第二章常用統(tǒng)計量之二：差異量數(shù)人文院：滕瀚hanteng99@163.常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!問題：假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)甲組為8，9，10，13，13，14，14，15，其均數(shù)為12；乙組為3，5，5，7，9，13，21，33，其均數(shù)也為12。試問這兩列數(shù)據(jù)的分布一樣嗎？為什么？哪一組平均數(shù)的代表性更好一些呢？常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差（一）離均差（d）和平均差（AD）

d=

AD=

d:每個數(shù)據(jù)（）與其平均數(shù)（）的差距大小或離開平均數(shù)的距離（），即每個數(shù)據(jù)離均差（簡稱離差，源于英文deviationfrommean）的大小

AD是次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)距離的絕對值的平均。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!表3-1方差的含義與計算表常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!為了使離均差之和不為0，我們可采用代數(shù)的處理方法，對每一個離均差進(jìn)行平方后再求和，即先求離均差的平方，即；再將所有離均差平方相加求和，即，詳見第4欄和第7欄；最后再求離均差平方算術(shù)平均數(shù)，即為方差

方差是對一列數(shù)據(jù)的平均差距進(jìn)行了平方，要還原為一列數(shù)據(jù)的平均差距則需開平方根，標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）就是方差的算術(shù)平方根，表示一列數(shù)據(jù)的平均差距。樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S或SD表示。

常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差總體方差的無偏估計量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計量常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的分析方法

方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算有多種方法，如定義式，原始數(shù)據(jù)式和加權(quán)式等計算方法。1、定義式

根據(jù)上述方差和標(biāo)準(zhǔn)差定義進(jìn)行的計算，即有

樣本方差的計算=樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計算-1-1-1-1教材p44公式2·13和2·14常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!3、加權(quán)式（次數(shù)分布整理之后的方差計算）例3-：某班32名學(xué)生的創(chuàng)造性思維測驗(yàn)成績?nèi)绫?-3所示，試問該班學(xué)生創(chuàng)造性思維測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的平均差距是多少？或標(biāo)準(zhǔn)差是多少？表3-2學(xué)生創(chuàng)造性思維成績分布表1）求各組次數(shù)與組中值的乘積（）及乘積和（），見表4-3的第4行。2）求平均數(shù)3）求各組的離均差（）及各組的離均差平方，見表4-3的第5行和第6行。

4）求各組的次數(shù)與離差平方的乘積及其連加和，見表3-2的第7行。5）代入公式，計算結(jié)果

常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例：有四個學(xué)習(xí)小組參加英語競賽，經(jīng)初步統(tǒng)計四個學(xué)習(xí)小組競賽成績統(tǒng)計量如表3-3所示，試問其總平均數(shù)和總標(biāo)準(zhǔn)差是多少？表3-3四個學(xué)習(xí)小組英語競賽成績統(tǒng)計量分析過程1）求總平均數(shù)2）求離差d和離差的平方3）代入公式，計算結(jié)果常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用：異常值的取舍在一個正態(tài)分布中，平均數(shù)上下一定的標(biāo)準(zhǔn)差處，包含有確定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)個數(shù)。根據(jù)這個原理，在整理數(shù)據(jù)時：數(shù)據(jù)較多時：常采用三個標(biāo)準(zhǔn)差法則，進(jìn)行取舍數(shù)據(jù)，即如果有一個數(shù)據(jù)的取值落在平均數(shù)加減三個標(biāo)準(zhǔn)差之外，則在整理數(shù)據(jù)時，可將此數(shù)據(jù)作為異常值加以取舍。、常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!（二）差異系數(shù)的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)不僅可以用于比較單位不同數(shù)據(jù)的差異程度，而且還可以用于比較單位相同平均數(shù)相差較大數(shù)據(jù)的差異程度等。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)在教育與心理研究中的應(yīng)用主要有以下三個方面。1．比較測量單位不同事物的差異程度例3-1：某幼兒園大班兒童的平均體重為22公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為3.7；平均身高為108厘米，標(biāo)準(zhǔn)差6.2厘米。試問該班幼兒身高和體重哪方面的差異程度大一些？結(jié)果表明，該班幼兒身高方面的差異程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于體重，就是說該班幼兒在體重方面的分布比較均勻或整齊，在身高方面的分布則不太均勻或整齊，即幼兒高矮差距較大。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例3-：某學(xué)校高考語文科平均分為63分，標(biāo)準(zhǔn)差為11分，數(shù)學(xué)平均分為75分，標(biāo)準(zhǔn)差為12分，試比較該校考生哪一科離散程度大。解：CV語=11/63×100%=17.5%CV數(shù)=12/75×100%=16%CV語＞CV數(shù)∴語文課的離散程度更大。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!例3-：某校初三?一班各科成績的差異程度如表4-6所示。試分析該班的成績分化，以幫助教師采取相應(yīng)的教學(xué)對策和調(diào)整或改進(jìn)教學(xué)，幫助管理者監(jiān)控教學(xué)質(zhì)量和指導(dǎo)教育教學(xué)。

表3-6各科差異系數(shù)

常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!全距和標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系在樣本數(shù)量相當(dāng)大(N≥500)時，標(biāo)準(zhǔn)差約為全距的六分之一，換句話說，全距約六倍于標(biāo)準(zhǔn)差。在小樣本中，全距和標(biāo)準(zhǔn)差的比率要小一些。概而言之，在不同樣本量的分布中，標(biāo)準(zhǔn)差和全距的比率變化如表2所示。使用標(biāo)準(zhǔn)差與全距之間的這種比率關(guān)系，還可對實(shí)際計算得到的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行核對

常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!（一）四分位距（quartilerange）：又名四分位差，指在一組排序的數(shù)據(jù)中，中間50%的數(shù)據(jù)的全距的一半，通常用Q來表示。1/41/23/4Q1Q3常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

例：有5名被試的錯覺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求其平均差。

被試12345錯覺量（單位：毫秒）1618202217常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!象表示一列數(shù)據(jù)一般水平時需將各個數(shù)據(jù)進(jìn)行平均一樣，表示一列數(shù)據(jù)離均差的一般水平亦需將各個離均差進(jìn)行平均。這是因?yàn)橐涣袛?shù)據(jù)的離均差有大有小，而作為該列數(shù)據(jù)差異水平大小的一個最好代表值是離均差的平均數(shù)，即有AD=問題：求離均差的平均數(shù)，首先需求出每一列數(shù)據(jù)的離均差，如表4-1第3欄和第6欄。但是離均差有正有負(fù)，正負(fù)抵消，離均差的和為0，即，則離均差的平均數(shù)（）也為0，計算結(jié)果無意義。問題的解決：方差和標(biāo)準(zhǔn)差！常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!方差（variance）：離均差平方和的算術(shù)平均數(shù)，符號為S2或SD2（樣本方差）。方差又稱變異數(shù)，有時用符號V（Variation）表示，或稱均方差、均方（MeanSquareDeviation）。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）：方差的正的平方根，即離均差平方和求算術(shù)平均數(shù)后的正的平方根，符號為S或SD。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!方差或標(biāo)準(zhǔn)差能夠很好地度量數(shù)據(jù)的變異性，如果數(shù)據(jù)越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值就越小；反之，數(shù)據(jù)越分散，方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值就越大。值得注意的是這種比較需在平均數(shù)相等的條件才能進(jìn)行，若兩列數(shù)據(jù)的平均數(shù)不同，尤其平均數(shù)相差懸殊時則不能進(jìn)行這種比較，需要其他的方法進(jìn)行比較。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!2、計算式一方面是因?yàn)槠溆嬎氵^程較多、較繁雜，另一方面則因?yàn)槠骄鶖?shù)的計算出現(xiàn)小數(shù)時，離均差及離均差平方的計算過程需四舍五入，由此會損失一部分?jǐn)?shù)據(jù)信息，造成計算結(jié)果的欠準(zhǔn)確。計算式是直接利用原始數(shù)據(jù)計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的方法，它不僅可以克服這些缺陷，而且也方便計算機(jī)編程，其公式為常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!4、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的組合若已知各組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差計算總方差或總標(biāo)準(zhǔn)差，則需要進(jìn)行方差或標(biāo)準(zhǔn)差的組合，其公式為方差標(biāo)準(zhǔn)差式中為小組方差，n為小組人數(shù)，d為組平均數(shù)與總平均數(shù)的離差（即）常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!（三）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)1、每一個觀察值都加一個相同常數(shù)c后，計算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差。2、每一個觀察值都乘以一個相同的常數(shù)c，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個常數(shù)。3、每個觀察值都乘以同一個常數(shù)c（c不等于0），再加上一個常數(shù)d，所得標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個常數(shù)。用途：1.反映變量值的離散程度；2.進(jìn)行統(tǒng)計估計和假設(shè)檢驗(yàn)；3.用于求正常范圍；4.計算變異系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤等常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!二、差異系數(shù)·標(biāo)準(zhǔn)差使用前提：測量變量同質(zhì)且樣本間均值相同（或差異不大）。問題：我們常常會遇到：(1)兩個或兩個以上樣本所測的特質(zhì)不同；(2)兩個或兩個以上樣本所測的特質(zhì)相同，但樣本間水平相差較大，這時不能用絕對差異量來比較不同樣本的離散程度，而應(yīng)使用相對差異量數(shù)。（一）差異系數(shù)（CoefficientofVariation）又叫變異系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一種相對差異量，常用CV或CVs表示，其計算公式：CV=(S/X)×100%。S：樣本標(biāo)準(zhǔn)差X：樣本平均數(shù)常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!2．比較測量單位相同，均數(shù)相差懸殊數(shù)據(jù)的差異程度例3-：初一甲、乙兩班的學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后，算得甲班平均成績92分，標(biāo)準(zhǔn)差8.95；乙班平均成績71分，標(biāo)準(zhǔn)差7.40分。試問兩個班誰的數(shù)學(xué)成績更整齊一些？結(jié)果表明，甲班數(shù)學(xué)成績的差異程度小于乙班，其成績比乙班整齊一些。若從直接標(biāo)準(zhǔn)差來看，似乎甲班的差異程度大于乙班。之所以兩種分析結(jié)果不同，是因?yàn)閮砂嗟钠骄煽儾罹嗵螅?1分之差。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是由標(biāo)準(zhǔn)差和平均數(shù)構(gòu)成的一種比數(shù)，因此，它既受標(biāo)準(zhǔn)差的影響，又受平均數(shù)的影響。在用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)說明事物的差異程度時，除了列出標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的數(shù)值外，還必須同時列舉其均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!3．判斷班內(nèi)學(xué)習(xí)分化的情況在教育教學(xué)中，防止出現(xiàn)差生或?qū)W習(xí)困難的學(xué)生，使所有學(xué)生得到充分發(fā)展，提高教學(xué)質(zhì)量是教育者所追求終極目標(biāo)。在班級管理中，教師或管理者對學(xué)生學(xué)習(xí)的分化主要是通過判斷學(xué)生的兩極端分?jǐn)?shù)或通過簡單的平均數(shù)來進(jìn)行的，這種方式難以準(zhǔn)確、全面地判斷一個班內(nèi)學(xué)習(xí)分化的程度，尤其是各科學(xué)習(xí)分化的情況，差異系數(shù)則可解決這一問題。用差異系數(shù)來判斷學(xué)習(xí)分化程度是把實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論分析結(jié)合起來，確定相應(yīng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。這種標(biāo)準(zhǔn)的確定從兩方面進(jìn)行，一是規(guī)定無分化現(xiàn)象的指標(biāo)，二是規(guī)定有分化現(xiàn)象的指標(biāo)，兩種指標(biāo)的中間狀態(tài)亦可看作一種指標(biāo)，從而形成一評價學(xué)習(xí)分化的三種指標(biāo)。一是無分化現(xiàn)象的指標(biāo)，即≤9%。因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)，一般認(rèn)為學(xué)生成績在60～100之間是合格的，亦可視為無分化現(xiàn)象，而其平均分則為80，設(shè)均數(shù)上下各有3個標(biāo)準(zhǔn)差，即60~80之間有3個標(biāo)準(zhǔn)差，80~100之間有3標(biāo)準(zhǔn)差，再加上均數(shù)本身，80~100之間共有7個標(biāo)準(zhǔn)差，即有二是有分化現(xiàn)象的指標(biāo)，即≥20%。

三是有分化苗頭的指標(biāo)，即9%≤≤20%。常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!三、其它差異量數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差、差異系數(shù)是最重要的，也是最常用的指標(biāo)。除此之外，還有全距、平均差等。一、全距（P13):全距是指一列數(shù)據(jù)最大差距，一列數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差距，又稱極差，用符號（Range）表示，其公式為二、平均差(P42)三、百分位差和四分位差常用統(tǒng)計量(二)差異量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!表二：全距與標(biāo)準(zhǔn)差的比率隨