第8章AHP決策分析方法

第8章AHP決策分析方法1本章主要內(nèi)容AHP決策分析的基本原理與計算方法AHP決策分析方法應用實例

本章主要內(nèi)容AHP決策分析的基本原理與計算方法2

美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提出的AHP決策分析法（analytichierarchyprocess，簡稱AHP方法），是一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它常常被運用于多目標、多準則、多要素、多層次的非結(jié)構化的復雜決策問題，特別是戰(zhàn)略決策問題的研究，具有十分廣泛的實用性。美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提3AHP決策分析法，是一種將決策者對復雜問題的決策思維過程模型化、數(shù)量化的過程。通過這種方法，可以將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案重要性程度的權重，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。AHP決策分析法，是解決復雜的非結(jié)構化的地理決策問題的重要方法，是計量地理學的主要方法之一。

AHP決策分析法，是一種將決策者對復雜問題4第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計算方法

基本原理AHP決策分析方法的基本過程第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計算方法基本原理5

一、基本原理

AHP決策分析方法的基本原理，可以用以下的簡單事例分析來說明。

假設有n個物體A1，A2，…，An，它們的質(zhì)量分別記為W1，W2，…，Wn。現(xiàn)將每個物體的重量兩兩進行比較如下：A1A2AnA1W1/W1W1/W2…W1/WnA2W2/W1W2/W2…W2/Wn…………AnWn/W1Wn/W2…Wn/Wn

一、基本原理

AHP決策6若以矩陣來表示各物體的這種相互質(zhì)量關系

A＝A稱為判斷矩陣。若以矩陣來表示各物體的這種相互質(zhì)量關系7若取質(zhì)量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T，則有

AW＝n?WW是判斷矩陣A的特征向量，n是A的一個特征值。根據(jù)線性代數(shù)知識可以證明，n是矩陣A的唯一非零的、也是最大的特征值。

若取質(zhì)量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T，8上述事實告訴我們，如果有一組物體，需要知道它們的質(zhì)量，而又沒有衡器，那么就可以通過兩兩比較它們的相互質(zhì)量，得出每一對物體質(zhì)量比的判斷，從而構成判斷矩陣；然后通過求解判斷矩陣的最大特征值λmax和它所對應的特征向量，就可以得出這一組物體的相對質(zhì)量。上述事實告訴我們，如果有一組物體，需要知道它們的質(zhì)9這一思路提示我們——在復雜的決策問題研究中，對于一些無法度量的因素，只要引入合理的度量標度，通過構造判斷矩陣，就可以用這種方法來度量各因素之間的相對重要性，從而為有關決策提供依據(jù)。這一思想，實際上就是AHP決策分析方法的基本思想，AHP決策分析方法的基本原理也由此而來。這一思路提示我們——10二、AHP決策分析方法的基本過程

AHP決策分析方法的基本過程，大體可以分為如下6個基本步驟：

(一）明確問題

即弄清問題的范圍，所包含的因素，各因素之間的關系等，以便盡量掌握充分的信息。

（二）建立層次結(jié)構模型

（三）構造判斷矩陣

（四）層次單排序（五）層次總排序

（六）層次總排序的一致性檢驗

轉(zhuǎn)到該節(jié)第三部分二、AHP決策分析方法的基本過程AH11在這一個步驟中，要求將問題所含的要素進行分組，把每一組作為一個層次，并將它們按照：最高層（目標層）—若干中間層（準則層）—最低層（措施層）的次序排列起來。這種層次結(jié)構模型常用結(jié)構圖來表示（圖8.1.1），圖中要標明上下層元素之間的關系。（二）建立層次結(jié)構模型在這一個步驟中，要求將問題所含的要素進行分組，把12圖8.1.1AHP決策分析法層次結(jié)構示意圖

圖8.1.1AHP決策分析法層次結(jié)構示意圖13如果某一個元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有完全層次的關系。如果某一個元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有不完全層次的關系。層次之間可以建立子層次，子層次從屬于主層次中的某一個元素，它的元素與下一層的元素有聯(lián)系，但不形成獨立層次。

返回返回14這一個步驟是AHP決策分析中一個關鍵的步驟。A1B1B2BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn（三）構造判斷矩陣

①判斷矩陣表示針對上一層次中的某元素而言，評定該層次中各有關元素相對重要性程度的判斷。其形式如下：……………………這一個步驟是AHP決策分析中一個15②其中，bij表示對于Ak而言，元素Bi對Bj的相對重要性程度的判斷值。一般取1，3，5，7，9等5個等級標度，其意義為：1表示Bi與Bj同等重要；3表示Bi較Bj重要一點；5表示Bi較Bj重要得多；7表示Bi較Bj更重要；9表示Bi較Bj極端重要。而2，4，6，8表示相鄰判斷的中值，當5個等級不夠用時，可以使用這幾個數(shù)。

②其中，bij表示對于Ak而言，元素Bi16③顯然，對于任何判斷矩陣都應滿足

④一般而言，判斷矩陣的數(shù)值

是根據(jù)數(shù)據(jù)資料、專家意見和分析者的認識，加以平衡后給出的。③顯然，對于任何判斷矩陣都應滿足17⑤如果判斷矩陣存在關系

bij＝（i，j，k＝1，2，3，…，n）則稱它具有完全一致性。為了考察AHP決策分析方法得出的結(jié)果是否基本合理，需要對判斷矩陣進行一致性檢驗。返回⑤如果判斷矩陣存在關系返回18向量。即對于判斷矩陣B，計算滿足

（8.1.5）①目的：確定本層次與上層次中的某元素有聯(lián)系的各元素重要性次序的權重值。

②任務：計算判斷矩陣的特征根和特征（四）層次單排序在（8.1.5）式中，λmax為判斷矩陣B的最大特征根，W為對應于λmax的正規(guī)化特征向量，W的分量Wi就是對應元素單排序的權重值。

向量。即對于判斷矩陣B，計算滿足①目的：確定本層次與19

③檢驗判斷矩陣的一致性:通過前面的分析，我們知道，如果判斷矩陣B具有完全一致性時,λmax＝n。但是，在一般情況下是不可能的。為了檢驗判斷矩陣的一致性，需要計算它的一致性指標

（8.1.6）

在（8.1.6）式中，當CI＝0時，判斷矩陣具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判斷矩陣的一致性就越差。

③檢驗判斷矩陣的一致性:通過前面的分析，我20時，就認為判斷矩陣具有令人滿意的一致性；否則，當CR0.1時，就需要調(diào)整判斷矩陣，直到滿意為止。為了檢驗判斷矩陣是否具有令人滿意的一致性，需要將CI與平均隨機一致性指標RI（表8.1.1）進行比較。一般而言，1或2階的判斷矩陣總是具有完全一致性的。對于2階以上的判斷矩陣，其一致性指標CI與同階的平均隨機一致性指標RI之比，稱為判斷矩陣的隨機一致性比例，記為CR。一般地，當（8.1.7）

時，就認為判斷矩陣具有令人滿意的一致性；否則，當CR21表8.1.1平均隨機一致性指標

返回表8.1.1平均隨機一致性指標返回22（五）層次總排序①定義：利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計算針對上一層次而言，本層次所有元素的重要性權重值，這就稱為層次總排序。②層次總排序需要從上到下逐層順序進行。對于最高層而言，其層次單排序的結(jié)果也就是總排序的結(jié)果。（五）層次總排序①定義：利用同一層次中23假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A2，…，Am得到的權重值分別為a1，a2，…，am；與Aj對應的本層次元素B1，B2，…，Bn的層次單排序結(jié)果為[]T（當Bi與Aj無聯(lián)系時，＝0）；那么，B層次的總排序結(jié)果見表8.1.2。假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A224表8.1.2層次總排序表

顯然=1（8.1.8）即層次總排序是歸一化的正規(guī)向量。

返回表8.1.2層次總排序表顯然返回25CI＝式中：CI為層次總排序的一致性指標；

CIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的一致性指標。（六)層次總排序的一致性檢驗為了評價層次總排序結(jié)果的一致性，類似于層次單排序，也需要進行一致性檢驗。為此，需要分別計算下列指標CI＝式中：CI為層次總排序的一致性指標；

C26式中：RI為層次總排序的隨機一致性指標；

RIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；CR為層次總排序的隨機一致性比例。RI＝CR＝式中：RI為層次總排序的隨機一致性指標；

RIj27

當CR<0.10時，則認為層次總排序的計算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩陣進行調(diào)整，直至層次總排序的一致性檢驗達到要求為止。

返回當CR<0.10時，則認為層次總排序的計算結(jié)果具有令28三、計算方法

通過前面的介紹，我們知道，在AHP決策分析方法中，最根本的計算任務是求解判斷矩陣的最大特征根

及其所對應的特征向量

。這些問題可以用線性代數(shù)知識去求解，并且能夠利用計算機求得任意高精度的結(jié)果。但事實上，在AHP決策分析方法中，判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量的計算，并不需要追求太高的精度。這是因為判斷矩陣本身就是將定性問題定量化的結(jié)果，允許存在一定的誤差范圍。

三、計算方法通過前面的介紹，我們知道，在AHP決策29

常常用如下兩種近似算法求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應的特征向量。常常用如下兩種近似算法求解判斷矩陣的最大特征30(一)方根法

計算判斷矩陣每一行元素的乘積

計算的n次方根

(一)方根法計算判斷矩陣每一行元素的乘積31將向量＝歸一化

則即為所求的特征向量。

計算最大特征根

表示向量AW的第i個分量。將向量＝歸一化32(二)和積法將判斷矩陣每一列歸一化

對按列歸一化的判斷矩陣，再按行求和(二)和積法將判斷矩陣每一列歸一化33將向量＝歸一化

則即為所求的特征向量。計算最大特征根

表示向量AW的第i個分量。將向量＝34四、對AHP方法的簡單評價

優(yōu)點思路簡單明了，它將決策者的思維過程條理化、數(shù)量化，便于計算，容易被人們所接受；所需要的定量化數(shù)據(jù)較少，但對問題的本質(zhì)，問題所涉及的因素及其內(nèi)在關系分析得比較透徹、清楚。四、對AHP方法的簡單評價優(yōu)點35缺點存在著較大的隨意性。譬如，對于同樣一個決策問題，如果在互不干擾、互不影響的條件下，讓不同的人同樣都采用AHP決策分析方法進行研究，則他們所建立的層次結(jié)構模型、所構造的判斷矩陣很可能是各不相同的，分析所得出的結(jié)論也可能各有差異。

缺點36為了克服這種缺點，在實際運用中，特別是在多目標、多準則、多要素、多層次的非結(jié)構化的戰(zhàn)略決策問題的研究中，對于問題所涉及的各種要素及其層次結(jié)構模型的建立，往往需要多部門、多領域的專家共同會商、集體決定；在構造判斷矩陣時，對于各個因素之間的重要程度的判斷，也應該綜合各個專家的不同意見，譬如，取各個專家的判斷值的平均數(shù)、眾數(shù)或中位數(shù)。為了克服這種缺點，在實際運用中，特別是在多目37演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！38第8章AHP決策分析方法

第8章AHP決策分析方法39本章主要內(nèi)容AHP決策分析的基本原理與計算方法AHP決策分析方法應用實例

本章主要內(nèi)容AHP決策分析的基本原理與計算方法40

美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提出的AHP決策分析法（analytichierarchyprocess，簡稱AHP方法），是一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它常常被運用于多目標、多準則、多要素、多層次的非結(jié)構化的復雜決策問題，特別是戰(zhàn)略決策問題的研究，具有十分廣泛的實用性。美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提41AHP決策分析法，是一種將決策者對復雜問題的決策思維過程模型化、數(shù)量化的過程。通過這種方法，可以將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案重要性程度的權重，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。AHP決策分析法，是解決復雜的非結(jié)構化的地理決策問題的重要方法，是計量地理學的主要方法之一。

AHP決策分析法，是一種將決策者對復雜問題42第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計算方法

基本原理AHP決策分析方法的基本過程第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計算方法基本原理43

一、基本原理

AHP決策分析方法的基本原理，可以用以下的簡單事例分析來說明。

假設有n個物體A1，A2，…，An，它們的質(zhì)量分別記為W1，W2，…，Wn。現(xiàn)將每個物體的重量兩兩進行比較如下：A1A2AnA1W1/W1W1/W2…W1/WnA2W2/W1W2/W2…W2/Wn…………AnWn/W1Wn/W2…Wn/Wn

一、基本原理

AHP決策44若以矩陣來表示各物體的這種相互質(zhì)量關系

A＝A稱為判斷矩陣。若以矩陣來表示各物體的這種相互質(zhì)量關系45若取質(zhì)量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T，則有

AW＝n?WW是判斷矩陣A的特征向量，n是A的一個特征值。根據(jù)線性代數(shù)知識可以證明，n是矩陣A的唯一非零的、也是最大的特征值。

若取質(zhì)量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T，46上述事實告訴我們，如果有一組物體，需要知道它們的質(zhì)量，而又沒有衡器，那么就可以通過兩兩比較它們的相互質(zhì)量，得出每一對物體質(zhì)量比的判斷，從而構成判斷矩陣；然后通過求解判斷矩陣的最大特征值λmax和它所對應的特征向量，就可以得出這一組物體的相對質(zhì)量。上述事實告訴我們，如果有一組物體，需要知道它們的質(zhì)47這一思路提示我們——在復雜的決策問題研究中，對于一些無法度量的因素，只要引入合理的度量標度，通過構造判斷矩陣，就可以用這種方法來度量各因素之間的相對重要性，從而為有關決策提供依據(jù)。這一思想，實際上就是AHP決策分析方法的基本思想，AHP決策分析方法的基本原理也由此而來。這一思路提示我們——48二、AHP決策分析方法的基本過程

AHP決策分析方法的基本過程，大體可以分為如下6個基本步驟：

(一）明確問題

即弄清問題的范圍，所包含的因素，各因素之間的關系等，以便盡量掌握充分的信息。

（二）建立層次結(jié)構模型

（三）構造判斷矩陣

（四）層次單排序（五）層次總排序

（六）層次總排序的一致性檢驗

轉(zhuǎn)到該節(jié)第三部分二、AHP決策分析方法的基本過程AH49在這一個步驟中，要求將問題所含的要素進行分組，把每一組作為一個層次，并將它們按照：最高層（目標層）—若干中間層（準則層）—最低層（措施層）的次序排列起來。這種層次結(jié)構模型常用結(jié)構圖來表示（圖8.1.1），圖中要標明上下層元素之間的關系。（二）建立層次結(jié)構模型在這一個步驟中，要求將問題所含的要素進行分組，把50圖8.1.1AHP決策分析法層次結(jié)構示意圖

圖8.1.1AHP決策分析法層次結(jié)構示意圖51如果某一個元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有完全層次的關系。如果某一個元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有不完全層次的關系。層次之間可以建立子層次，子層次從屬于主層次中的某一個元素，它的元素與下一層的元素有聯(lián)系，但不形成獨立層次。

返回返回52這一個步驟是AHP決策分析中一個關鍵的步驟。A1B1B2BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn（三）構造判斷矩陣

①判斷矩陣表示針對上一層次中的某元素而言，評定該層次中各有關元素相對重要性程度的判斷。其形式如下：……………………這一個步驟是AHP決策分析中一個53②其中，bij表示對于Ak而言，元素Bi對Bj的相對重要性程度的判斷值。一般取1，3，5，7，9等5個等級標度，其意義為：1表示Bi與Bj同等重要；3表示Bi較Bj重要一點；5表示Bi較Bj重要得多；7表示Bi較Bj更重要；9表示Bi較Bj極端重要。而2，4，6，8表示相鄰判斷的中值，當5個等級不夠用時，可以使用這幾個數(shù)。

②其中，bij表示對于Ak而言，元素Bi54③顯然，對于任何判斷矩陣都應滿足

④一般而言，判斷矩陣的數(shù)值

是根據(jù)數(shù)據(jù)資料、專家意見和分析者的認識，加以平衡后給出的。③顯然，對于任何判斷矩陣都應滿足55⑤如果判斷矩陣存在關系

bij＝（i，j，k＝1，2，3，…，n）則稱它具有完全一致性。為了考察AHP決策分析方法得出的結(jié)果是否基本合理，需要對判斷矩陣進行一致性檢驗。返回⑤如果判斷矩陣存在關系返回56向量。即對于判斷矩陣B，計算滿足

（8.1.5）①目的：確定本層次與上層次中的某元素有聯(lián)系的各元素重要性次序的權重值。

②任務：計算判斷矩陣的特征根和特征（四）層次單排序在（8.1.5）式中，λmax為判斷矩陣B的最大特征根，W為對應于λmax的正規(guī)化特征向量，W的分量Wi就是對應元素單排序的權重值。

向量。即對于判斷矩陣B，計算滿足①目的：確定本層次與57

③檢驗判斷矩陣的一致性:通過前面的分析，我們知道，如果判斷矩陣B具有完全一致性時,λmax＝n。但是，在一般情況下是不可能的。為了檢驗判斷矩陣的一致性，需要計算它的一致性指標

（8.1.6）

在（8.1.6）式中，當CI＝0時，判斷矩陣具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判斷矩陣的一致性就越差。

③檢驗判斷矩陣的一致性:通過前面的分析，我58時，就認為判斷矩陣具有令人滿意的一致性；否則，當CR0.1時，就需要調(diào)整判斷矩陣，直到滿意為止。為了檢驗判斷矩陣是否具有令人滿意的一致性，需要將CI與平均隨機一致性指標RI（表8.1.1）進行比較。一般而言，1或2階的判斷矩陣總是具有完全一致性的。對于2階以上的判斷矩陣，其一致性指標CI與同階的平均隨機一致性指標RI之比，稱為判斷矩陣的隨機一致性比例，記為CR。一般地，當（8.1.7）

時，就認為判斷矩陣具有令人滿意的一致性；否則，當CR59表8.1.1平均隨機一致性指標

返回表8.1.1平均隨機一致性指標返回60（五）層次總排序①定義：利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計算針對上一層次而言，本層次所有元素的重要性權重值，這就稱為層次總排序。②層次總排序需要從上到下逐層順序進行。對于最高層而言，其層次單排序的結(jié)果也就是總排序的結(jié)果。（五）層次總排序①定義：利用同一層次中61假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A2，…，Am得到的權重值分別為a1，a2，…，am；與Aj對應的本層次元素B1，B2，…，Bn的層次單排序結(jié)果為[]T（當Bi與Aj無聯(lián)系時，＝0）；那么，B層次的總排序結(jié)果見表8.1.2。假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A262表8.1.2層次總排序表

顯然=1（8.1.8）即層次總排序是歸一化的正規(guī)向量。

返回表8.1.2層次總排序表顯然返回63CI＝式中：CI為層次總排序的一致性指標；

CIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的一致性指標。（六)層次總排序的一致性檢驗為了評價層次總排序結(jié)果的一致性，類似于層次單排序，也需要進行一致性檢驗。為此，需要分別計算下列指標CI＝式中：CI為層次總排序的一致性指標；

C64式中：RI為層次總排序的隨機一致性指標；

RIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；CR為層次總排序的隨機一致性比例。RI＝CR＝式中：RI為層次總排序的隨機一致性指標；

RIj65

當CR<0.10時，則認為層次總排序的計算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩陣進行調(diào)整，直至層次總排序的一致性檢驗達到要求為止。

返回當CR<0.10時，則認為層次總排序的計算結(jié)果具有令66三、計算方法

通過前面的介紹，我們知道，在AHP決策分析方法中，最根本的計算任務是求解判斷矩陣的最大特征根

及其所對應的特征向量

。這些問題可以用線性代數(shù)知識