平面向量的數量積平面向量的數量積教學目標重難點教學目標：1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3.平面向量的數量積簡單應用；4.掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解平面向量數量積的應用教學目標重難點教學目標：問題1.一個游泳愛好者想游到長江的正對岸(此段兩岸平行），他以恒定的速度垂直于河岸方向行駛，能否到達目的地？問題2.在單杠上做引體向上運動，為節省體力，兩臂夾角應越大還是越小？為解決這些問題，我們開始本節知識的學習。1.提出問題引入新課問題1.一個游泳愛好者想游到長江的正對岸(此段兩岸平行），他我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖）θS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發，我們引入向量數量積的概念。2.新課講解形成概念θsF我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖）已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ規定:零向量與任一向量的數量積為0。記法“a·b”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。注意：向量的數量積是一個數量。數量積定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？當0°≤θ＜

90°時a·b為正，a·b為正θ不一定為銳角夾角的范圍正負零當90°＜θ≤180°時a·b為負。a·b為負θ不一定為鈍角當θ=90°時a·b為零。a·b=|a||b|cosθ思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為投影也是一個數量，不是向量.OBAB1投影的概念投影也是一個數量，不是向量.OBAB1投影的概念BOB1當為直角時投影為0;ABOB1ABO(B1)當為銳角時投影為正值;

當為鈍角時投影為負值;A當

=0時投影為當

=180時投影為BOB1當為直角時ABOB1ABO(B1)當為銳角時當OABθ|b|cosθabB1向量數量積幾何意義OABθ|b|cosθabB1向量數量積幾何意義重要性質(點積為零是判定兩向量垂直的條件)重要性質(點積為零是判定兩向量垂直的條件)判斷下列各題是否正確(1)若a=0,則對任意向量b,有a·b=0-----(2)若a≠0,則對任意非零向量b,有a·b≠0--(3)若a≠0,且a·b=0,則b=0-------------------(4)若a·b=0,則a=0或b=0---------------------(5)對任意向量a有a2=│a│2----------------(6)若a≠0且a·b=a·c,則b=c-------------------(√)(×)(×)(×)(√)(×)課堂練習判斷下列各題是否正確(1)若a=0,則對任意向量b,有a·b數量積的運算律：數量積的運算律：如圖可知：3.性質講解深化概念如圖可知：3.性質講解深化概念求向量的數量積及向量的模

例1.已知|a|＝3，|b|＝4且a與b的夾角為θ＝120°，求：a·b，(a＋b)2，|a-b|.分析：根據向量的運算律求(a＋b)2,|a-b|，求模時轉化為求向量的平方問題，即|a|2＝a2.點評：

利用|a|2＝a2求向量的模時轉化為求向量的平方問題．4.例題剖析加強應用題型一求向量的數量積及向量的模例1.已知|a|＝3，|b題型二判斷三角形形狀例2已知△ABC中，試判斷△ABC的形狀．題型二判斷三角形形狀例2已知△ABC中，試判斷△A題型三向量的垂直問題例3已知|a|＝3，|b|＝4且a與b不共線．k為何值時，向量(a＋kb)與(a-kb)互相垂直？分析：根據向量(a＋kb)與(a-kb)互相垂直的條件列出關于k的關系式，求關于k的方程．題型三向量的垂直問題例3已知|a|＝3，|b|＝4題型四題型四2．已知O為△ABC所在平面內一點,且滿足

試判斷△ABC的形狀．3．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為，若向量2a＋kb與a＋b垂直，求k的值．隨堂討論2．已知O為△ABC所在平面內一點,且滿足(2011·重慶高考理科)已知單位向量的夾角為,則

【思路點撥】解答本題可利用結合向量的數量積運算來求解.【精講精析】由題意知答案：鏈接高考(2011·重慶高考理科)已知單位向量的夾角為,則【思

（2011·全國高考理科·

）設向量滿足，則的最大值等于

A.2B.C.D.1【思路點撥】本題按照題目要求構造出如右圖所示的幾何圖形，然后分析觀察不難得到當線段AC為直徑時，最大.【精講精析】選A.如圖，構造所以A、B、C、D四點共圓，分析可知當線段AC為直徑時，最大，最大值為2.（2011·全國高考理科·）設向量滿足，則的1.由所學知識可知，受水流速度的影響，他將游到對岸的下方2.夾角越小越省力答課前問1.由所學知識可知，受2.夾角越小越省力答課前問課堂小結

1、本節課學習的主要內容是什么？

2、平面向量數量積的兩個基本應用是什么？

3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數學思想？課堂小結1、本節課學習的主要內容是什么？作業布置：課本P108習題2.4A組7、9、11B組2、

4作業布置：課本P108習題2.4A組7、9、11謝謝大家謝謝大家有關的數學名言

數學知識是最純粹的邏輯思維活動，以及最高級智能活力美學體現。——普林舍姆

歷史使人聰明，詩歌使人機智，數學使人精細。——培根

數學是最寶貴的研究精神之一。——華羅庚

沒有哪門學科能比數學更為清晰地闡明自然界的和諧性。——卡羅斯

數學是規律和理論的裁判和主宰者。——本杰明

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W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發，我們引入向量數量積的概念。2.新課講解形成概念θsF我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖）已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ規定:零向量與任一向量的數量積為0。記法“a·b”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。注意：向量的數量積是一個數量。數量積定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？當0°≤θ＜

90°時a·b為正，a·b為正θ不一定為銳角夾角的范圍正負零當90°＜θ≤180°時a·b為負。a·b為負θ不一定為鈍角當θ=90°時a·b為零。a·b=|a||b|cosθ思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為投影也是一個數量，不是向量.OBAB1投影的概念投影也是一個數量，不是向量.OBAB1投影的概念BOB1當為直角時投影為0;ABOB1ABO(B1)當為銳角時投影為正值;

當為鈍角時投影為負值;A當

=0時投影為當

=180時投影為BOB1當為直角時ABOB1ABO(B1)當為銳角時當OABθ|b|cosθabB1向量數量積幾何意義OABθ|b|cosθabB1向量數量積幾何意義重要性質(點積為零是判定兩向量垂直的條件)重要性質(點積為零是判定兩向量垂直的條件)判斷下列各題是否正確(1)若a=0,則對任意向量b,有a·b=0-----(2)若a≠0,則對任意非零向量b,有a·b≠0--(3)若a≠0,且a·b=0,則b=0-------------------(4)若a·b=0,則a=0或b=0---------------------(5)對任意向量a有a2=│a│2----------------(6)若a≠0且a·b=a·c,則b=c-------------------(√)(×)(×)(×)(√)(×)課堂練習判斷下列各題是否正確(1)若a=0,則對任意向量b,有a·b數量積的運算律：數量積的運算律：如圖可知：3.性質講解深化概念如圖可知：3.性質講解深化概念求向量的數量積及向量的模

例1.已知|a|＝3，|b|＝4且a與b的夾角為θ＝120°，求：a·b，(a＋b)2，|a-b|.分析：根據向量的運算律求(a＋b)2,|a-b|，求模時轉化為求向量的平方問題，即|a|2＝a2.點評：

利用|a|2＝a2求向量的模時轉化為求向量的平方問題．4.例題剖析加強應用題型一求向量的數量積及向量的模例1.已知|a|＝3，|b題型二判斷三角形形狀例2已知△ABC中，試判斷△ABC的形狀．題型二判斷三角形形狀例2已知△ABC中，試判斷△A題型三向量的垂直問題例3已知|a|＝3，|b|＝4且a與b不共線．k為何值時，向量(a＋kb)與(a-kb)互相垂直？分析：根據向量(a＋kb)與(a-kb)互相垂直的條件列出關于k的關系式，求關于k的方程．題型三向量的垂直問題例3已知|a|＝3，|b|＝4題型四題型四2．已知O為△ABC所在平面內一點,且滿足

試判斷△ABC的形狀．3．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為，若向量2a＋kb與a＋b垂直，求k的值．隨堂討論2．已知O為△ABC所在平面內一點,且滿足(2011·重慶高考理科)已知單位向量的夾角為,則

【思路點撥】解答本題可利用結合向量的數量積運算來求解.【精講精析】由題意知答案：鏈接高考(2011·重慶高考理科)已知單位向量的夾角為,則【思

（2011·全國高考理科·

）設向量滿足，則