第四章高階線性微分方程

Higher-OrderLinearODE12022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第1頁!2

§4.1高階線性微分方程的一般理論

§4.2常系數高階線性方程的解法§4.3高階方程的降階和冪級數解法本章內容/MainContents/CH.4Higher-OrderLinearODE2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第2頁!3理解高階線性方程解的性質和解的結構熟練掌握常系數高階線性方程的解法本章要求/Requirements/掌握高階方程的一般解法CH.4Higher-OrderLinearODE2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第3頁!§4.1高階線性微分方程的

一般理論

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第4頁!5n

階線性微分方程一般形式：其中是區間上的連續函數。稱它為n階齊次線性微分方程，而方程（4.1）為n階非齊次線性微分方程。4.1.1引言

/Introducation/

n

階微分方程一般形式：2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第5頁!64.1.2齊線性方程解的性質與結構

定理2

（疊加原理）如果則它們的線性組合的解，這里是任意常數。是方程（4.2）也是（4.2）的k個解，例有解2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第6頁!7問題：時，若能否成為方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使為方程（4.2）的通解還需滿足一定的條件。?當是齊線性方程的解，如在上例中2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第7頁!8定義在區間上的k個可微k-1次的函數所作成的行列式稱為這些函數的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第8頁!9它的系數行列式方程存在非零解的充要條件是系數行列式必須為零，即由線性代數理論證畢其逆定理是否成立？例如：即由其構成的伏朗斯基行列式為零，但它們也可能是線性無關的。不一定2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第9頁!10如果方程(4.2)的解在區間上線性無關，則任何點上都不等于零，即在這個區間的定理4設有某個，使得考慮關于的齊次線性代數方程組證明

反證法（4.9）2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第10頁!11定理5

n

階齊線性方程(4.2)一定存在n個線性無關的解，線性相關定理4定理3重要結論方程(4.2)的解在區間上線性無關的充分必要條件是且任意n+1個解都線性相關。證明在上連續，取則滿足條件存在唯一。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第11頁!12任意n+1個解都線性相關。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第12頁!13

4.1.3非齊線性方程與常數變易法

性質1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，則性質2

方程（4.1）的任意兩個解之差必為方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第13頁!14設為方程（4.2）的基本解組，為（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齊線性方程齊線性方程非齊線性方程通解特解基解組表示關鍵常數變易法為（4.1）的解。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第14頁!15（4.16）代入方程（4.1）2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第15頁!16特解通解非齊線性方程的通解等于對應齊次方程的結構:通解與自身的一個特解之和。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第16頁!17例2

求方程于域解對應的齊線性方程為上的所有解。得易見有基本解組這里A、B

為任意常數。設為方程的解故得原方程的通解（為任意常數)

2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第17頁!18理解高階齊次線性方程解的性質和解的結構理解高階非齊次線性方程解的性質和解的結構本節要求/Requirements/2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第18頁!19方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且滿足初始條件：定理1及都是區間則對于任一及任意的方程（4.1）存在，定義于區間上的連續函數,唯一解如果2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第19頁!20證明2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第20頁!21函數線性無關和相關定義在上的函數，如果存在使得恒等式不全為零的常數對所有成立，稱這些函數是線性相關的，否則稱是線性無關的。如上線性無關上線性相關上線性無關要使得則2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第21頁!22

定理3在區間上線性相關，上它們的伏朗斯基行列式。則在證明由假設，即知存在一組不全為零的常數（4.6）（4.7）使得依次對t微分此恒等式，得到若函數的齊次線性代數方程組，關于2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第22頁!23故是線性無關的。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第23頁!24其系數行列式，故（4.9）有非零解構造函數根據疊加原理，是方程（4.2）的解，且滿足初始條件由解的唯一性知，即因為不全為0，與的假設矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，線性無關證畢也滿足初始條件（4.10）2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第24頁!25線性無關。即齊線性方程(4.2)一定存在n個線性無關的解。任取方程(4.2)的n+1個解，2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第25頁!26

定理6（通解結構）其中是任意常數，且通解（4.11）是方程（4.2）的n個線性無關的解，則方程（4.2）的通解可表為（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一組n個線性無關解稱為它的一個基本解組。如果n

階齊線性方程的所有解構成一個n維線性空間。2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第26頁!27是任意常數，且通解（4.14）包括定理7為方程（4.2）的基本解組，是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解為其中（4.14）設方程（4.1）的所有解。證明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n個獨立的任意常數，是通解。2)是方程（4.1）的任一個解，則是方程（4.2）的解證畢2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第27頁!28令2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第28頁!29方程組有唯一的解，設為（4.16）2022/12/10常微分方程-重慶科技學院-李可人高階線性微分方程的一般理論共31頁，您現在瀏覽的是第29頁!30例1

求方程基本解組為，的通解，已知它對應齊線性方程的解解得原方程