二、離散型隨機變量函數的分布三、連續型隨機變量函數的分布四、小結一、問題的引入第五節兩個隨機變量的函數的分布二、離散型隨機變量函數的分布三、連續型隨機變量函數的分布四1為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數的分布.一、問題的引入為了解決類似的問題下面一、問題的引入2二、離散型隨機變量函數的分布設(X,Y)為二維離散型隨機變量，則函數是一維離散型隨機變量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?二、離散型隨機變量函數的分布設(X,Y)為二維離散3例1設二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求的概率分布例1設二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij4解

根據(X,Y)的聯合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20解根據(X,Y)的聯合分布可得如下表格：PX+5故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123故得PX+Y-2-106PXY-2-101PY/X-1-1/201PXY-2-107結論結論8例2設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨立,所以解例2設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求9可得所以可得所以10

設X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨立，具有可加性的兩個離散分布

設X~P(1),Y~P(2),且獨立，則X+Y~B(n1+n2,p)則X+Y~P(1+2)

證明過程見73頁例3.21

設X~B(n1,p),Y~B(n2,p),11問題

已知二維隨機變量(X,Y)的密度函數，g(x,y)為已知的二元函數，求Z=g(X,Y)的密度函數.方法

從求Z的分布函數出發,將Z的分布函數轉化為(X,Y)的事件三、連續型隨機變量函數的分布問題已知二維隨機變量(X,Y)的密度函數，求Z=12連續型隨機變量函數的分布主要形式這里X,Y相互獨立。連續型隨機變量函數的分布主要形式這里X,Y相互獨立。13設(X,Y)為連續型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續函數)。大部分情況下，Z是一連續型隨機變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數1.和分布：Z=X+Y的分布求解過程中，關鍵在于將事件{Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。設(X,Y)為連續型隨機向量，具有概率密度f(x14?z?zx+y=z設(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，現求Z=X+Y的概率密度。令，則Z的分布函數為?z?zx+y=z設(X,Y)的聯合概率密度為15由此可得概率密度函數為由于X與Y對稱,當X,Y獨立時,卷積公式稱之為函數

fX

與fY

的卷積由此可得概率密度函數為由于X與Y對稱,當X,16

例3

設隨機變量X,Y相互獨立,且均服從標準正態分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷積公式得Z=X+Y概率密度為

〖解〗因為X,Y獨立且其概率密度分別為1、考慮被積函數的非零區域;

2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上積分;4、在xoz系中綜合上述各點確定z的分段情形.例3設隨機變量X,Y相互獨立,且均服從標17所以Z~N(0,2).所以Z~N(0,2).18說明

有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布.說明有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然19

正態隨機變量的結論（定理3.1）

若X,Y相互獨立,則

若相互獨立則推廣正態隨機變量的結論（定理3.1）若X,Y相互獨立,則20例4設隨機變量X,Y相互獨立,且概率密度均為：

〖

解〗因為X,Y獨立,所以和分布概率密度可由卷積公式計算:求Z=X+Y概率密度。

計算積分思路:1.被積函數非零區域;2.z取任意實數;3.x在(-∞,+∞)上積分;4.綜合上述就z分段.例4設隨機變量X,Y相互獨立,且概率密度均為：21

由邊緣概率密度確定

的表達式,特別是其非零區域:由題目條件得:故得:由邊緣概率密度確定22

計算卷積:

函數自變量為z,積分變量為x,當z取值范圍確定后,x由-∞積分至+∞(只需在非零區域內一段上積分).

計算卷積:函數自變量為z,積分變量為23

因為所以因為所以24綜上可得:□綜上可得:□25

參照D就z在(-∞,+∞)上進行分段;

對上述各分段中取定的z值,就x從-∞積分至+∞,實際只需在非零區域D上一段積分.

卷積計算思路

在xoz平面上確定被積函數及其非零區域D;

注意：上述也是一般參量積分的計算方法。參照D就z在(-∞,+∞)上進行分段;26練習若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式練習若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X27暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是暫時固定故當或時,28概率論：二維隨機變量的函數的分布課件29推廣推廣30例例31解解32概率論：二維隨機變量的函數的分布課件33概率論：二維隨機變量的函數的分布課件34概率論：二維隨機變量的函數的分布課件35概率論：二維隨機變量的函數的分布課件36需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災害性的自然現象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有37小結1.離散型隨機變量函數的分布律小結1.離散型隨機變量函數的分布律382.連續型隨機變量函數的分布這里X,Y相互獨立。2.連續型隨機變量函數的分布這里X,Y相互獨立。39例題

設隨機向量(X,Y)服從區域D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均勻分布,求U=|X-Y|的概率密度函數.解(X,Y)的聯合概率密度為1331(1)u≤0時,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可見,u=2是兩種類型積分區域的劃分點.Gf(u)=0例題設隨機向量(X,Y)服從區域解(X,Y)的聯合40(2)0<u<2時,(3)u≥2時,F(u)=1f(u)=1-u/2f(u)=0所以1331y-x=uy-x=-uy-x=-2G(2)0<u<2時,(3)u≥2時,F(u)=1f(u41例設隨機變量X與Y獨立，概率密度函數為解(X,Y)的聯合密度函數為例設隨機變量X與Y獨立，概率密度函數為解(X,Y)的42所以,練習84頁11題所以,練習84頁11題43二、離散型隨機變量函數的分布三、連續型隨機變量函數的分布四、小結一、問題的引入第五節兩個隨機變量的函數的分布二、離散型隨機變量函數的分布三、連續型隨機變量函數的分布四44為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數的分布.一、問題的引入為了解決類似的問題下面一、問題的引入45二、離散型隨機變量函數的分布設(X,Y)為二維離散型隨機變量，則函數是一維離散型隨機變量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?二、離散型隨機變量函數的分布設(X,Y)為二維離散46例1設二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求的概率分布例1設二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij47解

根據(X,Y)的聯合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20解根據(X,Y)的聯合分布可得如下表格：PX+48故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123故得PX+Y-2-1049PXY-2-101PY/X-1-1/201PXY-2-1050結論結論51例2設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨立,所以解例2設兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求52可得所以可得所以53

設X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨立，具有可加性的兩個離散分布

設X~P(1),Y~P(2),且獨立，則X+Y~B(n1+n2,p)則X+Y~P(1+2)

證明過程見73頁例3.21

設X~B(n1,p),Y~B(n2,p),54問題

已知二維隨機變量(X,Y)的密度函數，g(x,y)為已知的二元函數，求Z=g(X,Y)的密度函數.方法

從求Z的分布函數出發,將Z的分布函數轉化為(X,Y)的事件三、連續型隨機變量函數的分布問題已知二維隨機變量(X,Y)的密度函數，求Z=55連續型隨機變量函數的分布主要形式這里X,Y相互獨立。連續型隨機變量函數的分布主要形式這里X,Y相互獨立。56設(X,Y)為連續型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續函數)。大部分情況下，Z是一連續型隨機變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數1.和分布：Z=X+Y的分布求解過程中，關鍵在于將事件{Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。設(X,Y)為連續型隨機向量，具有概率密度f(x57?z?zx+y=z設(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，現求Z=X+Y的概率密度。令，則Z的分布函數為?z?zx+y=z設(X,Y)的聯合概率密度為58由此可得概率密度函數為由于X與Y對稱,當X,Y獨立時,卷積公式稱之為函數

fX

與fY

的卷積由此可得概率密度函數為由于X與Y對稱,當X,59

例3

設隨機變量X,Y相互獨立,且均服從標準正態分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷積公式得Z=X+Y概率密度為

〖解〗因為X,Y獨立且其概率密度分別為1、考慮被積函數的非零區域;

2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上積分;4、在xoz系中綜合上述各點確定z的分段情形.例3設隨機變量X,Y相互獨立,且均服從標60所以Z~N(0,2).所以Z~N(0,2).61說明

有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布.說明有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然62

正態隨機變量的結論（定理3.1）

若X,Y相互獨立,則

若相互獨立則推廣正態隨機變量的結論（定理3.1）若X,Y相互獨立,則63例4設隨機變量X,Y相互獨立,且概率密度均為：

〖

解〗因為X,Y獨立,所以和分布概率密度可由卷積公式計算:求Z=X+Y概率密度。

計算積分思路:1.被積函數非零區域;2.z取任意實數;3.x在(-∞,+∞)上積分;4.綜合上述就z分段.例4設隨機變量X,Y相互獨立,且概率密度均為：64

由邊緣概率密度確定

的表達式,特別是其非零區域:由題目條件得:故得:由邊緣概率密度確定65

計算卷積:

函數自變量為z,積分變量為x,當z取值范圍確定后,x由-∞積分至+∞(只需在非零區域內一段上積分).

計算卷積:函數自變量為z,積分變量為66

因為所以因為所以67綜上可得:□綜上可得:□68

參照D就z在(-∞,+∞)上進行分段;

對上述各分段中取定的z值,就x從-∞積分至+∞,實際只需在非零區域D上一段積分.

卷積計算思路

在xoz平面上確定被積函數及其非零區域D;

注意：上述也是一般參量積分的計算方法。參照D就z在(-∞,+∞)上進行分段;69練習若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式練習若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X70暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是暫時固定故當或時,71概率論