第九節函數模型及其應用編輯ppt1．三種函數模型之間增長速度的比較函數性質y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性____________________________________增長速度越來越快越來越慢相對平穩值的比較存在一個x0，當x＞x0時，有__________________單調遞增單調遞增單調遞增logax＜xn＜ax編輯ppt2.常用的幾類函數模型(1)指數函數模型y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)(2)對數函數模型y＝mlogax＋n(a＞0且a≠1，m≠0)(3)冪函數模型y＝axn＋b，(a≠0)3．解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，尋找數量關系；(2)建模：利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：用數學問題解釋并回答實際問題的意義．編輯ppt 直線上升、指數增長、對數增長的增長特點是什么？你作為老板，希望公司的利潤和員工獎金按何種模型增長？ 【提示】直線上升，勻速增長；指數增長，先慢后快，其增長量成倍增加，可用“指數爆炸”形容；對數增長：先快后慢，其增長速度緩慢；公司的利潤選擇直線上升或指數模型增長，而員工獎金選擇對數模型增長．

編輯ppt1．(教材改編題)在一次數學試驗中，采集到如下一組數據：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02編輯ppt 【解析】先作出散點圖，再結合選項中函數的性質判斷． 【答案】B編輯ppt2．擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝0.5×[m]＋1(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(如[3.62]＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5,3.2]時，函數f(m)的值域是() A．{1,2,3,4} B．{1,1.5,2,2.5} C．{1,1.5,2.5,3} D．{1.5,2,2.5} 【解析】當m∈[0.5,3.2]時，[m]所有可能值為0,1,2,3共四個，故f(m)的值域為{1,1.5,2,2.5}． 【答案】B編輯ppt【答案】B編輯ppt【答案】D

編輯ppt編輯ppt (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值． 【思路點撥】分析題意知，C(0)＝8由此得出k的值；由隔熱層建造費與20年的能源消耗費相加得f(x)的表達式；可用求導函數或基本不等式判斷函數的單調性求f(x)的最小值．編輯ppt編輯ppt 1．(1)求函數的解析式和最值時，易忽略x的取值范圍與等號成立的條件．(2)利用基本不等式求函數的最值，一定要注意等號成立的條件，如果等號不成立，可利用函數的單調性求解． 2．(1)二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯．(2)解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．編輯ppt編輯ppt編輯ppt 某種出口產品的關稅稅率為t，市場價格x(單位：千元)與市場供應量p(單位：萬件)之間近似滿足關系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均為常數．當關稅稅率t＝75%時，若市場價格為5千元，則市場供應量為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件． (1)試確定k，b的值； (2)市場需求量q(單位：萬件)與市場價格x近似滿足關系式：q＝2－x，當p＝q時，市場價格稱為市場平衡價格．當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值．

指數函數與對數函數模型的應用

編輯ppt 【思路點撥】(1)由題設條件，建立關于k，b的方程，不難確定k、b的值；(2)依據市場平衡價格的意義，結合指數函數的單調性，確定關稅稅率t關于x的函數，利用導數求最值．編輯ppt編輯ppt 1．(1)本題涉及的“名詞”、“量”較多，準確理解題意和各“名詞”的含義是正確求解的關鍵．(2)根據指數函數的單調性，建立稅率關于“市場平衡價格”的函數關系，是求解第(2)問的前提條件． 2．(1)指數函數模型，常與增長率相結合，在實際問題中人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數函數模型來表示．(2)應用指數函數模型時，先設定模型，將已知數據代入驗證計算，確定參數．編輯ppt (2011·四川高考改編)里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅． (1)假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，求此次地震的震級； (2)2011年3月11日，日本東海岸發生9.0級特大地震；2008年5月12日，中國汶川發生8.0級強震，那么9.0級地震的最大振幅是8.0級地震最大振幅的多少倍？編輯ppt編輯ppt (2011·湖北高考)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數． (1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)分段函數模型的應用

編輯ppt 【思路點撥】(1)當20≤x≤200時，運用待定系數法求v(x)的解析式，進而確定當0≤x≤200時，分段函數v(x)．(2)根據(1)求出f(x)，根據函數的單調性與基本不等式求最值．編輯ppt編輯ppt編輯ppt 1．理解題意，由待定系數法，準確求出v(x)，是求解本題的關鍵．要注意分段函數各段變量的取值范圍，特別是端點值． 2．實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解．編輯ppt圖2－9－1

編輯ppt (1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式； (2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少個小時后，學生才能回到教室？編輯ppt編輯ppt 從近兩年高考試題看，與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值等實際問題，也經常涉及面積、體積、造價等優化問題，如2011·山東21、2011·湖南20.題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導數、最值交匯．主要考查考生的“建模”解決實際問題的能力．編輯ppt規范解答之二函數建模在實際問題中的應用 (14分)(2011·湖南高考)如圖2－9－2，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，

編輯ppt (1)寫出y的表達式； (2)設0＜v≤10,0＜c≤5，試根據c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少．編輯ppt編輯ppt 【解題程序】第一步：由題意，表示單位時間內的淋雨量； 第二步：建立總淋雨量為函數模型； 第三步：分類討論，化總淋雨量為分段函數； 第四步：討論參數c對函數單調性的影響，求總淋雨量y的最小值； 第五步：檢驗，驗證，用數學結果回答實際問題．編輯ppt 易錯提示：(1)由于未讀懂題意，不能正確建立函數模型；再者第(2)問難以轉化為分段函數，導致求解受阻． (2)在解模時，由于未分清c，v中，誰是自變量，造成求解錯誤． 防范措施：(1)求解函數實際問題，審題是關鍵，要弄清相關“名詞”，準確尋求各量之間的關系． (2)抓住隱含條件為突破口，化淋雨量為分段函數，是進一步正確求解的前提，并對運算結果作出實際解釋．編輯ppt【答案】4編輯ppt編輯ppt 從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當x變化時，f′(x)