第一章1.3第2課時一、選擇題1．(2011重·慶理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的張開式中x5與x6的系數相等，則n＝()A．6B．7C．8D．9[答案]B[剖析]本題主要觀察二項式定理中二項張開式的通項公式的應用．二項式(1＋3x)n展開式的通項公式為Tr＋1＝3rCnrxr，∴x5與x6的系數分別為35Cn5，36Cn6.由條件知：35Cn5＝36Cn6，即Cn5＝3Cn6，∴n！＝3·n！，∴n＝7，選B.5！n－5！6！n－6！a712．(2014湖·北理，2)若二項式(2x＋x)的張開式中x3的系數是84，則實數a＝()A．2B．542C．1D．4[答案]C[剖析]a7的通項公式為r7－rarr7－rr7－2r，令7－2r＝－3，二項式(2x＋)Tr＋1＝C7(2x)()＝C72axxx得r＝5.故張開式中1525＝84，解得a＝1.3的系數是C72axa8張開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則張開式中各項系數的和3．已知x－x是()88A．2B．3C．1或38D．1或28[答案]Cr8－rarrr8－2r4[剖析]Tr＋1＝C8·x·－x＝C8·(－a)·x.當r＝4時，Tr＋1為常數項，此時T5＝C8(－a)4＝70a4＝1120.∴a＝±2.令x＝1，則x－a8＝(1±2)8＝1或38.應選C.x4．233除以9的余數是()A．1B．2C．4D．8[答案]D[剖析]233＝811＝(9－1)11＝911－C111910＋＋C11109－1，∴余數為8.應選D.n1n－1n－1nn為()5．若9＋Cn＋1·9＋＋Cn＋1·9＋Cn＋1是11的倍數，則自然數A．偶數B．奇數C．3的倍數D．被3除余1的數[答案]B[剖析]原式＝1[(9＋1)n＋1－1]＝1n＋1n＋1是99的倍數，∴9[10－1]是11的倍數，∴10－19n為奇數．應選B.6．在(1－x)11的張開式中，含x奇次冪的各項系數的和是()A．－210B．2101111C．－2D．2[答案]A[剖析]令f(x)＝(1－x)11＝a0＋a1x＋＋a11x11，f(1)＝a0＋a1＋＋a11＝0，f(－1)＝a0－a1＋－a11＝211，f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋＋a11)＝－211.∴含x奇次冪的系數的和為a1＋a3＋＋a11＝－210.應選A.7．(1－x)4n＋1的張開式中系數最大的項是()A．第2n項B．第2n＋1項C．第2n項和第2n＋1項D．第2n＋2項[答案]B[剖析]令n＝1則(1－x)5張開式中系數最大的項為第3項．應選B.二、填空題8．(x－1)18的張開式中含x15的項的系數為________．(結果用數值表示)3x[答案]17[剖析]本題觀察二項張開式通項公式的應用．r18－r1r1rr18－3r.3r152Tr＋1＝C18x(－3x)＝(－3)C18x令18－2＝15，得r＝2.∴含x的項的系數為122(－)C18＝17.39．若(x＋1)n＝xn＋＋ax3＋bx2＋＋1(n∈N＋)，且ab＝31，那么n＝____________.[答案]11[剖析]由二項式定理可得a＝Cn3，b＝Cn2.又ab＝31，∴Cn3Cn2＝31.得n＝11.三、解答題28的張開式中，10．在x－2x(1)系數的絕對值最大的項是第幾項？(2)求二項式系數最大的項；(3)求系數最大的項；(4)求系數最小的項．[剖析](1)設第r＋1項系數的絕對值最大，即rrr－1r－12≥1，C8·2≥C，r9－r8·2∴rrr＋1r＋112C8·2≥C8·2.≥8－rr＋1.從而有5≤r≤故6.系數絕對值最大的項是第6項和第7項．(2)二項式系數最大的項為中間項，即為第5項．4－241120T5＝C8(x)·x2＝x6.(3)由(1)知張開式中的第6項及第7項的系數絕對值最大，而第6項系數為負，第7項的系數為正．則系數最大的項為T＝C6226＝17928·(x)－211.7xx(4)系數最小的項為5x)325x17T6＝C8·(－2＝－1792x9＝－1792x－.x2一、選擇題1．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的張開式中，含x4項的系數是首項為－2，公差為3的等差數列的第幾項()A．13B．18C．11D．20[答案]D[剖析]含x4項的系數為C54＋C64＋C74＝C85－1＝55.設它為等差數列的第k項，則－2＋3(k－1)＝55.∴k＝20.應選D.2．(2013長·春十一高中高二期中12014的張開式中各項系數的和)若a為正實數，且(ax－x)為1，則該張開式第2014項為()11A.x2014B．－x20144028D．－4028C.2012x2012x[答案]D[剖析]由條件知，(a－1)2014＝1，∴a－1＝±1，∵a為正實數，∴a＝2.∴張開式的第2014項為：T2014＝C20142013·(2x)(·－1)2013x－2012＝－4028x－2012，應選D.＝－2C20141·x3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋＋bnan，且b0＋b1＋b2＋＋bn＝30，則自然數n的值為()A．3B．4C．5D．6[答案]B[剖析]令a＝1得：b0＋b1＋b2＋＋bn＝2＋22＋23＋＋2nn＝22－1＝2n＋12－1－2＝30.2n＋1＝32.∴n＝4.應選B.二、填空題4．設(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋＋|a6|＝________.[答案]729[剖析]∵|a0|＋|a1|＋＋|a6|就是(2x＋1)6張開式中各項系數的和，∴應為36＝729.5．若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，，a5為實數，則a3＝________.[答案]10[剖析]本題觀察二項式定理的張開式．x5＝[(x＋1)－1]5＝(x＋1)5－C51(x＋1)4＋C52(x＋1)3－C35(x＋1)2＋C54(x＋1)－C55(x＋1)0，∴a3＝C25＝10.合適的變形將問題簡化．三、解答題6．已知(2x－3)7＝a0(x－1)7＋a1(x－1)6＋＋a6(x－1)＋a7.(1)求a0＋a1＋a2＋＋a7；(2)求a0－a7.[剖析](1)令x＝2，得a0＋a1＋a2＋＋a7＝(4－3)7＝1.(2)令x＝1，得a7＝(2×1－3)7＝－1，7070x的系數a0＝C72(－3)＝128，∴a0－a7＝129.17．已知x＋n的張開式中偶數項的二項式系數的和比(a＋b)2n張開式中奇數項的二3x項式系數的和小120，求第一個張開式的第三項．[剖析](a＋b)2n張開式中奇數項的二項式系數的和為2n－1，x＋1n張開式中偶數23x項的二項式系數的和為2n－1.依題意，有2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0.解得2n＝16，或2n＝－15(舍)．∴n＝4.于是，第一個張開式中第三項為22T3＝C4(x)8．已知(1＋2x)n中2

1233＝6x.(1)若張開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求張開式中二項式系數最大的項的系數；(2)若張開式前三項的二項式系數和等于79，求張開式中系數最大的項．[剖析](1)∵C4n＋C6n＝2C5n，n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14.當n＝7時，張開式中二項式系數最大的項是T4和T5.T4的系數＝C37(1)423＝35，224134T5的系數＝C7()2＝70.當n＝14時，二項式系數最大的項是T8.177T8的系數＝C14(2)2＝