學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義[A組基礎(chǔ)鞏固]1．已知函數(shù)y＝f（x)，x∈R,則f′（x0）表示（）A．自變量x＝x0時對應(yīng)的函數(shù)值B．函數(shù)值y在x＝x0時的瞬時變化率C．函數(shù)值y在x＝x0時的平均變化率D．無意義解析:由導(dǎo)數(shù)的概念可知選B.答案:B2．速度v關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為v＝f(t)＝t2－10t，則t＝1時的加速度為(）A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′（t)＝2t－10,∴f′（1）＝2×1－10＝－8，即為t＝1時的加速度．答案：B3．從時刻t＝0開始的ts內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時電流強(qiáng)度為()A．27C/s B．20C/sC．25C/s D．23C/s解析：某種導(dǎo)體的電量q在5s時的瞬時變化率就是第5s時的電流強(qiáng)度．∵q′＝4t＋3，∴當(dāng)t＝5時,電流強(qiáng)度為4×5＋3＝23(C/s)．答案：D4．某公司的盈利y(元）和時間x(天）的函數(shù)關(guān)系是y＝f（x),假設(shè)f（x）〉0恒成立，且f′（10)＝10，f′（20)＝1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小解析:導(dǎo)數(shù)為正說明盈利是增加的，導(dǎo)數(shù)變小說明增加的幅度變小了,但還是增加的．答案：D5．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內(nèi)完成剎車，其位移（單位:m）關(guān)于時間（單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－eq\f(1,3）t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為（）A．汽車剎車后1s內(nèi)的位移B．汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C．汽車剎車后1s時的瞬時速度D．汽車剎車后1s時的位移解析：由導(dǎo)數(shù)的實際意義知，位移關(guān)于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度．答案：C6．一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時的時刻t＝________.解析:s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，則t＝eq\f(3,2）。答案：eq\f（3，2)7．某商品價格P（單位：元）與時間t（單位：年）有函數(shù)關(guān)系式P(t)＝(1＋10%)t,那么在第8個年頭此商品價格的變化速度是________．解析:P′（t)＝1。1tln1.1，∴P′（8)＝1.18ln1.1（元/年）．答案：1.18ln1。18．某國家在20年期間的年平均通貨膨脹率為5%，物價P(單位：元)和時間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系：P（t）＝P0（1＋5%）t，P0為t＝0時的物價,假定某種商品為P0＝1,那么在第10個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是________(精確到0.01)．解析:∵P′（t）＝1.05tln1.05，∴P′(10)＝1。0510ln1.05≈0.08（元/年)．答案:0.08元/年9．若某段導(dǎo)體通過的電量Q(單位：C）與時間t(單位:s）的函數(shù)關(guān)系為Q＝f(t)＝eq\f（1，20)t2＋t－80，t∈[0，30］,求f′（15）的值并解釋它的實際意義．解析：Q′＝f′（t）＝eq\f（1,10)t＋1，令t＝15，則f′(15)＝eq\f(5，2)（C/s)，這表示t＝15s時的電流強(qiáng)度,即單位時間內(nèi)通過的電量．10．某廠生產(chǎn)x噸產(chǎn)品獲利y萬元，y是x的函數(shù)，設(shè)函數(shù)為y＝f(x)＝－eq\f（1，8)x2＋21x－100.(1）當(dāng)x從4變到8時,y關(guān)于x的平均變化率是多少?它代表什么實際意義？（2)求f′(84)并解釋它的實際意義．解析：（1）當(dāng)x從4變到8時，y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f8－f4，8－4）＝eq\f(60－－18，8－4）＝19.5（萬元/噸），它表示產(chǎn)量從4噸增加到8噸的過程中，每增加1噸產(chǎn)量，利潤平均增加19.5萬元．(2)f′（x)＝－eq\f（1，4)x＋21，于是f′（84)＝0，f′（84)表示當(dāng)產(chǎn)量為84噸時，利潤增加的速度為0，也就是說當(dāng)產(chǎn)量為84噸時，每多生產(chǎn)1噸產(chǎn)品，利潤增加為0，即利潤不變．［B組能力提升］1．某旅游者爬山的高度h(單位：m)是時間t（單位：h)的函數(shù),關(guān)系式是h＝－100t2＋800t，則他在2h這一時刻的高度變化的速度是(）A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h解析:∵h(yuǎn)′＝－200t＋800，∴當(dāng)t＝2h時，h′(2)＝－200×2＋800＝400（m/h)．答案:C2．如圖所示,設(shè)有定圓C和定點O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時,它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，它的圖像大致是(）解析:由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．選項A表示面積的增速是常數(shù)，與實際不符;選項B表示最后時段面積的增速較快，也與實際不符；選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快，與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際．所以應(yīng)選D.答案：D3．某物體的位移與時間的函數(shù)s＝2t3－at，物體在t＝1時的速度為8，則a的值為________．解析：s′＝6t2－a，由題意得6×12－a＝8，∴a＝－2.答案:－24．建造一幢長度為xm的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關(guān)系為y＝f（x)＝eq\f(1,10）(x2＋x＋3)（x>0)．(1)當(dāng)x從100變到200時,平均每米的成本為________；（2）f′（100）＝________，其實際意義為________．解析:(1)f(100）＝1010.3，f(200)＝4020。3，∴eq\f（f200－f100，200－100）＝30.1（萬元/m），即平均變化率為30.1萬元/m.（2）f′(x）＝eq\f(1，10)（2x＋1)，∴f′(100）＝20.1（萬元/m），即當(dāng)長度為100m時，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元．答案：（1)30。1萬元（2）20。1萬元/m當(dāng)長度為100m時，每增加1m的長度成本就增加20。1萬元5．線段AB長10米，在它的兩個端點處各有一個光源，線段AB上的點P距A光源x米，已知點P受兩個光源的總光照度I（x）＝eq\f(8,x2）＋eq\f（1，10－x2),其單位為：勒克斯．（1)當(dāng)x從5變到8時，求點P處的總光照度關(guān)于點P與A的距離x的平均變化率，它代表什么實際意義?(2)求I′(5)并解釋它的實際意義．解析:（1)當(dāng)x從5變到8時，點P處的總光照度I關(guān)于點P與A的距離x的平均變化率為eq\f（I8－I5，8－5）＝eq\f（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，8)＋\f（1，4）)）－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8,25)＋\f(1,25）))，3)＝eq\f(\f（3，200）,3)＝0.005（勒克斯/米），它表示點P與光源A的距離從5米增加到8米的過程中，距離每增加1米，光照度平均增強(qiáng)0。005勒克斯．(2）∵I(x)＝eq\f（8,x2）＋eq\f(1,100－20x＋x2）∴I′(x)＝8（－2x－3）＋eq