數學高中排列組合知識和典例數學高中排列組合知識和典例數學高中排列組合知識和典例資料僅供參考文件編號：2022年4月數學高中排列組合知識和典例版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發布日期：1．排列與排列數(1)排列：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作Aeq\o\al(m,n).2．組合與組合數(1)組合：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作Ceq\o\al(m,n).排列數、組合數的公式及性質排列數組合數公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質Aeq\o\al(n,n)＝n?。?！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)_；Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)注意：易混淆排列與組合問題，區分的關鍵是看選出的元素是否與順序有關，排列問題與順序有關，組合問題與順序無關．一、排列問題直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法排列典型例題：有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．解：(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)法一：(特殊元素優先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．法二：(特殊位置優先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．1.用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4這四個數字組成無重復數字的四位數，其中恰有一個偶數夾在兩個奇數之間的四位數的個數為________．3.甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A．10種 B．16種C．20種 D．24種組合問題組合典型例題：某運動隊有男運動員6名，女運動員4名，若選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員．解：(1)任選3名男運動員，方法數為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運動員，方法數為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計數原理可得總選法數為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．法二：(間接法)“至少有1名女運動員”的反面是“全是男運動員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．1.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()A．30種 B．36種C．60種 D．72種2.若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種排列組合綜合問題(1)簡單的排列與組合的綜合問題；(2)分組、分配問題．1.將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數為()A．15 B．20C．30 D．422.將5位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、中山大學這3所大學就讀，每所大學至少保送1人，則不同的保送方法共有()A．150種 B．180種C．240種 D．540種此題是高考出現頻率最高的題型，我把他稱為均分問題：對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數．(3)涂色問題：涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個區域，不同的涂色方案有多少種？

解：可根據使用顏色的種數進行分類討論（1）使用4種顏色，則每個區域涂一種顏色即可：（2）使用3種顏色，則有一對不相鄰的區域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區域：用列舉法可得：不相鄰所以涂色方案有：（3）使用2種顏色，則無法找到符合條件的情況，所以討論終止總計種常見題型1．將2名女教師，4名男教師分成2個小組，分別安排到甲、乙兩所學校輪崗支教，每個小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有()A．24種 B．12種C．10種 D．9種解析：選B第一步，為甲校選1名女老師，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)選法；第二步，為甲校選2名男教師，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選法；第三步，為乙校選1名女教師和2名男教師，有1種選法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(種)，選B.2．從0,1,2,3,4中取出3個數字，組成沒有重復數字的三位數的個數為()A．24 B．36C．48 D．60解析：選C法一：百位數字只能從1,2,3,4中任取一個，有Aeq\o\al(1,4)種方法．十位與個位可從剩下的4個數中取2個，有Aeq\o\al(2,4)種方法，則三位數的個數有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝4×4×3＝48.故選C.法二：從0,1,2,3,4中取出3個數字排在百位、十位與個位的方法總數有Aeq\o\al(3,5)，其中0作為百位的三位數有Aeq\o\al(2,4)，則三位數的個數有Aeq\o\al(3,5)－Aeq\o\al(2,4)＝5×4×3－4×3＝48.故選C.3．如圖，∠MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點的三角形個數為()A．30 B．42C．54 D．56解析：選B用間接法．先從這8個點中任取3個點，最多構成三角形Ceq\o\al(3,8)個，再減去三點共線的情形即可．共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42(個)．4．有5本不同的教科書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是()A．24 B．48C．72 D．96解析：選B據題意可先擺放2本語文書，當1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數學書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)種擺放方法；當1本物理書放在2本語文書一側時，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種不同的擺放方法，由分類加法計數原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(種)擺放方法．5．(2016·福建三明調研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數有()A．12種 B．20種C．40種 D．60種解析：選C(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(種)．6．現有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法．(用數字作答)．解析：第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有Ceq\o\al(2,9)種選法；第二步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有Ceq\o\al(3,7)種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法．根據分步乘法計數原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(種)．答案：12607．從6名同學中選派4人分別參加數學、物理、化學、生物四科知識競賽，若其中甲、乙兩名同學不能參加生物競賽，則選派方案共有________種．解析：特殊位置優先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競賽，則從另外4個人中選擇一個參加，有Ceq\o\al(1,4)種方案，然后從剩下的5個人中選擇3個人參加剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)種方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240(種)方案．答案：2408．(2017·黃岡質檢)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數為________．解析：不相鄰問題插空法.2位男生不能連續出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不連續出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場順序的排法種數為N＝N1－N2＝60.答案：609．把