拉普拉斯變換第八章拉普拉斯變換第八章1§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1

設函數f(t)當時有定義，而且積分

在復數s的某一個區域內收斂，則由此積分所確定的函數記為F(s)=L[f](s)=.稱為函數的f(t)的拉普拉斯變換式，F(s)稱為f(t)的拉普拉斯變換(或稱為象函數).若F(s)是f(t)的拉普拉斯變換，則稱f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(或稱為原象函數)，記作f(t)=L-1[F](t).§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1設函數f(t)當2例8.1求階躍函數u(t)=的拉普拉斯變換.解：L[u](s)=例8.2求函數f(t)=eat的拉普拉斯變換，其中a是復常數.

解：當Re(s)>Re(a)時，L[f](s)=即L[eatu(t)](s)=,Re(s)>Re(a)

例8.1求階躍函數u(t)=3例8.3求函數tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數.解：L[tn](s)=用分部積分法，得所以有L[tn]=L[tn-1].

當n=1時L[t](s)=當n=2時，有L[t2](s)=L[tn](s)=例8.3求函數tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數.解：L[4定理8.1若函數f(t)滿足下列條件：(1)在t0的任意有限區間上分段連續；(2)存在常數M>0與00，使得即當t時，函數f(t)的增長速度不超過某一個指數函數，0稱為函數f(t)的增長指數.則函數f(t)的拉普拉斯變換在半平面Re(s)>0上存在，右端的積分在閉區域Re(s)>0上絕對收斂且一致收斂，并且在半平面Re(s)>0內，F(s)為解析函數.定理8.1若函數f(t)滿足下列條件：5證明：設=Re(s),

，則由條件(2)有所以在Re(s)上存在.右端積分在Re(s)上也是絕對且一致收斂.證明：設=Re(s),6積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以，在上可導.由的任意性知,在上存在，且為解析函數.定理得證.積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以7例8.4求正弦函數sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實數.解：當時，有余弦函數coskt的拉普拉斯變換例8.4求正弦函數sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實數.8例8.5求周期為2a的函數的拉普拉斯變換.解：由拉普拉斯變換的定義，有令，則有例8.5求周期為2a的函數解：由拉普拉斯變換的定義，有令9根據函數的定義，有所以，記.當時，有因此有根據函數的定義，有所以，記.10故有故有11單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換.解：單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數12§8.2拉普拉斯變換的性質定理8.2對函數的拉普拉斯變換有下列性質成立.(1)（線性性質）設，為常數，記，，則有

或有

(2)（延遲性質）若，則對，有

或有

(3)（位移性質）記.對常數s0，若，則有§8.2拉普拉斯變換的性質定理8.2對函數的拉普拉斯13證明：性質1說明函數的線性組合的拉普拉斯變換等于各函數的拉普拉斯變換的線性組合.證明性質2當t<0時，有，所以當時，因此有證明：性質1說明函數的線性組合的拉普拉斯變換等于各函數的拉14例8.7求函數的拉普sint拉斯變換，其中為實數.解：

例8.7求函數的拉普sint拉斯變換，其中為實數.解：15例8.8求的拉普拉斯變換.解：例8.9求.解：例8.8求的拉普拉斯16解：階躍函數u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數的拉普拉斯變換.根據延遲性質，有解：階躍函數u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數17*例8.11設是周期為T的函數，其中，即是指，，，.求的拉普拉斯變換.解：定義函數記由延遲性質，有 *例8.11設是周期為T18當時，有，所以上式括號內是一個公比的模小于1的等比級數，從而有當時，有19定理8.3(微分性質）記，則有

其中.同時我們還有證明：由拉普拉斯變換的定義，有由分部積分公式，得 定理8.3(微分性質）記20推論8.1記，則有例8.13求函數的拉普拉斯變換，其中為常數.解：由于再由線性性質，有故有推論8.1記21定理8.4（積分性質），則有

若積分收斂，則的拉普拉斯變換存在，且有證明：記，則有，且.定理8.4（積分性質）22例8.15求函數的拉普拉斯變換.解：

例8.15求函數的拉23定理8.5*（初值定理）記.如果極限存在，則有

其中.證明：根據拉普拉斯變換的微分性質定理8.3，有根據假設，存在，所以也存在，而且兩者相等.定理8.5*（初值定理）記24又因為拉普拉斯變換存在定理所述的關于積分的一致收斂性，從而容許交換積分與極限的次序，所以有又因為拉普拉斯變換存在定理所述的關于積分的一致收斂性，從而容25定理8.6*（終值定理）記.如果存在，且的所有奇點在左半平面，其中0是函數f的增長指數，則有證明：由定理的條件以及微分性質定理8.3，有兩邊關于s取極限，得又因為定理8.6*（終值定理）記26故有即是故有即是27卷積定理當f和g滿足條件：時，，則上式可表示為卷積定理當f和g滿足條件：時，28定義8.2

設函數f和g滿足條件：時，，定義f和g的卷積為例8.17計算函數和的卷積.解：定義8.2設函數f和g滿足條件：時，29定理8.7（卷積定理）設函數f(t)和g(t)滿足拉普拉斯變換存在定理的條件，記，，則的拉普拉斯變換一定存在，且有

或是證明：容易得到滿足拉普拉斯變換存在定理的條件，其變換式為定理8.7（卷積定理）設函數f(t)和g(t)滿足拉普拉斯30作變量替換，則有故有作變量替換，則有故有31§8.3拉普拉斯逆變換函數的拉普拉斯變換實際上就是函數的傅里葉變換，其中是階躍函數.當函數滿足傅里葉變換定理的條件時，對于而函數在該點連續，有§8.3拉普拉斯逆變換函數的拉普拉斯變換實際上32兩邊同時乘以，則對，有令，則有從象函數F(s)出發求原象函數f(t)的一般公式.右邊的積分稱為拉普拉斯變換的反演積分.兩邊同時乘以，則對，有令33定理8.8記.如果函數的全部奇點s1，s2，…，sn都位于半平面，其中σ為一個適當的常數，且當的極限為零，則對，有證明：作如圖所示的閉曲線，其中是半圓周，位于區域內，L為直線當R充分大時，閉曲線所圍的區域包含F(s)的所有奇點.因為函數在整個復平面上解析，所以函數的奇點就是F(s)的全部奇點.定理8.8記34根據留數定理，有即令R+，當t>0時，上式左端第二個積分的極限為零，即故有根據留數定理，有即令R+，當t>0時，上式左端第二個積分35例8.18求函數的拉普拉斯逆變換.解：函數F(s)有兩個單極點和所以，當t>0時，有例8.18求函數36例8.20求函數的拉普拉斯逆變換.解：由拉普拉斯逆變換公式，有由拉普拉斯變換的位移性質，有所以因此例8.20求函數37*§8.4拉普拉斯變換的應用例8.22求初值問題

在區間上的解.解：記.在第一式兩邊取拉普拉斯變換，得解代數方程，有*§8.4拉普拉斯變換的應用例8.22求初值問題解：記38其中

求拉普拉斯逆變換，得應用拉普拉斯變換求常系數線性微分方程問題的主要步驟有：1.對方程兩邊取拉普拉斯變換，利用初值條件得到關于像函數F(s)的代數方程；2.求解關于F(s)的代數方程，得到F(s)的表達式；3.對F(s)的表達式取拉普拉斯逆變換，求出f(t)，得微分方程的解.其中求拉普拉斯逆變換，得應用拉普拉斯變換求常系數線性微分39例8.23求方程組滿足初始條件的解.解：記.對方程組兩邊取拉普拉斯變換，并考慮初始條件，則有例8.23求方程組解：記40將方程組整理化簡得解代數方程組，得Y(s)的原像函數將方程組整理化簡得解代數方程組，得Y(s)的原像函數41經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫42謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演講人：XXXXXX時間：XX年XX月XX日

謝謝大家演講人：XXXXXX43拉普拉斯變換第八章拉普拉斯變換第八章44§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1

設函數f(t)當時有定義，而且積分

在復數s的某一個區域內收斂，則由此積分所確定的函數記為F(s)=L[f](s)=.稱為函數的f(t)的拉普拉斯變換式，F(s)稱為f(t)的拉普拉斯變換(或稱為象函數).若F(s)是f(t)的拉普拉斯變換，則稱f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(或稱為原象函數)，記作f(t)=L-1[F](t).§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1設函數f(t)當45例8.1求階躍函數u(t)=的拉普拉斯變換.解：L[u](s)=例8.2求函數f(t)=eat的拉普拉斯變換，其中a是復常數.

解：當Re(s)>Re(a)時，L[f](s)=即L[eatu(t)](s)=,Re(s)>Re(a)

例8.1求階躍函數u(t)=46例8.3求函數tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數.解：L[tn](s)=用分部積分法，得所以有L[tn]=L[tn-1].

當n=1時L[t](s)=當n=2時，有L[t2](s)=L[tn](s)=例8.3求函數tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數.解：L[47定理8.1若函數f(t)滿足下列條件：(1)在t0的任意有限區間上分段連續；(2)存在常數M>0與00，使得即當t時，函數f(t)的增長速度不超過某一個指數函數，0稱為函數f(t)的增長指數.則函數f(t)的拉普拉斯變換在半平面Re(s)>0上存在，右端的積分在閉區域Re(s)>0上絕對收斂且一致收斂，并且在半平面Re(s)>0內，F(s)為解析函數.定理8.1若函數f(t)滿足下列條件：48證明：設=Re(s),

，則由條件(2)有所以在Re(s)上存在.右端積分在Re(s)上也是絕對且一致收斂.證明：設=Re(s),49積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以，在上可導.由的任意性知,在上存在，且為解析函數.定理得證.積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以50例8.4求正弦函數sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實數.解：當時，有余弦函數coskt的拉普拉斯變換例8.4求正弦函數sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實數.51例8.5求周期為2a的函數的拉普拉斯變換.解：由拉普拉斯變換的定義，有令，則有例8.5求周期為2a的函數解：由拉普拉斯變換的定義，有令52根據函數的定義，有所以，記.當時，有因此有根據函數的定義，有所以，記.53故有故有54單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換.解：單位脈沖函數(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數55§8.2拉普拉斯變換的性質定理8.2對函數的拉普拉斯變換有下列性質成立.(1)（線性性質）設，為常數，記，，則有

或有

(2)（延遲性質）若，則對，有

或有

(3)（位移性質）記.對常數s0，若，則有§8.2拉普拉斯變換的性質定理8.2對函數的拉普拉斯56證明：性質1說明函數的線性組合的拉普拉斯變換等于各函數的拉普拉斯變換的線性組合.證明性質2當t<0時，有，所以當時，因此有證明：性質1說明函數的線性組合的拉普拉斯變換等于各函數的拉57例8.7求函數的拉普sint拉斯變換，其中為實數.解：

例8.7求函數的拉普sint拉斯變換，其中為實數.解：58例8.8求的拉普拉斯變換.解：例8.9求.解：例8.8求的拉普拉斯59解：階躍函數u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數的拉普拉斯變換.根據延遲性質，有解：階躍函數u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數60*例8.11設是周期為T的函數，其中，即是指，，，.求的拉普拉斯變換.解：定義函數記由延遲性質，有 *例8.11設是周期為T61當時，有，所以上式括號內是一個公比的模小于1的等比級數，從而有當時，有62定理8.3(微分性質）記，則有

其中.同時我們還有證明：由拉普拉斯變換的定義，有由分部積分公式，得 定理8.3(微分性質）記63推論8.1記，則有例8.13求函數的拉普拉斯變換，其中為常數.解：由于再由線性性質，有故有推論8.1記64定理8.4（積分性質），則有

若積分收斂，則的拉普拉斯變換存在，且有證明：記，則有，且.定理8.4（積分性質）65例8.15求函數的拉普拉斯變換.解：

例8.15求函數的拉66定理8.5*（初值定理）記.如果極限存在，則有

其中.證明：根據拉普拉斯變換的微分性質定理8.3，有根據假設，存在，所以也存在，而且兩者相等.定理8.5*（初值定理）記67又因為拉普拉斯變換存在定理所述的關于積分的一致收斂性，從而容許交換積分與極限的次序，所以有又因為拉普拉斯變換存在定理所述的關于積分的一致收斂性，從而容68定理8.6*（終值定理）記.如果存在，且的所有奇點在左半平面，其中0是函數f的增長指數，則有證明：由定理的條件以及微分性質定理8.3，有兩邊關于s取極限，得又因為定理8.6*（終值定理）記69故有即是故有即是70卷積定理當f和g滿足條件：時，，則上式可表示為卷積定理當f和g滿足條件：時，71定義8.2

設函數f和g滿足條件：時，，定義f和g的卷積為例8.17計算函數和的卷積.解：定義8.2設函數f和g滿足條件：時，72定理8.7（卷積定理）設函數f(t)和g(t)滿足拉普拉斯變換存在定理的條件，記，，則的拉普拉斯變換一定存在，且有

或是證明：容易得到滿足拉普拉斯變換存在定理的條件，其變換式為定理8.7（卷積定理）設函數f(t)和g(t)滿足拉普拉斯73作變量替換，則有故有作變量替換，則有故有74§8.3拉普拉斯逆變換函數的拉普拉斯變換實際上就是函數的傅里葉變換，其中是階躍函數.當函數滿足傅里葉變換定理的條件時，對于而函數在該點連續，有§8.3拉普拉斯逆變換函數的拉普拉斯變換實際上75兩邊同時乘以，則對，有令，則有從象函數F(s)出發求原象函數f(t)的一般公式.右邊的積分稱為拉普拉斯變換的反演積分.兩邊同時乘以，則對，有令76定理8.8記.如果函數的全部奇點s1，s2，…，sn都位于半平面，其中σ為一個適當的常數，且當的極限為零，則對，有證明：作如圖所示的閉曲線，其中是半圓周，位于區域內，L為直線當R充分大時，閉曲線所圍的區域包含F(s)的所有奇點.因為函數在整個復平面上解析，所以函數