第5章自適應模糊控制模糊控制的突出優點是能夠比較容易地將人的控制經驗溶入到控制器中，但若缺乏這樣的控制經驗，很難設計出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制規則，不便于控制參數的學習和調整，使得構造具有自適應的模糊控制器較困難。第5章自適應模糊控制模糊控制的突出優點是能夠1自適應模糊控制是指具有自適應學習算法的模糊邏輯系統，其學習算法是依靠數據信息來調整模糊邏輯系統的參數。一個自適應模糊控制器可以用一個單一的自適應模糊系統構成，也可以用若干個自適應模糊系統構成。與傳統的自適應控制相比，自適應模糊控制的優越性在于它可以利用操作人員提供的語言性模糊信息，而傳統的自適應控制則不能。這一點對具有高度不確定因素的系統尤其重要。自適應模糊控制是指具有自適應學習算法的模糊邏輯系2自適應模糊控制有兩種不同的形式：(1)直接自適應模糊控制:根據實際系統性能與理想性能之間的偏差，通過一定的方法來直接調整控制器的參數；(2)間接自適應模糊控制:通過在線辨識獲得控制對象的模型，然后根據所得模型在線設計模糊控制器。自適應模糊控制有兩種不同的形式：35.1模糊逼近5.1.1模糊系統的設計設二維模糊系統為集合上的一個函數，其解析式形式未知。假設對任意一個，都能得到

，則可設計一個逼近的模糊系統。模糊系統的設計步驟為：步驟1：在上定義個標準的、一致的和完備的模糊集。

5.1模糊逼近設二維模糊系統為集合4步驟2：組建條模糊集IF-THEN規則：

：如果為且為，則為其中，

將模糊集的中心（用表示）選擇為

（5.1）步驟2：組建條模糊集IF-TH5步驟3：采用乘機推理機，單值模糊器和中心平均解模糊器，根據條規則來構造模糊系統

（5.2）5.1.2模糊系統的逼近精度步驟3：采用乘機推理機，單值模糊器和中心平均解模糊器，根據6萬能逼近定理表明模糊系統是除多項函數逼近器、神經網絡之外的一個新的萬能逼近器。模糊系統較之其它逼近器的優勢在于它能夠有效地利用語言信息的能力。萬能逼近定理是模糊邏輯系統用于非線性系統建模的理論基礎，同時也從根本上解釋了模糊系統在實際中得到成功應用的原因。萬能逼近定理表明模糊系統是除多項函數逼7萬能逼近定理令為式（5.2）中的二維模糊系統，為式（5.1）中的未知函數，如果在上是連續可微的，模糊系統的逼近精度為：

(5.3)

(5.4)式中，無窮維范數定義為。萬能逼近定理令為式（5.2）中的二維模糊系統，8由(5.4)式可知：假設的模糊集的個數為，其變化范圍的長度為，則模糊系統的逼近精度滿足即：由(5.4)式可知：假設的模糊集的個數為，其9由該定理可得到以下結論：（1）形如式（5.2）的模糊系統是萬能逼近器，對任意給定的，都可將和選得足夠小，使

成立，從而保證。（2）通過對每個定義更多的模糊集可以得到更為準確的逼近器，即規則越多，所產生的模糊系統越有效。（3）為了設計具有預定精度的模糊系統，必須知道關于和的導數邊界，即和。同時，在設計過程中，還必須知道在處的值。

由該定理可得到以下結論：105.1.3仿真實例

實例1針對一維函數，設計一個模糊系統，使之一致的逼近定義在上的連續函數，所需精度為，即。5.1.3仿真實例11由于，由式（5.3）可知，，故取滿足精度要求。取，則模糊集的個數為。在上定義31個具有三角形隸屬函數的模糊集，如圖5-1所示。所設計的模糊系統為：由于，由式（5.3）可知12

圖5-1隸屬函數

13一維函數逼近仿真程序見chap5_1.m。逼近效果如圖5-2和5-3所示

：

圖5-2模糊逼近

一維函數逼近仿真程序見chap5_1.m。逼近效果如14

圖5-3逼近誤差

15實例2針對二維函數，設計一個模糊系統，使之一致的逼近定義在上的連續函數

所需精度為。

實例2針對二維函數，設計一個模糊系統，使16由于，由式（5.3）可知，取，時，有滿足精度要求。由于，此時模糊集的個數為即和分別在上定義11個具有三角形隸屬函數的模糊集。

由于，17所設計的模糊系統為：

(5.6)該模糊系統由條規則來逼近函數

所設計的模糊系統為：18二維函數逼近仿真程序見chap5_2.m。和的隸屬函數及的逼近效果如圖5-4至5-7所示

二維函數逼近仿真程序見chap5_2.m。和19圖5-4的隸屬函數圖5-4的隸屬函數20

圖5-5的隸屬函數

圖5-5的隸屬函數21圖5-6模糊逼近

圖5-6模糊逼近22圖5-7逼近誤差圖5-7逼近誤差235.2間接自適應模糊控制5.2.1問題描述

考慮如下階非線性系統：(5.7)其中和為未知非線性函數，和分別為系統的輸入和輸出。設位置指令為，令

(5.8)5.2間接自適應模糊控制24選擇，使多項式的所有根部都在復平面左半開平面上。

取控制律為(5.9)將(5.9)代入(5.7)，得到閉環控制系統的方程：(5.10)由的選取，可得時，即系統的輸出漸進地收斂于理想輸出。

選擇，使多項式25如果非線性函數和是已知的，則可以選擇控制來消除其非線性的性質，然后再根據線性控制理論設計控制器。

如果非線性函數和是已知的，則可以選擇265.2.2控制器的設計

如果和未知，控制律（5.9）很難實現。可采用模糊系統和代替和，實現自適應模糊控制。

5.2.2控制器的設計271.基本的模糊系統以來逼近為例，可用兩步構造模糊系統：步驟1：對變量()，定義個模糊集合()。步驟2：采用以下條模糊規則來構造模糊系統：IFis…ANDisTHENis(5.11)其中，。

1.基本的模糊系統28采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊系統的輸出為(5.12)其中為的隸屬函數。采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊29令是自由參數，放在集合中。引入向量，(5.12)式變為(5.13)其中為維向量，其第個元素為(5.14)令是自由參數，放在集合中。引入302.自適應模糊滑模控制器的設計采用模糊系統逼近和，則控制律（5.9）變為

(5.15),(5.16)其中為模糊向量，參數和根據自適應律而變化。

2.自適應模糊滑模控制器的設計31設計自適應律為：

(5.17)(5.18)自適應模糊控制系統如圖5-8所示。設計自適應律為：32圖5-8自適應模糊控制系統圖5-8自適應模糊控制系統333.穩定性分析由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系統的閉環動態（5.19）令：

,（5.20）

3.穩定性分析34則動態方程（5.19）可寫為向量形式：(5.21)設最優參數為(5.22)

(5.23)其中和

分別為和的

集合。

則動態方程（5.19）可寫為向量形式：35定義最小逼近誤差為(5.24)式（5.21）可寫為：

（5.25）將式（5.16）代入式(5.25),可得閉環動態方程：

（5.26）該方程清晰地描述了跟蹤誤差和控制參數、之間的關系。自適應律的任務是為、確定一個調節機理，使得跟蹤誤差和參數誤差、達到最小。定義最小逼近誤差為36定義Lyapunov函數

(5.27)式中，是正常數，為一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

（5.28）其中是一個任意的正定矩陣，由式（5.20）給出。

定義Lyapunov函數37取，，。令，則（5.26）式變為：取，，38即的導數為：

（5.29）

即39將將自適應律（5.17）和（5.18）代入上式，得：

（5.30）

由于，通過選取最小逼近誤差非常小的模糊系統，可實現。

將將自適應律（5.17）和（5.18）代入上式，得：405.2.3仿真實例被控對象取單級倒立擺，如圖5-5所示，其動態方程如下：

其中和分別為擺角和擺速，，為小車質量，為擺桿質量，，為擺長的一半，，為控制輸入。

5.2.3仿真實例其中和分別為擺角和擺速，41位置指令為。取以下5種隸屬函數：

由于i=1,2,則用于逼近

和的模糊規則分別有25條。位置指令為。取以下5種隸屬函數：42圖5-5單級倒立擺系統示意圖

圖5-5單級倒立擺系統示意圖43根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-6所示。圖5-6的隸屬函數

根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-6所44倒立擺初始狀態為，和的初始值取0.10，采用控制律（5.9），取

自適應參數取，。在程序中，分別用、、和表示模糊系統的分子、分母及，仿真結果如圖5-7至圖5-10所示。

倒立擺初始狀態為，和的初始值取0.45圖5-7位置跟蹤圖5-7位置跟蹤46圖5-8控制輸入信號圖5-8控制輸入信號47圖5-9及的變化

圖5-9及的變化48圖5-10及的變化

圖5-10及的變化49間接模糊自適應控制仿真程序有5個：（1）隸屬函數設計程序：chap5_3mf.m；(2)Simulink主程序：chap5_3sim.mdl；(3)控制器S函數：chap5_3s.m；(4)被控對象S函數：chap5_3plant.m；(5)作圖程序：chap5_3plot.m。見附錄。

間接模糊自適應控制仿真程序有5個：505.3直接自適應模糊控制直接模糊自適應控制和間接自適應模糊控制所采用的規則形式不同。間接自適應模糊控制利用的是被控對象的知識，而直接模糊自適應控制采用的是控制知識。

5.3直接自適應模糊控制515.3.1問題描述考慮如下方程所描述的研究對象

（5.31）

（5.32）式中，為未知函數，為未知的正常數。

5.3.1問題描述52直接自適應模糊控制采用下面IF-THEN模糊規則來描述控制知識：如果是且…且是，則是

（5.33）

式中，，為中模糊集合，且。設位置指令為，令

(5.34)直接自適應模糊控制采用下面IF-THEN模糊規則來描述53選擇，使多項式的所有根部都在復平面左半開平面上。取控制律為(5.35)將(5.35)代入(5.31)，得到閉環控制系統的方程：(5.36)由的選取，可得時，即系統的輸出漸進地收斂于理想輸出。

選擇，使多項式54直接型模糊自適應控制是基于模糊系統設計一個反饋控制器和一個調整參數向量的自適應律，使得系統輸出盡可能地跟蹤理想輸出。

直接型模糊自適應控制是基于模糊系統設計一個反饋控制器555.3.2控制器的設計直接自適應模糊控制器為

（5.37）式中，

是一個模糊系統，是可調參數集合。

5.3.2控制器的設計56模糊系統可由以下兩步來構造：步驟1：

對變量，定義個模糊集合

()步驟2：用以下條模糊規則來構造模糊系統:

如果是且…且是，則是（5.38）其中，,。

模糊系統可由以下兩步來構造：57采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器來設計模糊控制器，即（5.39）令是自由參數，放在集合中，則模糊控制器為：

(5.40)其中為維向量。采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器來設計模糊控制58其第個元素為(5.41)模糊控制規則（5.33）是通過設置其初始參數而被嵌入到模糊控制器中的。

其第個元素為595.3.3自適應律的設計將式（5.35）、（5.37）代入式（5.31），并整理得：（5.42）令（5.43）5.3.3自適應律的設計令（5.43）60則閉環系統動態方程（5.42）可寫成向量形式：

（5.44）

（5.45）定義最優參數為:則閉環系統動態方程（5.42）可寫成向量形式：（5.45）定61定義最小逼近誤差為：

（5.46）由式（5.44）可得：

（5.47）由式（5.40），可將誤差方程（5.47）改寫為：

（5.48）

智能控制--第5章自適應模糊控制的理論基礎62定義Lyapunov函數：

（5.49）其中參數是正的常數。為一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

（5.50）其中是一個任意的正定矩陣，由式（5.43）給出。

定義Lyapunov函數：63令則（5.48）式變為：取令取64

即的導數為：

（5.51）

即65令為的最后一列，由可知則式（5.51）變為：

（5.52）取自適應律

（5.53）則

（5.54）

令為的最后一列，由可66由于，是最小逼近誤差，通過設計足夠多規則的模糊系統，可使充分小，并滿足，從而使得。直接型自適應模糊控制系統的結構如圖5-15所示。由于，是最小逼近誤差，通過設計足夠多規則67圖5-15直接型自適應模糊控制系統

圖5-15直接型自適應模糊控制系統685.3.4仿真實例被控對象為一二階系統：位置指令為。5.3.4仿真實例位置指令為。69取以下6種隸屬函數：取以下6種隸屬函數：70系統擺初始狀態為，的初始值取0，采用控制律（5.39），取,,自適應參數取。

根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-16所示。在控制系統仿真程序中，分別用、和表示模糊系統的分子、分母及，仿真結果如圖5-17和圖5-18所示。

系統擺初始狀態為，的初始值取0，采用控制71圖5-12的隸屬函數

圖5-12的隸屬函數72圖5-13位置跟蹤

圖5-13位置跟蹤73圖5-14控制輸入信號

圖5-14控制輸入信號74直接自適應模糊控制程序有5個：（1）隸屬函數設計程序chap5_4mf.m；(2)Simulink主程序chap5_4sim.mdl；(3)控制器S函數程序chap5_4s.m；(4)被控對象S函數程序chap5_4plant.m；(5)作圖程序：chap5_4plot.m。直接自適應模糊控制程序有5個：755.4機器人關節數學模型在許多生產場合，利用機器人取代人體操作，不僅提高了生產效率，而且還能完成一些人所不能完成的高強度、危險作業。機械臂是工業機器人中常見的一類被控對象。一個典型的多關節機器人如圖5-19所示。圖5-19一個8關節機器人5.4機器人關節數學模型在許多生產場合，利用機器人取代人體76

式中為關節角位移量，為機器人的慣性矩陣，表示離心力和哥氏力，為重力項，表示摩擦力矩，為控制力矩，為外加擾動。一個典型的多關節機器人如圖5-20所示。（5.55）考慮一個關節機器人，其動態性能可由二階非線性微分方程描述：圖5-20雙關節剛性機械手示意圖

式中為關節角位移量，為機器人的慣性矩陣，表77

機械手動力學模型的特點：

1、動力學模型包含的項數多。隨著機器人關節數的增加，方程中包含的項數增加。

2、高度非線性，方程的每一項都含有正弦余弦等非線性因素。

3、高度耦合。

4、模型不確定性和時變性。當機器人搬運物體時，由于所持物件不同，負載會發生變化，另外，關節的摩擦力矩也會隨時間變化。機械手動力學模型的特點：

1、動力學模型包含的項數多78

機械手動力學模型有以下幾個特性：

1、為一個正定對稱矩陣，且是有界的，即存在已知正常數和，使得；

2、有界，即存在已知，使得成立；

3、矩陣為斜對稱矩陣；

4、未知擾動滿足，為一個已知正常數。機械手動力學模型有以下幾個特性：

1、為一795.5.1系統描述5.5基于模糊補償的機械手自適應模糊控制機器人的動態方程為：（5.56）其中為慣性力矩，是向心力和哥氏力矩，是重力項，是由摩擦、擾動、負載變化的不確定項組成。5.5.2基于模糊補償的控制

假設、和為已知，且所有狀態變量可測得。定義誤差函數為：

（5.57）其中為正定陣，為跟蹤誤差。

5.5.1系統描述5.5基于模糊補償的機械手自適應模糊控80

定義（5.58）定義Lyapunov函數

（5.59）其中，則則（5.60）定義（5.58）定義Lyapunov函數（5.5981

其中為未知非線性函數，采用基于MIMO的模糊系統來逼近。參考文獻[15]，設計以下兩種基于模糊補償的自適應控制律。

1.自適應控制律的設計

設計控制律為：（5.61）其中，，，（5.62）其中為未知非線性函數，采用82其中，為模糊系統。（5.63）將控制律式（5.61）代入式（5.60），得定模糊逼近誤差為：其中，83自適應律為（5.64）則2.魯棒自適應控制為了消除逼近誤差造成的影響，保證系統穩定，在控制律中采用了魯棒項。設計魯棒自適應律為其中。將控制律式（5.65）代入式（5.59），得（5.65）自適應律為（5.64）則2.魯棒自適應控制為了消除逼近誤差造84

假設機器人關節個數為個，如果采用基于MIMO的模糊系統來逼近，則對每個關節來說，輸入變量個數為3個。如果針對個關節機器人力臂，對每個輸入變量設計個隸屬函數，則規則總數為。

例如，機器人關節個數為2，每個關節輸入變量個數為3，每個輸入變量設計5個隸屬函數，則規則總數為，如此多的模糊規則會導致計算量過大。為了減少模糊規則的個數，應針對的具體表達形式分別進行設計。

假設機器人關節個數為個，如果采85模糊自適應控制律為（5.68）當只包括摩擦項時，可只考慮針對摩擦進行模糊逼近的模糊補償。由于摩擦力只與速度信號有關，用于逼近摩擦的模糊系統可表示為，可根據基于傳統模糊補償的控制器設計方法，即式（5.61）、式（5.64）和式（5.65）來設計控制律。5.5.3基于摩擦補償的控制模糊系統設計為模糊自適應控制律為86其中（5.68）當針對雙關節剛性機械手，其動力學方程為（5.56），具體表達如下：5.5.4仿真實例令，，。取系統參數，

，，。其中（5.68）87控制目標是使雙關節的輸出、分別跟蹤期望軌跡和。定義隸屬函數為：其中分別為，，0，和，，分別為NB，NS，ZO，PS，PB。其中針對帶有摩擦的情況，采用基于摩擦模糊補償的機械手控制，取控制器設計參數為，，，。取系統始狀態為，取摩擦項為，取干擾項為。在魯棒控制律中，取。控制目標是使雙關節的輸出、分別跟88

采用魯棒控制律式（5.67），自適應律取式（5.68），仿真結果見圖5-21至圖5-23。圖5-21雙關節位置跟蹤圖5-22雙關節摩擦及其補償采用魯棒控制律式（5.67），自適應律取式89圖5-23雙關節控制輸入圖5-23雙關節控制輸入90第5章自適應模糊控制模糊控制的突出優點是能夠比較容易地將人的控制經驗溶入到控制器中，但若缺乏這樣的控制經驗，很難設計出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制規則，不便于控制參數的學習和調整，使得構造具有自適應的模糊控制器較困難。第5章自適應模糊控制模糊控制的突出優點是能夠91自適應模糊控制是指具有自適應學習算法的模糊邏輯系統，其學習算法是依靠數據信息來調整模糊邏輯系統的參數。一個自適應模糊控制器可以用一個單一的自適應模糊系統構成，也可以用若干個自適應模糊系統構成。與傳統的自適應控制相比，自適應模糊控制的優越性在于它可以利用操作人員提供的語言性模糊信息，而傳統的自適應控制則不能。這一點對具有高度不確定因素的系統尤其重要。自適應模糊控制是指具有自適應學習算法的模糊邏輯系92自適應模糊控制有兩種不同的形式：(1)直接自適應模糊控制:根據實際系統性能與理想性能之間的偏差，通過一定的方法來直接調整控制器的參數；(2)間接自適應模糊控制:通過在線辨識獲得控制對象的模型，然后根據所得模型在線設計模糊控制器。自適應模糊控制有兩種不同的形式：935.1模糊逼近5.1.1模糊系統的設計設二維模糊系統為集合上的一個函數，其解析式形式未知。假設對任意一個，都能得到

，則可設計一個逼近的模糊系統。模糊系統的設計步驟為：步驟1：在上定義個標準的、一致的和完備的模糊集。

5.1模糊逼近設二維模糊系統為集合94步驟2：組建條模糊集IF-THEN規則：

：如果為且為，則為其中，

將模糊集的中心（用表示）選擇為

（5.1）步驟2：組建條模糊集IF-TH95步驟3：采用乘機推理機，單值模糊器和中心平均解模糊器，根據條規則來構造模糊系統

（5.2）5.1.2模糊系統的逼近精度步驟3：采用乘機推理機，單值模糊器和中心平均解模糊器，根據96萬能逼近定理表明模糊系統是除多項函數逼近器、神經網絡之外的一個新的萬能逼近器。模糊系統較之其它逼近器的優勢在于它能夠有效地利用語言信息的能力。萬能逼近定理是模糊邏輯系統用于非線性系統建模的理論基礎，同時也從根本上解釋了模糊系統在實際中得到成功應用的原因。萬能逼近定理表明模糊系統是除多項函數逼97萬能逼近定理令為式（5.2）中的二維模糊系統，為式（5.1）中的未知函數，如果在上是連續可微的，模糊系統的逼近精度為：

(5.3)

(5.4)式中，無窮維范數定義為。萬能逼近定理令為式（5.2）中的二維模糊系統，98由(5.4)式可知：假設的模糊集的個數為，其變化范圍的長度為，則模糊系統的逼近精度滿足即：由(5.4)式可知：假設的模糊集的個數為，其99由該定理可得到以下結論：（1）形如式（5.2）的模糊系統是萬能逼近器，對任意給定的，都可將和選得足夠小，使

成立，從而保證。（2）通過對每個定義更多的模糊集可以得到更為準確的逼近器，即規則越多，所產生的模糊系統越有效。（3）為了設計具有預定精度的模糊系統，必須知道關于和的導數邊界，即和。同時，在設計過程中，還必須知道在處的值。

由該定理可得到以下結論：1005.1.3仿真實例

實例1針對一維函數，設計一個模糊系統，使之一致的逼近定義在上的連續函數，所需精度為，即。5.1.3仿真實例101由于，由式（5.3）可知，，故取滿足精度要求。取，則模糊集的個數為。在上定義31個具有三角形隸屬函數的模糊集，如圖5-1所示。所設計的模糊系統為：由于，由式（5.3）可知102

圖5-1隸屬函數

103一維函數逼近仿真程序見chap5_1.m。逼近效果如圖5-2和5-3所示

：

圖5-2模糊逼近

一維函數逼近仿真程序見chap5_1.m。逼近效果如104

圖5-3逼近誤差

105實例2針對二維函數，設計一個模糊系統，使之一致的逼近定義在上的連續函數

所需精度為。

實例2針對二維函數，設計一個模糊系統，使106由于，由式（5.3）可知，取，時，有滿足精度要求。由于，此時模糊集的個數為即和分別在上定義11個具有三角形隸屬函數的模糊集。

由于，107所設計的模糊系統為：

(5.6)該模糊系統由條規則來逼近函數

所設計的模糊系統為：108二維函數逼近仿真程序見chap5_2.m。和的隸屬函數及的逼近效果如圖5-4至5-7所示

二維函數逼近仿真程序見chap5_2.m。和109圖5-4的隸屬函數圖5-4的隸屬函數110

圖5-5的隸屬函數

圖5-5的隸屬函數111圖5-6模糊逼近

圖5-6模糊逼近112圖5-7逼近誤差圖5-7逼近誤差1135.2間接自適應模糊控制5.2.1問題描述

考慮如下階非線性系統：(5.7)其中和為未知非線性函數，和分別為系統的輸入和輸出。設位置指令為，令

(5.8)5.2間接自適應模糊控制114選擇，使多項式的所有根部都在復平面左半開平面上。

取控制律為(5.9)將(5.9)代入(5.7)，得到閉環控制系統的方程：(5.10)由的選取，可得時，即系統的輸出漸進地收斂于理想輸出。

選擇，使多項式115如果非線性函數和是已知的，則可以選擇控制來消除其非線性的性質，然后再根據線性控制理論設計控制器。

如果非線性函數和是已知的，則可以選擇1165.2.2控制器的設計

如果和未知，控制律（5.9）很難實現。可采用模糊系統和代替和，實現自適應模糊控制。

5.2.2控制器的設計1171.基本的模糊系統以來逼近為例，可用兩步構造模糊系統：步驟1：對變量()，定義個模糊集合()。步驟2：采用以下條模糊規則來構造模糊系統：IFis…ANDisTHENis(5.11)其中，。

1.基本的模糊系統118采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊系統的輸出為(5.12)其中為的隸屬函數。采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊119令是自由參數，放在集合中。引入向量，(5.12)式變為(5.13)其中為維向量，其第個元素為(5.14)令是自由參數，放在集合中。引入1202.自適應模糊滑模控制器的設計采用模糊系統逼近和，則控制律（5.9）變為

(5.15),(5.16)其中為模糊向量，參數和根據自適應律而變化。

2.自適應模糊滑模控制器的設計121設計自適應律為：

(5.17)(5.18)自適應模糊控制系統如圖5-8所示。設計自適應律為：122圖5-8自適應模糊控制系統圖5-8自適應模糊控制系統1233.穩定性分析由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系統的閉環動態（5.19）令：

,（5.20）

3.穩定性分析124則動態方程（5.19）可寫為向量形式：(5.21)設最優參數為(5.22)

(5.23)其中和

分別為和的

集合。

則動態方程（5.19）可寫為向量形式：125定義最小逼近誤差為(5.24)式（5.21）可寫為：

（5.25）將式（5.16）代入式(5.25),可得閉環動態方程：

（5.26）該方程清晰地描述了跟蹤誤差和控制參數、之間的關系。自適應律的任務是為、確定一個調節機理，使得跟蹤誤差和參數誤差、達到最小。定義最小逼近誤差為126定義Lyapunov函數

(5.27)式中，是正常數，為一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

（5.28）其中是一個任意的正定矩陣，由式（5.20）給出。

定義Lyapunov函數127取，，。令，則（5.26）式變為：取，，128即的導數為：

（5.29）

即129將將自適應律（5.17）和（5.18）代入上式，得：

（5.30）

由于，通過選取最小逼近誤差非常小的模糊系統，可實現。

將將自適應律（5.17）和（5.18）代入上式，得：1305.2.3仿真實例被控對象取單級倒立擺，如圖5-5所示，其動態方程如下：

其中和分別為擺角和擺速，，為小車質量，為擺桿質量，，為擺長的一半，，為控制輸入。

5.2.3仿真實例其中和分別為擺角和擺速，131位置指令為。取以下5種隸屬函數：

由于i=1,2,則用于逼近

和的模糊規則分別有25條。位置指令為。取以下5種隸屬函數：132圖5-5單級倒立擺系統示意圖

圖5-5單級倒立擺系統示意圖133根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-6所示。圖5-6的隸屬函數

根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-6所134倒立擺初始狀態為，和的初始值取0.10，采用控制律（5.9），取

自適應參數取，。在程序中，分別用、、和表示模糊系統的分子、分母及，仿真結果如圖5-7至圖5-10所示。

倒立擺初始狀態為，和的初始值取0.135圖5-7位置跟蹤圖5-7位置跟蹤136圖5-8控制輸入信號圖5-8控制輸入信號137圖5-9及的變化

圖5-9及的變化138圖5-10及的變化

圖5-10及的變化139間接模糊自適應控制仿真程序有5個：（1）隸屬函數設計程序：chap5_3mf.m；(2)Simulink主程序：chap5_3sim.mdl；(3)控制器S函數：chap5_3s.m；(4)被控對象S函數：chap5_3plant.m；(5)作圖程序：chap5_3plot.m。見附錄。

間接模糊自適應控制仿真程序有5個：1405.3直接自適應模糊控制直接模糊自適應控制和間接自適應模糊控制所采用的規則形式不同。間接自適應模糊控制利用的是被控對象的知識，而直接模糊自適應控制采用的是控制知識。

5.3直接自適應模糊控制1415.3.1問題描述考慮如下方程所描述的研究對象

（5.31）

（5.32）式中，為未知函數，為未知的正常數。

5.3.1問題描述142直接自適應模糊控制采用下面IF-THEN模糊規則來描述控制知識：如果是且…且是，則是

（5.33）

式中，，為中模糊集合，且。設位置指令為，令

(5.34)直接自適應模糊控制采用下面IF-THEN模糊規則來描述143選擇，使多項式的所有根部都在復平面左半開平面上。取控制律為(5.35)將(5.35)代入(5.31)，得到閉環控制系統的方程：(5.36)由的選取，可得時，即系統的輸出漸進地收斂于理想輸出。

選擇，使多項式144直接型模糊自適應控制是基于模糊系統設計一個反饋控制器和一個調整參數向量的自適應律，使得系統輸出盡可能地跟蹤理想輸出。

直接型模糊自適應控制是基于模糊系統設計一個反饋控制器1455.3.2控制器的設計直接自適應模糊控制器為

（5.37）式中，

是一個模糊系統，是可調參數集合。

5.3.2控制器的設計146模糊系統可由以下兩步來構造：步驟1：

對變量，定義個模糊集合

()步驟2：用以下條模糊規則來構造模糊系統:

如果是且…且是，則是（5.38）其中，,。

模糊系統可由以下兩步來構造：147采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器來設計模糊控制器，即（5.39）令是自由參數，放在集合中，則模糊控制器為：

(5.40)其中為維向量。采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器來設計模糊控制148其第個元素為(5.41)模糊控制規則（5.33）是通過設置其初始參數而被嵌入到模糊控制器中的。

其第個元素為1495.3.3自適應律的設計將式（5.35）、（5.37）代入式（5.31），并整理得：（5.42）令（5.43）5.3.3自適應律的設計令（5.43）150則閉環系統動態方程（5.42）可寫成向量形式：

（5.44）

（5.45）定義最優參數為:則閉環系統動態方程（5.42）可寫成向量形式：（5.45）定151定義最小逼近誤差為：

（5.46）由式（5.44）可得：

（5.47）由式（5.40），可將誤差方程（5.47）改寫為：

（5.48）

智能控制--第5章自適應模糊控制的理論基礎152定義Lyapunov函數：

（5.49）其中參數是正的常數。為一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

（5.50）其中是一個任意的正定矩陣，由式（5.43）給出。

定義Lyapunov函數：153令則（5.48）式變為：取令取154

即的導數為：

（5.51）

即155令為的最后一列，由可知則式（5.51）變為：

（5.52）取自適應律

（5.53）則

（5.54）

令為的最后一列，由可156由于，是最小逼近誤差，通過設計足夠多規則的模糊系統，可使充分小，并滿足，從而使得。直接型自適應模糊控制系統的結構如圖5-15所示。由于，是最小逼近誤差，通過設計足夠多規則157圖5-15直接型自適應模糊控制系統

圖5-15直接型自適應模糊控制系統1585.3.4仿真實例被控對象為一二階系統：位置指令為。5.3.4仿真實例位置指令為。159取以下6種隸屬函數：取以下6種隸屬函數：160系統擺初始狀態為，的初始值取0，采用控制律（5.39），取,,自適應參數取。

根據隸屬函數設計程序，可得到隸屬函數圖，如圖5-16所示。在控制系統仿真程序中，分別用、和表示模糊系統的分子、分母及，仿真結果如圖5-17和圖5-18所示。

系統擺初始狀態為，的初始值取0，采用控制161圖5-12的隸屬函數

圖5-12的隸屬函數162圖5-13位置跟蹤

圖5-13位置跟蹤163圖5-14控制輸入信號

圖5-14控制輸入信號164直接自適應模糊控制程序有5個：（1）隸屬函數設計程序chap5_4mf.m；(2)Simulink主程序chap5_4sim.mdl；(3)控制器S函數程序chap5_4s.m；(4)被控對象S函數程序chap5_4plant.m；(5)作圖程序：chap5_4plot.m。直接自適應模糊控制程序有5個：1655.4機器人關節數學模型在許多生產場合，利用機器人取代人體操作，不僅提高了生產效率，而且還能完成一些人所不能完成的高強度、危險作業。機械臂是工業機器人中常見的一類被控對象。一個典型的多關節機器人如圖5-19所示。圖5-19一個8關節機器人5.4機器人關節數學模型在許多生產場合，利用機器人取代人體166

式中為關節角位移量，為機器人的慣性矩陣，表示離心力和哥氏力，為重力項，表示摩擦力矩，為控制力矩，為外加擾動。一個典型的多關節機器人如圖5-20所示。（5.55）考慮一個關節機器人，其動態性能可由二階非線性微分方程描述：圖5-20雙關節剛性機械手示意圖

式中為關節角位移量，為機器人的慣性矩陣，表167

機械手動力學模型的特點：

1、動力學模型包含的項數多。隨著機器人關節數的增加，方程中包含的項數增加。

2、高度非線性，方程的每一項都含有正弦余弦等非線性因素。

3、高度耦合。

4、模型不確定性和時變性。當機器人搬運物體時，由于所持物件不同，負載會發生變化，另外，關節的摩擦力矩也會隨時間變化。機械手動力學模型的特點：

1、動力學模型包含的項數多168

機械手動力學模型有以下幾個特性：

1、為一個正定對稱矩陣，且是有界的，即存在已知正常數和，使得；

2、有界，即存在已知