課題:§1.5.2點到直線的距離目標要求1、理解并掌握點到直線的距離公式的推導方法．2、理解并掌握點到直線的距離公式．3、理解并掌握兩條平行線間的距離公式．4、理解并掌握距離公式的綜合運用．學科素養目標本章內容的呈現，除了注意體現解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學生的認知規律，通過設計相關的問題情景，降低學習的難度，使學生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現過程中，從學生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內在聯系．數形結合是本章重要的數學思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數形結合的典范，而且在研究幾何圖形的性質時，也充分體現“形”的直觀性、“數”的嚴謹性．重點難點重點：兩條平行線間的距離公式．難點：距離公式的綜合運用．教學過程基礎知識點1.點到直線的距離(1)公式:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=___________QUOTE.(2)本質:用代數方法求平面內點到直線的距離.【思考】能不能直接用直線的斜截式方程求點到直線的距離?2.兩條平行直線間的距離(1)定義:兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的__________的長.(2)公式:直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離d=___________________.(3)本質:用代數方法求平面內兩條平行直線間的距離.【思考】直線l1,l2的方程具備什么特征時,才能直接應用公式求距離?【課前基礎演練】題1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)題2．兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)題3．點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3B．eq\f(5,3)C．1D．eq\f(\r(2),2)題4．已知點M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數m＝()A．0B．eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)題5．已知點P(1＋t，1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點P的坐標為()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)題6．若第二象限內的點P(m，1)到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)，則m的值為________.題7．直線4x－3y＋5＝0與直線8x－6y＋5＝0之間的距離為________.【當堂鞏固訓練】題8．已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于()A．eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)D．－eq\f(7,9)或eq\f(1,3)題9．已知點P(a，b)是第二象限的點，那么它到直線x－y＝0的距離是()A．eq\f(\r(2),2)(a－b)B．eq\f(\r(2),2)(b－a) C．b－aD．eq\r(a2＋b2)題10．若兩平行直線x＋2y＋m＝0(m>0)與x－ny－3＝0之間的距離是eq\r(5)，則m＋n＝()A．0B．1C．－1D．－2【題11.到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0題12．直線l過點A(3，4)，且與點B(－3，2)的距離最遠，則直線l的方程為()A．3x－y－5＝0B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0D．3x＋y－13＝0題13．直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0題14．已知直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0，則下列結論正確的是()A．直線l的傾斜角是eq\f(π,6)B．點(eq\r(3)，0)到直線l的距離是2C．若直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0，則l⊥mD．過(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是eq\r(3)x－y－4＝0題15．若點A(a，1)到直線3x－4y＝1的距離為1，則a的值為()A．0B．eq\f(10,3)C．5D．－eq\f(10,3)題16．兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.題17．已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________.題18．已知直線l經過點(－2，3)，且原點到直線l的距離等于2，求直線l的方程．【課堂跟蹤拔高】題19．點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是()A．8B．2eq\r(2)C．eq\r(2)D．16題20．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為()A．eq\r(2)B．eq\f(8\r(2),3)C．eq\r(3)D．eq\f(8\r(3),3)題21．已知點A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，則△ABC的面積等于()A．3B．4C．5D．6題22．(多選題)S＝{直線l|eq\f(sinθ,m)x＋eq\f(cosθ,n)y＝1，m，n為正常數，θ∈[0，2π)}，下列結論中錯誤的是()A．當θ＝eq\f(π,4)時，S中直線的斜率為eq\f(n,m)B．S中所有直線均經過同一個定點C．當m≥n時，S中的兩條平行直線之間的距離的最小值為2nD．S中的所有直線可覆蓋整個直角坐標平面題23．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則實數k的值是________.題24．直線l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒過定點________；若過原點作直線l2∥l1，則當直線l1與l2的距離最大時，直線l2的方程為________.題25．如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標軸圍成的梯形的面積為4，求直線l2的方程．題26．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，eq\r(m))(1<m<4)，C(4，2)，求m為何值時，△ABC的面積S最大？編號：008課題:§1.5.2點到直線的距離目標要求1、理解并掌握點到直線的距離公式的推導方法．2、理解并掌握點到直線的距離公式．3、理解并掌握兩條平行線間的距離公式．4、理解并掌握距離公式的綜合運用．學科素養目標本章內容的呈現，除了注意體現解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學生的認知規律，通過設計相關的問題情景，降低學習的難度，使學生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現過程中，從學生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內在聯系．數形結合是本章重要的數學思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數形結合的典范，而且在研究幾何圖形的性質時，也充分體現“形”的直觀性、“數”的嚴謹性．重點難點重點：兩條平行線間的距離公式．難點：距離公式的綜合運用．教學過程基礎知識點1.點到直線的距離(1)公式:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.(2)本質:用代數方法求平面內點到直線的距離.【思考】能不能直接用直線的斜截式方程求點到直線的距離?提示:不能,必須先化成一般式,再代入公式求距離.2.兩條平行直線間的距離(1)定義:兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)公式:直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離d=.(3)本質:用代數方法求平面內兩條平行直線間的距離.【思考】直線l1,l2的方程具備什么特征時,才能直接應用公式求距離?提示:直線l1,l2的方程必須是一般式,且一次項系數A,B相同.【課前基礎演練】題1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)【解析】選D.d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).題2．兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)【解析】選C.d＝eq\f(|－7－（－12）|,\r(32＋42))＝1.題3．點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3B．eq\f(5,3)C．1D．eq\f(\r(2),2)【解析】選B.點P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3).題4．已知點M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數m＝()A．0B．eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)【解析】選D.點M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4).題5．已知點P(1＋t，1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點P的坐標為()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)【解析】選C.直線l：y＝2x－1可化為2x－y－1＝0，依題意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.當t＝1時，點P的坐標為(2，4)；當t＝－1時，點P的坐標為(0，－2).題6．若第二象限內的點P(m，1)到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)，則m的值為________.【解析】由eq\f(|m＋1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，得m＝－4或m＝0，又因為m<0，所以m＝－4.答案：－4題7．直線4x－3y＋5＝0與直線8x－6y＋5＝0之間的距離為________.【解析】直線8x－6y＋5＝0化為4x－3y＋eq\f(5,2)＝0，則由兩條平行直線之間的距離公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－\f(5,2))),\r(42＋（－3）2))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)【當堂鞏固訓練】題8．已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于()A．eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)D．－eq\f(7,9)或eq\f(1,3)【解析】選C.由點到直線的距離公式可得eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化簡得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得實數a＝－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3).題9．已知點P(a，b)是第二象限的點，那么它到直線x－y＝0的距離是()A．eq\f(\r(2),2)(a－b)B．eq\f(\r(2),2)(b－a) C．b－aD．eq\r(a2＋b2)【解析】選B.因為P(a，b)是第二象限的點，所以a<0，b>0.所以a－b<0.所以點P到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(b－a).題10．若兩平行直線x＋2y＋m＝0(m>0)與x－ny－3＝0之間的距離是eq\r(5)，則m＋n＝()A．0B．1C．－1D．－2【解析】選A.由直線x＋2y＋m＝0(m>0)與x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，又因為直線x＋2y＋m＝0(m>0)與x＋2y－3＝0的距離為eq\r(5)，所以eq\f(|m＋3|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝0.題11.到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0【解析】選D.因為所求與直線2x＋y＋1＝0的距離為eq\f(\r(5),5)，所以可得所求直線與已知直線平行，設所求直線方程為2x＋y＋c＝0(c≠1)，所以d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－1)),\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.題12．直線l過點A(3，4)，且與點B(－3，2)的距離最遠，則直線l的方程為()A．3x－y－5＝0B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0D．3x＋y－13＝0【解析】選D.由題意知，當l與AB垂直時，符合要求，因為kAB＝eq\f(4－2,3－（－3）)＝eq\f(1,3)，所以直線l的斜率k＝－3，所以直線l的方程為y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.題13．直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0【解析】選D.方法一：設所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0，由題知eq\f(|2－3－6|,\r(22＋32))＝eq\f(|2－3＋C|,\r(22＋32))，解得C＝－6(舍去)或C＝8.故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0.方法二：令(x0，y0)為所求直線上任意一點，則點(x0，y0)關于(1，－1)的對稱點為(2－x0，－2－y0)，此點在直線2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線方程為2x＋3y＋8＝0.題14．已知直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0，則下列結論正確的是()A．直線l的傾斜角是eq\f(π,6)B．點(eq\r(3)，0)到直線l的距離是2C．若直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0，則l⊥mD．過(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是eq\r(3)x－y－4＝0【解析】選BD.直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝tanθ＝eq\r(3)，故直線l的傾斜角是eq\f(π,3)，A錯誤；點(eq\r(3)，0)到直線l的距離d＝eq\f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝2，B正確；因為直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq\f(\r(3),3)，k·k′＝1≠－1，故直線l與直線m不垂直，C錯誤；過(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，整理得eq\r(3)x－y－4＝0，D正確．題15．若點A(a，1)到直線3x－4y＝1的距離為1，則a的值為()A．0B．eq\f(10,3)C．5D．－eq\f(10,3)【解析】選AB.點A(a，1)到直線3x－4y＝1的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3a－4－1)),5)＝1，故eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3a－5)),5)＝1，解得a＝0或a＝eq\f(10,3).題16．兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.【解析】由題意，得eq\f(6,3)＝eq\f(m,1)，所以m＝2，將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線間距離公式，得eq\f(|－1＋6|,\r(62＋22))＝eq\f(5,\r(40))＝eq\f(\r(10),4).答案：eq\f(\r(10),4)題17．已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________.【解析】設直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得eq\f(|3－C|,\r(22＋12))＝eq\f(|C＋1|,\r(22＋12))，解得C＝1，所以直線l的方程為2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0題18．已知直線l經過點(－2，3)，且原點到直線l的距離等于2，求直線l的方程．【解析】①當直線l的斜率不存在時，直線的方程為x＝－2，符合原點到直線l的距離等于2.②當直線l的斜率存在時，設所求直線l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝eq\f(|0－0＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2，得k＝－eq\f(5,12)，即直線l的方程為5x＋12y－26＝0.綜上所求直線的方程為x＝－2或5x＋12y－26＝0.【課堂跟蹤拔高】題19．點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是()A．8B．2eq\r(2)C．eq\r(2)D．16【解析】選A.x2＋y2＝(eq\r(（x－0）2＋（y－0）2))2，它表示原點到(x，y)距離的平方，x2＋y2的最小值即為原點到直線x＋y－4＝0的距離的平方，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0＋0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.題20．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為()A．eq\r(2)B．eq\f(8\r(2),3)C．eq\r(3)D．eq\f(8\r(3),3)【解析】選B.由直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))x＋3y＋2a＝0平行，則3＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，當a＝3時，直線l1：x＋3y＋6＝0與l2：x＋3y＋6＝0重合；當a＝－1時，直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0平行，兩直線之間的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).題21．已知點A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，則△ABC的面積等于()A．3B．4C．5D．6【解析】選C.設AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，AB＝eq\r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.題22．(多選題)S＝{直線l|eq\f(sinθ,m)x＋eq\f(cosθ,n)y＝1，m，n為正常數，θ∈[0，2π)}，下列結論中錯誤的是()A．當θ＝eq\f(π,4)時，S中直線的斜率為eq\f(n,m)B．S中所有直線均經過同一個定點C．當m≥n時，S中的兩條平行直線之間的距離的最小值為2nD．S中的所有直線可覆蓋整個直角坐標平面【解析】選ABD.當θ＝eq\f(π,4)時，sinθ＝cosθ，S中直線的斜率為－eq\f(n,m)，故A不正確；根據eq\f(sinθ,m)x＋eq\f(cosθ,n)y＝1，可知S中所有直線不可能經過一個定點，B不正確；當m≥n時，S中的兩條平行直線間的距離為d＝eq\f(2,\r(\f(sin2θ,m2)＋\f(cos2θ,n2)))≥2n，即最小值為2n，C正確；(0，0)不滿足方程，所以S中的所有直線不可覆蓋整個平面，D不正確．題23．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則實數k的值是________.【解析】因為eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，所以|16－12k|＝52，所以k＝－3或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)題24．直線l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒過定點________；若過原點作直線l2∥l1，則當直線l1與l2的距離最大時，直線l2的方程為________.【解析】由2mx＋(m－2)y＋4＝0得(2x＋y)m＋(4－2y)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0,4－2y＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2))，所以l1恒過定點(－1，2).設直線l2的方程為：2mx＋(m－2)y＋C＝0，因為l2過原點，所以C＝0，所以l2：2mx＋(m－2)y＝0，則l1，l2之間距離d＝eq\f(4,\r(4m2＋（m－2）2))＝eq\f(4,\r(5m2－4m＋4)).當m＝eq\f(2,5)時，(5m2－4m＋4)min＝eq\f(16,5)，所以dmax＝eq\r(5).所以l2的方程為：y＝