\s\up1(04))正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是運(yùn)動(dòng)的eq\x(\s\up1(05))正電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即F垂直于eq\x(\s\up1(06))B和v所決定的平面(注意B和v可以有任意夾角)。由于F始終eq\x(\s\up1(07))垂直于v的方向，故洛倫茲力永不做功。3．洛倫茲力的大小：F＝qvBsinθ，其中θ為電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向之間的夾角。(1)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，F(xiàn)＝qvB。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，F(xiàn)＝0。(3)當(dāng)電荷在磁場(chǎng)中靜止時(shí)，F(xiàn)＝0。物理觀念帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．兩種特殊運(yùn)動(dòng)(1)若v∥B，帶電粒子以入射速度v做eq\x(\s\up1(01))勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)若v⊥B，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做eq\x(\s\up1(02))勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．基本公式向心力公式：qvB＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r。3．導(dǎo)出公式(1)軌道半徑：r＝eq\f(mv,Bq)。(2)周期：T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)。注意：T、f和ω的大小與軌道半徑r和運(yùn)行速率v無(wú)關(guān)，只與磁場(chǎng)的eq\x(\s\up1(03))磁感應(yīng)強(qiáng)度B和粒子的eq\x(\s\up1(04))比荷eq\f(q,m)有關(guān)。比荷eq\f(q,m)相同的帶電粒子，在同樣的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中T、f、ω相同。一堵點(diǎn)疏通1．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定會(huì)受到磁場(chǎng)力的作用。()2．洛倫茲力的方向垂直于B和v決定的平面，洛倫茲力對(duì)帶電粒子永遠(yuǎn)不做功。()3．根據(jù)公式T＝eq\f(2πr,v)，可知帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T與v成反比。()4．用左手定則判斷洛倫茲力方向時(shí)，四指指向電荷的運(yùn)動(dòng)方向。()5．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑與粒子的比荷成正比。()6．當(dāng)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，若v與B夾角為銳角，帶電粒子的軌跡為螺旋線。()答案1.×2.√3.×4.×5.×6.√二對(duì)點(diǎn)激活1．(人教版選擇性必修第二冊(cè)·P10·T2改編)下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是()答案B解析由左手定則知A中力F的方向應(yīng)豎直向上，B中力F的方向應(yīng)豎直向下，C、D中速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行，不受洛倫茲力，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。2．(人教版選擇性必修第二冊(cè)·P11·T3改編)如圖所示，一束質(zhì)量、速度和電荷量不全相等的離子，經(jīng)過(guò)由正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)組成的速度選擇器后，進(jìn)入另一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并分裂為A、B兩束，下列說(shuō)法正確的是()A．組成A束和B束的離子都帶負(fù)電B．組成A束和B束的離子質(zhì)量一定不同C．A束離子的比荷大于B束離子的比荷D．速度選擇器中的磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外答案C解析由左手定則結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的方向知，A、B束離子均帶正電，故A錯(cuò)誤。A、B束離子的速度相同，而A束離子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑較小，由r＝eq\f(mv,Bq)知A束離子的比荷大于B束離子的比荷，而它們的電荷量關(guān)系未知，則無(wú)法判斷離子質(zhì)量關(guān)系，故B錯(cuò)誤，C正確。速度選擇器中A、B束離子所受靜電力向右，所以所受洛倫茲力應(yīng)向左，結(jié)合左手定則可判斷磁場(chǎng)方向應(yīng)垂直于紙面向里，故D錯(cuò)誤。考點(diǎn)1洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用[科學(xué)思維梳理]1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場(chǎng)方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。2．洛倫茲力與靜電力的比較洛倫茲力靜電力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在靜電場(chǎng)中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系一定是F⊥B，F(xiàn)⊥v，且與電荷電性有關(guān)正電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功，也可能不做功力為零時(shí)場(chǎng)的情況F為零，B不一定為零F為零，E一定為零作用效果只改變電荷運(yùn)動(dòng)的速度方向，不改變速度大小既可以改變電荷運(yùn)動(dòng)速度的大小，也可以改變電荷運(yùn)動(dòng)的方向例1如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個(gè)光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與半圓形軌道所在的平面垂直。一個(gè)帶負(fù)電荷的小滑塊由靜止開(kāi)始從半圓形軌道的最高點(diǎn)M滑下到最右端的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度比磁場(chǎng)不存在時(shí)大B．滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的加速度比磁場(chǎng)不存在時(shí)小C．滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力比磁場(chǎng)不存在時(shí)小D．滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場(chǎng)不存在時(shí)相等[答案]D[解析]由于洛倫茲力不做功，故與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度不變，A錯(cuò)誤；滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的加速度a＝eq\f(v2,R)，則與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的加速度不變，B錯(cuò)誤；由左手定則可知，滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力向下，而與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力不變，故對(duì)軌道的壓力變大，C錯(cuò)誤；由于洛倫茲力方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，在任意一點(diǎn)，滑塊經(jīng)過(guò)時(shí)的速度與磁場(chǎng)不存在時(shí)相比均不變，則滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場(chǎng)不存在時(shí)相等，D正確。[關(guān)鍵能力升華]洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練](洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用)(2021·遼寧省高考一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考)如圖所示，真空中豎直放置一長(zhǎng)直細(xì)金屬導(dǎo)線MN，電流向上。空間中做一與導(dǎo)線同軸的半徑為R的柱面。光滑絕緣管ab水平放置，端點(diǎn)a、b分別在柱面上。半徑略小于絕緣管內(nèi)徑的帶正電小球自a點(diǎn)以速度v0向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．小球先加速后減速B．小球受到的洛倫茲力始終為零C．小球在ab中點(diǎn)受到的洛倫茲力為零D．小球受到洛倫茲力時(shí)，洛倫茲力方向向上答案C解析如圖為俯視圖，根據(jù)右手螺旋定則，磁感線如圖中虛線所示，洛倫茲力不做功，小球速率不變，A錯(cuò)誤；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到ab中點(diǎn)時(shí)，小球速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向平行，不受洛倫茲力作用，自a點(diǎn)到ab中點(diǎn)，小球受到的洛倫茲力向下，自ab中點(diǎn)至b點(diǎn)，受到的洛倫茲力向上，C正確，B、D錯(cuò)誤。考點(diǎn)2帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[科學(xué)思維梳理]1．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的解題思路(1)圓心的確定①基本思路：與速度方向垂直的直線和軌跡圓中弦的中垂線一定過(guò)圓心。②兩種常見(jiàn)情形情形一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖a所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。情形二：已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以先通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖b所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。(2)半徑的確定和計(jì)算利用幾何知識(shí)求出該圓的可能半徑(或圓心角)，并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：①粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。②相對(duì)的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定①由偏轉(zhuǎn)角度計(jì)算：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間由下式表示：t＝eq\f(α,360°)Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或t＝\f(α,2π)T))。②由運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)計(jì)算：t＝eq\f(s,v)。2．帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)是指只在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從磁場(chǎng)區(qū)域外垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過(guò)一段圓弧軌跡，然后離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡取決于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小、方向和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)的區(qū)域邊界。常見(jiàn)磁場(chǎng)區(qū)域邊界可分為如下幾種情形：情形一：直線邊界直線邊界磁場(chǎng)又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、乙、丙所示，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)存在臨界條件。解決這類問(wèn)題的“三部曲”：畫(huà)軌跡、找圓心、定半徑。如果粒子從同一直線邊界射入和射出，那么粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界的夾角和射出磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界的夾角相等。情形二：矩形邊界矩形邊界磁場(chǎng)是指分布在矩形范圍內(nèi)的有界磁場(chǎng)，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點(diǎn)射出是常見(jiàn)的臨界情況。解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是把握臨界情況，如圖所示。常見(jiàn)的有如下幾種情況：(設(shè)粒子從ad邊中點(diǎn)e垂直射入)(1)兩個(gè)臨界半徑①?gòu)膁點(diǎn)射出：r1＝eq\f(ad,4)。②從c點(diǎn)射出：req\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r2－\f(ad,2)))2＋ab2。(2)三種情況①r≤r1，粒子從ed段射出。②r1<r≤r2，粒子從cd段射出。③r>r2，粒子從cf段射出(不會(huì)到達(dá)f點(diǎn))。情形三：圓形邊界圓形邊界磁場(chǎng)是指分布在圓形區(qū)域內(nèi)的有界磁場(chǎng)，帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問(wèn)題涉及兩個(gè)圓：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓與磁場(chǎng)區(qū)域的圓，能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力，所以是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)。帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論：(1)徑向進(jìn)出：當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，沿圓形磁場(chǎng)半徑方向射入的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場(chǎng)區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長(zhǎng)線必過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心，如圖1所示。(2)等角進(jìn)出：入射速度方向與過(guò)入射點(diǎn)的磁場(chǎng)圓半徑的夾角等于出射速度方向與過(guò)出射點(diǎn)的磁場(chǎng)圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進(jìn)出是等角進(jìn)出的一種特殊情況(θ＝0°)。(3)點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于磁場(chǎng)區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處的切線方向射出磁場(chǎng)，如圖3所示。(4)平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場(chǎng)，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)從磁場(chǎng)區(qū)域圓周上同一點(diǎn)射出，且磁場(chǎng)區(qū)域圓周上該點(diǎn)的切線與帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向平行，如圖4所示。情形四：四分之一平面邊界四分之一平面邊界磁場(chǎng)是指分布在平面直角坐標(biāo)系中某一象限范圍的有界磁場(chǎng)，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標(biāo)軸相切是常見(jiàn)的臨界情況，如圖所示。解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確粒子射入(射出)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)，及速度方向與坐標(biāo)軸的夾角關(guān)系，然后分析粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P(guān)系求解問(wèn)題。情形五：三角形邊界三角形邊界磁場(chǎng)是指分布在三角形區(qū)域內(nèi)的有界磁場(chǎng)，粒子的軌跡也是一段圓弧，由于三角形有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會(huì)有不同的臨界情境，如圖甲、乙所示。解答該類問(wèn)題主要把握以下兩點(diǎn)：(1)射入磁場(chǎng)的方式①?gòu)哪稠旤c(diǎn)射入。②從某條邊上某點(diǎn)(如中點(diǎn))垂直(或成某一角度)射入。(2)射出點(diǎn)的判斷其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進(jìn)而判定出射點(diǎn)的可能位置。例2(2021·北京高考)如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子在P點(diǎn)以與x軸正方向成60°的方向垂直磁場(chǎng)射入，并恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，OP＝a。不計(jì)重力。根據(jù)上述信息可以得出()A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程B．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率C．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間D．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度[答案]A[解析]粒子恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)，作出軌跡如圖所示，O1為軌跡圓心，由幾何關(guān)系可知OO1＝atan30°＝eq\f(\r(3),3)a，軌跡半徑R＝eq\f(a,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)a，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)a))2＝eq\f(4,3)a2，故A正確；由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，解得帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為v＝eq\f(qBR,m)，軌跡圓的半徑R可求出，但磁感應(yīng)強(qiáng)度B未知且不可求出，則無(wú)法求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率，故B、D錯(cuò)誤；帶電粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為eq\f(2,3)π，周期為T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(\f(2,3)π,2π)T＝eq\f(2πm,3qB)，因磁感應(yīng)強(qiáng)度B未知且不可求出，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)法求出，故C錯(cuò)誤。[關(guān)鍵能力升華]1.帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法2．作帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)需注意的問(wèn)題(1)四個(gè)點(diǎn)：分別是入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直線的交點(diǎn)。(2)六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌道半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。前面四條線構(gòu)成一個(gè)四邊形，后面兩條線為這個(gè)四邊形的對(duì)角線。(3)三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角，其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于弦切角的兩倍。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(雙邊平行直線邊界磁場(chǎng))(2021·海南高三三模)(多選)如圖所示，在坐標(biāo)系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)的寬度為d，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從y軸的某點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。忽略粒子重力。關(guān)于該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()A．它的軌跡半徑為eq\f(2,3)dB．它進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為eq\f(2qBd,3m)C．它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(2πm,3qB)D．它的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\r(3)d答案AB解析粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系有r＋rsin30°＝d，解得r＝eq\f(2,3)d，A正確；由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(2qBd,3m)，B正確；由T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，如圖由幾何關(guān)系知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為240°，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(240°,360°)T＝eq\f(2,3)T＝eq\f(4πm,3qB)，C錯(cuò)誤；粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝－2rcos30°＝－eq\f(2\r(3),3)d，D錯(cuò)誤。2．(圓形邊界磁場(chǎng))(多選)如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是一豎直放置的感光板。從圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn)P垂直磁場(chǎng)正對(duì)著圓心O射入帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m，不考慮粒子重力，關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中通過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也越長(zhǎng)B．出磁場(chǎng)的粒子其出射方向的反向延長(zhǎng)線也一定過(guò)圓心OC．出磁場(chǎng)的粒子一定能垂直打在MN上D．只要速度滿足v＝eq\f(qBR,m)，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上答案BD解析由r＝eq\f(mv,Bq)，taneq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，知粒子在磁場(chǎng)中通過(guò)的弧長(zhǎng)s＝θr＝eq\f(2mv,Bq)arctaneq\f(BqR,mv)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(s,v)＝eq\f(2m,Bq)·arctaneq\f(BqR,mv)，則v越大，s不一定越大，但時(shí)間越短，故A錯(cuò)誤；帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識(shí)可知，對(duì)著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長(zhǎng)線也一定過(guò)圓心，故B正確；速度不同，粒子的軌道半徑不同，則對(duì)著圓心入射的粒子，沿不同的半徑方向射出磁場(chǎng)，即出射后不一定垂直打在MN上，故C錯(cuò)誤；速度滿足v＝eq\f(BqR,m)時(shí)，粒子的軌道半徑為r＝eq\f(mv,Bq)＝R，入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、O點(diǎn)與軌跡的圓心構(gòu)成正方形，粒子出射后一定垂直打在MN板上，故D正確。考點(diǎn)3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題[科學(xué)思維梳理]1．帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b。2．磁場(chǎng)方向不確定形成多解有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定形成多解。如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。3．速度不確定形成多解有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。常有兩種情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它可能穿過(guò)下邊界，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°反向飛出，于是形成了多解。4．運(yùn)動(dòng)的周期性或往復(fù)性形成多解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若因?yàn)榇艌?chǎng)周期性變化、粒子與擋板反復(fù)碰撞或與電場(chǎng)組合等原因而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)具有周期性或往復(fù)性，而形成多解。如圖丁所示。例3(2021·河北省保定市高三一模)如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正三角形ACD是用絕緣材料制成的固定框架，處在垂直框架平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，AD邊的中點(diǎn)有一小孔S。在框架平面內(nèi)垂直AD方向從小孔S射入質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子。已知粒子射入框架時(shí)速率為v，與框架的碰撞為彈性碰撞，粒子重力忽略不計(jì)。(1)若粒子第一次與AC碰撞的位置為AC的中點(diǎn)，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；(2)若此粒子經(jīng)過(guò)與框架的多次碰撞最終能垂直AD方向從小孔S射出，求所有滿足條件的勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和粒子在框架內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。[答案](1)eq\f(2mv,qL)(2)eq\f(mv4n＋2,qL)(n＝0,1,2，…)eq\f(πL6n＋1,v4n＋2)(n＝0,1,2，…)[解析](1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示。設(shè)軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系可知R＝eq\f(L,2)由牛頓第二定律可知qvB＝meq\f(v2,R)聯(lián)立解得B＝eq\f(2mv,qL)。(2)要使粒子最終能垂直AD方向從小孔S射出，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心一定位于△ACD的邊上，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，作出粒子最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，由幾何關(guān)系得eq\f(L,2)＝2nr＋r(n＝0,1,2，…)解得r＝eq\f(L,4n＋2)(n＝0,1,2，…)設(shè)該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，則qvB′＝meq\f(v2,r)解得B′＝eq\f(mv4n＋2,qL)(n＝0,1,2，…)由T＝eq\f(2πr,v)解得T＝eq\f(2πL,v4n＋2)(n＝0,1,2，…)則粒子在框架內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60°,360°)T＋2n\f(T,2)))＝eq\f(T,2)(6n＋1)＝eq\f(πL6n＋1,v4n＋2)(n＝0，1,2，…)。[關(guān)鍵能力升華]求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題的技巧(1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解性形成的原因。(2)作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。(3)若為周期性的多解問(wèn)題，尋找通項(xiàng)式；若是出現(xiàn)幾種周期性解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(速度大小不確定引起多解)(多選)長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是()A．使粒子的速度v<eq\f(Bql,4m)B．使粒子的速度v>eq\f(5Bql,4m)C．使粒子的速度v>eq\f(Bql,m)D．使粒子的速度eq\f(Bql,4m)<v<eq\f(5Bql,4m)答案AB解析如圖所示，若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有req\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1－\f(l,2)))2＋l2，又因?yàn)閞1＝eq\f(mv1,Bq)，解得v1＝eq\f(5Bql,4m)；若粒子剛好打在極板左邊緣，有r2＝eq\f(l,4)＝eq\f(mv2,Bq)，解得v2＝eq\f(Bql,4m)。欲使粒子不打在極板上，應(yīng)使v<eq\f(Bql,4m)或v>eq\f(5Bql,4m)，故A、B正確，C、D錯(cuò)誤。2．(運(yùn)動(dòng)的周期性引起多解)如圖甲所示，M、N為豎直放置且彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示(垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎较?。有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)，已知正離子質(zhì)量為m，電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力。求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小；(2)若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間最短，請(qǐng)畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)軌跡并求出該最短時(shí)間；(3)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0的可能值。答案(1)eq\f(2πm,qT0)(2)軌跡圖見(jiàn)解析T0(3)eq\f(πd,2nT0)(n＝1,2,3，…)解析(1)設(shè)離子的軌道半徑為R，由洛倫茲力提供向心力有：B0qv0＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝eq\f(2πR,v0)由以上兩式得：B0＝eq\f(2πm,qT0)。(2)軌跡如圖，最短時(shí)間tmin＝T0。(3)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子在兩板之間只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期即T0時(shí)，R＝eq\f(d,4)。當(dāng)正離子在兩板之間運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期，即nT0時(shí)，R＝eq\f(d,4n)(n＝1，2,3，…)又B0qv0＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)聯(lián)立得正離子的速度的可能值為v0＝eq\f(B0qR,m)＝eq\f(πd,2nT0)(n＝1,2,3，…)。建模提能4巧用動(dòng)態(tài)圓解磁場(chǎng)中的臨界、極值問(wèn)題帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于受到磁場(chǎng)邊界的約束，經(jīng)常會(huì)考查求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)或最短時(shí)間、粒子運(yùn)動(dòng)區(qū)域等臨界問(wèn)題。對(duì)于這類問(wèn)題，解題思路是：(1)先不考慮磁場(chǎng)邊界，假設(shè)磁場(chǎng)充滿整個(gè)空間，根據(jù)題給條件嘗試畫(huà)出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡圓；(2)結(jié)合磁場(chǎng)邊界找出臨界條件；(3)根據(jù)幾何關(guān)系、運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。根據(jù)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的特點(diǎn)，分析臨界條件的常用技巧有三種：動(dòng)態(tài)圓放縮法、定圓旋轉(zhuǎn)法、平移圓法。1動(dòng)態(tài)圓放縮法適用條件速度方向一定、大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與粒子速度大小有關(guān)軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫(huà)出粒子帶正電的情境)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法【典題例證1】如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度v0射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間；(2)若帶電粒子從ad邊離開(kāi)磁場(chǎng)，求v0的取值范圍。[答案](1)eq\f(143πm,90qB)(2)eq\f(qBl,4m)<v0≤eq\f(5qBl,9m)[解析](1)粒子從ab邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖1所示，有qBv0＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)又T＝eq\f(2πR,v0)解得T＝eq\f(2πm,Bq)又由幾何關(guān)系得θ＝74°，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t＝eq\f(360°－θ,360°)T＝eq\f(143πm,90qB)。(2)當(dāng)粒子軌跡與ad邊相切時(shí)，如圖2所示，設(shè)此時(shí)初速度為v01，軌道半徑為R1，由幾何關(guān)系可得R1＋R1sin37°＝0.4l又qBv01＝eq\f(mv\o\al(2,01),R1)解得v01＝eq\f(qBl,4m)；當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與cd邊相切時(shí)，如圖3所示，設(shè)此時(shí)初速度為v02，軌道半徑為R2，由幾何關(guān)系可得R2＋R2cos37°＝l又qBv02＝eq\f(mv\o\al(2,02),R2)解得v02＝eq\f(5qBl,9m)綜上可得eq\f(qBl,4m)<v0≤eq\f(5qBl,9m)。【名師點(diǎn)睛】帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場(chǎng)某邊界垂直，如圖甲所示。①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界射出磁場(chǎng)區(qū)域；②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從側(cè)面邊界飛出磁場(chǎng)；③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從對(duì)面邊界飛出磁場(chǎng)。(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場(chǎng)某邊界成一夾角，如圖乙所示。①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出磁場(chǎng)；②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從上側(cè)面邊界飛出磁場(chǎng)；③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從右側(cè)面邊界飛出磁場(chǎng)；④當(dāng)粒子速度更大時(shí)，粒子將在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從下側(cè)面邊界飛出磁場(chǎng)。綜合以上分析可知，求解帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍、速度范圍等的問(wèn)題時(shí)，尋找“相切或相交”的臨界點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；另外可知在磁場(chǎng)邊界上還有粒子不能達(dá)到的區(qū)域即“盲區(qū)”。2定圓旋轉(zhuǎn)法適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度大小為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)O為圓心、半徑r＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將半徑為r＝eq\f(mv0,qB)的軌跡圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法【典題例證2】(多選)如圖所示，在熒屏MN上方分布了水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里。距離熒屏d處有一粒子源S，能夠在紙面內(nèi)不斷地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射速度大小為v、電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，不計(jì)粒子的重力，已知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也恰好為d，則()A．粒子能打到熒屏MN上的區(qū)域長(zhǎng)度為2eq\r(3)dB．能打到熒屏MN上最左側(cè)的粒子所用的時(shí)間為eq\f(πd,v)C．粒子從發(fā)射到打到熒屏MN上的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(πd,v)D．同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒屏MN上的最大時(shí)間差為eq\f(7πd,6v)[答案]BD[解析]打在熒屏MN上的粒子軌跡的臨界狀態(tài)如圖1所示，根據(jù)幾何關(guān)系知，帶電粒子能打到熒屏MN上的區(qū)域長(zhǎng)度為：l＝AB＝R＋eq\r(3)R＝(1＋eq\r(3))R＝(1＋eq\r(3))d，故A錯(cuò)誤；由運(yùn)動(dòng)軌跡圖可知，能打到熒屏MN上最左側(cè)的粒子偏轉(zhuǎn)了半個(gè)周期，故所用時(shí)間為：t＝eq\f(1,2)T，又T＝eq\f(2πd,v)，解得：t＝eq\f(πd,v)，故B正確；在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)(優(yōu)弧1)和最短(劣弧2)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，粒子做完整圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πd,v)，由幾何關(guān)系可知，最長(zhǎng)時(shí)間：t1＝eq\f(3,4)T＝eq\f(3πd,2v)，最短時(shí)間：t2＝eq\f(1,6)T＝eq\f(πd,3v)，根據(jù)題意得同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒屏MN上的最大時(shí)間差：Δt＝t1－t2＝eq\f(7πd,6v)，故C錯(cuò)誤，D正確。【名師點(diǎn)睛】(1)解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒子的速度方向，找出半徑方向，同時(shí)由磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫(huà)好軌跡，定好圓心，建立幾何關(guān)系。粒子射出或不射出磁場(chǎng)的臨界狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)邊界相切。(2)要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問(wèn)題更形象、直觀。3平移圓法適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上的帶電粒子，它們進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則運(yùn)動(dòng)半徑r＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線界定方法將半徑為r＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法【典題例證3】(多選)如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫(huà)出)，AB邊長(zhǎng)度為d，∠B＝eq\f(π,6)。現(xiàn)垂直AB邊射入一束質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0，而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(4,3)t0(不計(jì)重力)，則下列說(shuō)法中正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4t0B．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(πm,2qt0)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為eq\f(2,5)dD．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為eq\f(3πd,5t0)[答案]ABC[解析]根據(jù)題意，粒子垂直AB邊射入，垂直AC邊射出時(shí)經(jīng)過(guò)四分之一個(gè)周期，即eq\f(1,4)T＝t0，解得T＝4t0，A正確；洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)，粒子運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)＝4t0，可解得該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝eq\f(πm,2qt0)，B正確；當(dāng)粒子軌跡與BC邊相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，為eq\f(4,3)t0＝eq\f(1,3)T，則在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知Rsineq\f(π,6)＋eq\f(R,sin\f(π,6))＝d，解得R＝eq\f(2,5)d，C正確；根據(jù)T＝eq\f(2πR,v)可知，v＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2π·\f(2,5)d,4t0)＝eq\f(πd,5t0)，D錯(cuò)誤。【名師點(diǎn)睛】尋找臨界點(diǎn)常用的結(jié)論(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。(3)當(dāng)速度v變化時(shí)，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外。許多質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以相同的速率v從原點(diǎn)O沿紙面內(nèi)由從x軸負(fù)方向到y(tǒng)軸正方向之間的各個(gè)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場(chǎng)中可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中R＝eq\f(mv,qB)，則正確的圖是()答案D解析如圖，從O點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射入的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于O點(diǎn)，在x軸上方，半徑為R；沿y軸正方向射入的粒子，軌跡為半圓，在y軸右側(cè)，和x軸交點(diǎn)距O點(diǎn)為2R；沿其余方向射入的帶電粒子，軌跡最遠(yuǎn)點(diǎn)均在以O(shè)為圓心、半徑為2R的圓周上；由以上分析結(jié)合定圓旋轉(zhuǎn)法，可知D正確。2．(2021·遼寧省凌源市高三下3月尖子生抽測(cè))如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長(zhǎng)ac＝L，一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子中，速度的最大值是()A.eq\f(qBL,2m) B．eq\f(\r(3)qBL,6m)C.eq\f(\r(3)qBL,4m) D．eq\f(qBL,4m)答案A解析粒子沿ab邊射入磁場(chǎng)且從ac邊射出磁場(chǎng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，粒子速度最大時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡與bc相切，如圖所示，由題意和幾何關(guān)系可知ab＝eq\f(1,2)L，四邊形abdO是正方形，粒子軌道半徑r＝eq\f(1,2)L，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvmB＝eq\f(mv\o\al(2,m),\f(1,2)L)，解得粒子的最大速度vm＝eq\f(qBL,2m)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。3.(2021·河北省唐山市高三下3月第一次模擬考試)(多選)如圖，直角三角形OAC區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，∠A＝30°、OC邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，在C點(diǎn)有放射源S，可以向磁場(chǎng)內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率為v0的同種帶正電的粒子，粒子的比荷為K。S發(fā)射的粒子有三分之二可以穿過(guò)OA邊界，OA含在邊界以內(nèi)，不計(jì)重力及粒子之間的相互影響。則()A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(v0,2KL)B．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(v0,KL)C．OA上粒子出射區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)D．OA上粒子出射區(qū)域長(zhǎng)度為eq\f(L,2)答案BC解析如圖所示，S發(fā)射的粒子有三分之二可以穿過(guò)OA邊界，根據(jù)左手定則可知，入射角與OC夾角為30°的粒子剛好從O點(diǎn)射出，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R＝L，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有qv0B＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，解得B＝eq\f(v0,KL)，故A錯(cuò)誤，B正確；沿CA方向入射的粒子穿過(guò)OA邊界時(shí)距O點(diǎn)最遠(yuǎn)，根據(jù)題設(shè)并結(jié)合幾何知識(shí)可知，最遠(yuǎn)距離為OD＝L，則OA上粒子出射區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)，故C正確，D錯(cuò)誤。4．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B．eq\f(mv,ae)C．eq\f(3mv,4ae) D．eq\f(3mv,5ae)答案C解析電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有evB＝meq\f(v2,r)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑的關(guān)系式為：B＝eq\f(mv,er)，即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)其恰好不離開(kāi)圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)線圓相切，此時(shí)電子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑有最大值rmax，如圖所示，其中A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。由幾何關(guān)系可得：(3a－rmax)2＝req\o\al(2,max)＋a2，解得rmax＝eq\f(4,3)a，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為Bmin＝eq\f(mv,ermax)＝eq\f(3mv,4ae)，故C正確。5.如圖所示，寬度為L(zhǎng)、足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。絕緣長(zhǎng)薄板MN置于磁場(chǎng)的右邊界，粒子打在板上時(shí)會(huì)被反彈(碰撞時(shí)間極短)，反彈前后豎直分速度不變，水平分速度大小不變、方向相反。磁場(chǎng)左邊界上O處有一個(gè)粒子源，向磁場(chǎng)內(nèi)沿紙面各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為＋q、速度大小為v的粒子，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，粒子電荷量保持不變。(1)要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)打不到絕緣薄板，求粒子速度大小v滿足的條件；(2)若v＝eq\f(qBL,m)，一些粒子打到絕緣薄板上反彈回來(lái)，求這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值t；(3)若v＝eq\f(2qBL,m)，求粒子從左邊界離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)度s。答案(1)v<eq\f(qBL,2m)(2)eq\f(2πm,3qB)(3)4eq\r(3)L解析(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則有qvB＝meq\f(v2,r)如圖1所示，要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)打不到絕緣薄板，應(yīng)滿足2r<L聯(lián)立解得v<eq\f(qBL,2m)。(2)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB)當(dāng)v＝eq\f(qBL,m)時(shí)，解得r＝L打到絕緣板上反彈回來(lái)且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的粒子通過(guò)的圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最短，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示由幾何關(guān)系可知最小時(shí)間t＝2×eq\f(T,6)解得t＝eq\f(2πm,3qB)。(3)當(dāng)v＝eq\f(2qBL,m)時(shí)，解得r＝2L粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)從左邊界離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，離O點(diǎn)最遠(yuǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示則從左邊界離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)度s＝4rsin60°解得s＝4eq\r(3)L。

一、選擇題(本題共7小題，其中第1～3題為單選，第4～7題為多選)1.(2021·北京市西城區(qū)高三下統(tǒng)一測(cè)試)云室是借助過(guò)飽和水蒸氣在離子上凝結(jié)來(lái)顯示通過(guò)它的帶電粒子徑跡的裝置。如圖為一張?jiān)剖抑信臄z的照片。云室中加了垂直于紙面向里的磁場(chǎng)。圖中a、b、c、d、e是從O點(diǎn)發(fā)出的一些正電子或負(fù)電子的徑跡。有關(guān)a、b、c三條徑跡以下判斷正確的是()A．a(chǎn)、b、c都是正電子的徑跡B．a(chǎn)徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)量最大C．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)能最大D．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)答案C解析正、負(fù)電子在垂直于紙面向里的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知，a、b、c都是負(fù)電子的徑跡，A錯(cuò)誤；負(fù)電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有evB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,eB)，由圖可知，Ra<Rb<Rc，所以va<vb<vc，根據(jù)p＝mv可知，pa<pb<pc，根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，Eka<Ekb<Ekc，B錯(cuò)誤，C正確；負(fù)電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有evB＝meq\f(v2,R)，T＝eq\f(2πR,v)，則T＝eq\f(2πm,eB)，所以Ta＝Tb＝Tc，負(fù)電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(α,2π)T，其中α為負(fù)電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧所對(duì)的圓心角，由圖可知a徑跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，則a徑跡對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，D錯(cuò)誤。2.(2021·山東省青島市高三下二模)如圖，一內(nèi)壁光滑、上端開(kāi)口下端封閉的絕緣玻璃管豎直放置，高為h，管底有質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小球，玻璃管以速度v沿垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。在外力作用下，玻璃管在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度保持不變，小球最終從上端管口飛出，在此過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．洛倫茲力對(duì)小球做正功B．小球做變加速曲線運(yùn)動(dòng)C．小球機(jī)械能的增加量為qvBhD．小球在玻璃管中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與玻璃管運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)答案C解析洛倫茲力的方向與速度垂直，永遠(yuǎn)不做功，A錯(cuò)誤；玻璃管在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球受到的洛倫茲力在豎直方向的分力保持不變，即在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)為勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；由于管對(duì)球的支持力對(duì)小球做了功，小球的機(jī)械能是增加的，在豎直方向上，由牛頓第二定律得qvB－mg＝ma，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式得h＝eq\f(1,2)at2，小球離開(kāi)管口的速度vy＝at，合速度v合＝eq\r(v2＋v\o\al(2,y))，動(dòng)能的增量ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,合)－eq\f(1,2)mv2，重力勢(shì)能的增量ΔEp＝mgh，聯(lián)立解得小球機(jī)械能的增加量ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝qvBh，C正確；小球的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度可分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度vy，豎直方向的洛倫茲力不變，在豎直方向上，由牛頓第二定律得qvB－mg＝ma，由勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式得h＝eq\f(1,2)at2，解得t＝eq\r(\f(2mh,qvB－mg))，D錯(cuò)誤。3.(2021·北京市豐臺(tái)區(qū)高三上期末)如圖所示，來(lái)自外層空間的大量帶電粒子進(jìn)入地磁場(chǎng)影響范圍后，粒子將繞地磁感線做螺旋運(yùn)動(dòng)，形成范艾倫輻射帶。螺旋運(yùn)動(dòng)中回轉(zhuǎn)一周的時(shí)間稱為周期，回轉(zhuǎn)一周前進(jìn)的距離稱為螺距。忽略帶電粒子的重力、帶電粒子之間以及帶電粒子與空氣分子之間的相互作用，帶電粒子向地磁場(chǎng)兩極運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．粒子運(yùn)動(dòng)的速率逐漸變大B．粒子運(yùn)動(dòng)的周期不變C．粒子螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑不變D．粒子螺旋運(yùn)動(dòng)的螺距逐漸變小答案D解析由于洛倫茲力不做功，則粒子的速率總保持不變，A錯(cuò)誤；由于帶電粒子向地磁場(chǎng)兩極運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，磁感應(yīng)強(qiáng)度越來(lái)越大，根據(jù)周期公式T＝eq\f(2πm,qB)可知，粒子運(yùn)動(dòng)的周期逐漸變小，B錯(cuò)誤；因粒子向兩極運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不垂直，與磁場(chǎng)方向平行的分速度不受洛倫茲力影響，粒子在該方向做勻速運(yùn)動(dòng)，則粒子螺旋運(yùn)動(dòng)的螺距為x＝v∥T，因粒子運(yùn)動(dòng)的周期逐漸變小，所以粒子螺旋運(yùn)動(dòng)的螺距逐漸變小，D正確；由于帶電粒子向地磁場(chǎng)兩極運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，粒子的速度垂直于磁場(chǎng)方向的分量v⊥不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度越來(lái)越大，根據(jù)軌道半徑公式r＝eq\f(mv⊥,qB)可知，粒子螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變小，C錯(cuò)誤。4.(2022·湖北省武漢市第二中學(xué)高三上模擬)如圖所示，在矩形的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，eq\f(Oa,ab)＝eq\r(3)，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子(重力忽略不計(jì))，從O點(diǎn)沿著Ob方向垂直磁場(chǎng)入射，下列關(guān)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)說(shuō)法正確的是()A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(πm,3qB)B．帶電粒子的入射速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的位移越大C．帶電粒子的入射速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)D．帶電粒子可以從bc邊界離開(kāi)磁場(chǎng)答案AB解析由eq\f(Oa,ab)＝eq\r(3)可知，Ob與Oa的夾角θ＝30°。粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，由幾何關(guān)系可知，粒子軌跡對(duì)應(yīng)的最大圓心角α＝2θ＝60°，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm＝eq\f(α,2π)T＝eq\f(πm,3qB)，故A正確；帶電粒子的入射速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧所對(duì)的弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，故在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的位移越大，但是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角可能不變或者減小，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變或者減小，故B正確，C錯(cuò)誤；帶電粒子沿著Ob方向垂直射入磁場(chǎng)，受到的洛倫茲力斜向下，故粒子不可能從bc邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，故D錯(cuò)誤。5.(2021·東北三省四市教研聯(lián)合體4月模擬二)如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，P是磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)。大量質(zhì)量均為m，電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，以相同的速率從P點(diǎn)向紙面內(nèi)的各個(gè)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域。已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝2R，A、C為圓形區(qū)域水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，粒子的重力、空氣阻力和粒子間的相互作用均不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是()A．粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v＝eq\f(2mBR,q)B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t＝eq\f(πm,3qB)C．不可能有粒子從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)D．不可能有粒子從A點(diǎn)沿水平方向射出磁場(chǎng)答案BD解析粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知，Bqv＝eq\f(mv2,r)，且r＝2R，所以v＝eq\f(2qBR,m)，A錯(cuò)誤；粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,Bq)，要使粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則粒子圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)以磁場(chǎng)圓直徑為弦，則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲，由幾何關(guān)系知，此軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，所以最長(zhǎng)時(shí)間為t＝eq\f(60°,360°)T＝eq\f(πm,3qB)，故B正確；當(dāng)入射速度的方向合適時(shí)，粒子可以從C點(diǎn)射出，如圖乙所示，故C錯(cuò)誤；若粒子能從A點(diǎn)水平射出磁場(chǎng)，則在A點(diǎn)作速度方向的垂線，再作AP兩點(diǎn)連線的中垂線，交點(diǎn)即為圓心，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝R≠2R，如圖丙所示，故D正確。6.(2021·山東省濟(jì)南市高三下二模)如圖所示，邊長(zhǎng)為eq\r(