2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。n一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。n設等比數(shù)列

的前n

，則“aan1 n

2a2

”是

2n1

0的（ ）C．充要

必要不充分D已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是數(shù)列{an}的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為則球的體積為( )A． B． C． D．下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色，其面積稱為朱實、黃實，利用2勾股(股-)24朱實，化簡，得2股2弦2設勾股形中勾股比為1: 3，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計，則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為（ ）A．134 B．866 C．300 D．500若圓錐軸截面面積為2 3，母線與底面所成角為則體積為( )33

2 3

C．2 33

D．2 636．x31

x 的展開式中的常數(shù)項( ) xA．－60 B．240 C．－80 D．180復數(shù)z(2i)(1i)的共軛復數(shù)為（ ）A．3B．3C．1D．1fx

f3x

f3x

x0,3

fxlnx1已知

是定義是R上的奇函數(shù)，滿足 2 2 2

，當 2 2

時， ，則函數(shù)fx在區(qū)間上的零點個數(shù)是（ ）A．3

B．5 C．7

D．9yA A

是圓心為坐標原點O1的圓上的任意一點，將射線OA繞點O到OB交圓3BxyB BA．3

則2y yA B．2

的最大值為（ ）3 D．5復數(shù)z滿足zi2(i為虛數(shù)單位則z的虛部為（ ） i B．i C． BCabcC3則的面積為（ ）

，若mc 6,ab，nab,c 6 ，且m//n，A．3 B．9 32

C．3 32

D．3312．已知向量a(3sinx,2)，b(1,cosx)，當ab時，cos2x（ ）2 2 A．12 B．1213 13

C．6 D．613 13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知x0是函數(shù)f(x)x(axtanx)的極大值點，則a的取值范圍是 ．已在中，a b c ”，類比以上正弦定理在三棱錐ABCD中，側棱AB與平面ACD所sinA sinB sinC S成的角為、與平面BCD所成的角為 ，3 12xy0

S

．已知實數(shù)x，y滿足約束條件xy40，則z23xy的最大值是 .y1《九章算術》卷”十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為V

1（底面圓的周長的平方高，則由此可推得圓周率的取12值為 .三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知圓O:x2y28上有一動點QO的坐標為,0，四邊形QOOR為平行四邊形，線段OR1 2 1 2 1的垂直平分線交O2

R于點P.（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點O2

作直線與曲線C兩點，點K的坐標為，直線yM，N兩點，求證：線段MN的中點為定點，并求出△KMN面積的最大值.18（12分）如圖，四棱錐﹣ABCD的側棱DE與四棱錐﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，ADCD，AB//CD，AB3,ADCD4,AE5,AF3 2.DF//BCE.設平面ABF與平面CDF所成的二面角為，求cos2.19（12分）如圖，在四邊形ABCD中，DB，AD2DC4，sinB3.4AC的長；若6，求sinCABsinACB的值.20（12分）如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABC，SD1，cosASD長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.

5ABCD是邊5求證（）直線SA 平面EF；（2）直線AC平面SDB.21（12分）△ABC的內角,B,C的對邊分別為a,b,c,且siCsiBsinAB．A的大小若a 7,△ABC的面積S3 3,求△ABC的周長．222（10分已知ABC的內角A、BC的對邊分別為abc3sinAcosA0.a1；②b 3；③求c；

ABC

3.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：4DBCADAC，求ABD的面積.參考答案125601．A【解析】首先根據等比數(shù)列分別求出滿足aa1 3

2a2

，S2

0.【詳解】a為等比數(shù)列，naa1

2a2

成立，有a1

q22q0，q22q10恒成立，故可以推出a1

0q1，若S 0成立，2n1q1時，有a1a

0，1q2n1

1q2n1q1時，有1

1q

0，因為

1q

0恒成立，所以有a1

0，故可以推出a1

0，qR，“所以aa“1

2a2

”是

2

0的充分不必要條件.A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關系，屬于基礎題.2．C【解析】試題分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3．A【解析】設球心為三棱柱的上底面 的內切圓的圓心為該圓與邊 切于點根據球的幾何性質可得為直角三角形，然后根據題中數(shù)據求出圓【詳解】如圖，設三棱柱為 ，且

半徑，進而求得球的半徑，最后可求出球的體積．，高 ．所以底面則圓的半徑為

為斜邊是

的直角三角形，設該三角形的內切圓為圓．

，圓與邊 切于點，設球心為，則由球的幾何知識得 為直角三角形，且 所以 ，即球的半徑為 ，所以球的體積為 ．A．【點睛】本題考查與球有關的組合體的問題，解答本題的關鍵有兩個：構造以球半徑、球心到小圓圓心的距離和小圓半徑為三邊的直角三角形，并在此三角形內求出球的半徑，這是解決與球有關的問題時常用的方法．若直角三角形的兩直角邊為 ，斜邊為，則該直角三角形內切圓的半徑 ，合理利用中間結論可提高解題的效率．4．A【解析】1，3.3解析：設三角形的直角邊分別為1，3

，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為342 .3圖釘落在黃色圖形內的概率為4232 3.34 2落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為10002 3134.2故選：A.點睛：應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量．一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；標系即可建立與體積有關的幾何概型．5．D【解析】3設圓錐底面圓的半徑為r，由軸截面面積為23

可得半徑r，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】3設圓錐底面圓的半徑為r，由已知，12r 23226

，解得r ，212所以圓錐的體積V3r2 故選：D【點睛】

3.本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.6．D【解析】x x

26

26 1求x31 x的展開式中的常數(shù)項，可轉化為求 x展開式中的常數(shù)項和x3項，再求和即可得出答. x【詳解】xxx

26 422由題意， 中常數(shù)項為C2 x x 60， x 6 x 2x

1中 項為C43

4 221x 221 x xx x

626

x x3所以x31

的展開式中的常數(shù)項為：xx3故選：D

1160180.x3【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.7．D【解析】直接相乘，得1，由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵z(2i)(1i)1∴其共軛復數(shù)為1.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.8．D【解析】

xR

f3x

f3x，可得函數(shù)fx的周期為3，再由奇函數(shù)的性質結 22 22合已知可得f 3f ff

3 0fx在區(qū)間上的零點個數(shù)．2【詳解】

f ）2fxR

3xf3xf 3x3f

3x3），可得f xf ，函數(shù)fx的周期為3，

22 22

2 2 2 2x0,3時，fxlnx1， 2 20x2x11x01，fxR的奇函數(shù)，，∴在區(qū)間[3 3上，，2 2

f f，f0．由f3xf

3x，取x0，得f 3

3 ，得 3 f 30， 2

2

f 2 2

f ）2 2 ∴f 3f ff 3 0．f ）2 2又∵函數(shù)fx是周期為3的周期函數(shù)，∴方程，，．fx=0∴方程，，．2 2D．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．9．C【解析】設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得yA

sin，yB

sin()，3y yA

3sin32 3

cos，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，x cos,y sin，A Acos(B

),y

sin( )，所以2y y3 A

2sin )3332sin1sin cos33

3sin cos 3sin() ，3當33

2 2 2 2 6時，取得等號.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.10．C【解析】z 2 .1i【詳解】由已知，z 2

2(1i)

1iz的虛部為1.1i (1i)(1i)C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.11．C【解析】m//n，可得(ab)2

(c 6)(c 6)，化簡利用余弦定理可得cos

a2b2c21，解得

．即可得出三角形面積．【詳解】m//n，m 6,am//n，

nb,c 6

3 2ab 2解： ， ，且(ab)2c 6)(c 6)a2b2c22ab6．cos

a2b2c2

2ab61

，解得ab6．3 2ab 2ab 233 3S 1absinC16 ．33 3ABC

2 2 2 2故選：C．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12．A【解析】 tanxcos2x

2tanx

，即可求解. 2 tan2x1【詳解】

ab，ab3sinxab，ab3sinx3cos2xsin2x

2sinxcosx 2 sin

xcos2x 2tanx 12.tan2x1 13故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關系，屬于中檔題.452013(,1]【解析】g(x)axtanxf(x)xg(x)g'(x)a

1，當a1x(1

, g'(x0g(x單x(

cos2x 2 2,0)gx)g(0)0f(x)xg(x)0f(x)xg'(xgx)0f(x)在(2

,0)上2x(0,

)時，g(x)g(0)0，f(x)xg(x)0，且f'(x)=xg'(x)+g(x)<0，∴f(x)在(0, )上單調2a遞減，∴x0是函數(shù)f(x)的極大值點，∴a1滿足題意；當a1時，存在t(0,)使得cost 1a2

2，即g'(t)0，g'(x)a

1在(0, )上單調遞減x(0,t)時，g'(t)0，g(x)g(0)0所以f(x)xg(x)f(0)0，1cos2x 2這與x0是函數(shù)f(x)的極大值點矛盾．綜上，a1．方法二：依據極值的定義，要使x0是函數(shù)f(x)的極大值點，由f(0)0知須在x0的左側附近，f(x)0，即axtanx0x0f(x)0，即axtanx0a1yaxytanx相切于原點，yaxytanx的圖象關系，可得a1．3 23 2 62【解析】類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角．【詳解】S S

326326 23 2 6BCD ACD S 3sin

，故BCD ，sin S 23 12

ACD sin12 4【點睛】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結構類比，方法類比等．115．4【解析】令3xyt，所求問題的最大值為2ma,只需求出

即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.max【詳解】作出可行域，如圖3xyty3xtt最大，且1

2，max故z23xy的最大值為22 .41故答案為：.4【點睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎題.16．3【解析】根據圓堡瑽（圓柱體）的體積為V【詳解】

1（底面圓的周長的平方高）,可得112

r2hr2h,進而可求出的值解:設圓柱底面圓的半徑為r,圓柱的高為h,由題意知1r2hr2h,解得3.12故答案為:3.【點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結合方程的思想即可求出結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。x217（Ⅰ）2

y21(y0)（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）先畫出圖形，結合垂直平分線和平行四邊形性質可得PO1

PO2

QO1

2 22a，故可確定點P軌跡為橢圓（y0，進而求解；（Ⅱ）xmy1坐標分別為x,

x,

，聯(lián)立直線與橢圓方程得yy

2m ，1 1 2 21 y1

1 22y1

m22yy

，分別由點斜式求得直線KA

的方程為y1 1 x

，令x0得y

1 ，同理得12 m22

x21

M my112y1 y y 2 ，由M N結合韋達定理即可求解，而S

1MN2MN2y

，當M重合N my12

2 KMN 2 M交于0,1點時，可求最值；【詳解】（Ⅰ）PO1

PO2

PRPO2

RO2

QO1

2 2，所以點P的軌跡是一個橢圓，且長軸長2a2 2，半焦距c1，所以b2

a2

c2

1，軌跡C的方程為 y21(y0).x2x2（Ⅱ）AB0時，與曲線C無交點.當直線AB的斜率不為0時，設過點O 的直線方程為xmy1，點坐標分別為x,

x,y.2 xmy

1 1 2 2直線與橢圓方程聯(lián)立得x2 消去x，得

m22 y22my10.y22

1,則yy

2m 1，yy .1 2 m22 12 m22KAy1

y11x21

x2.x0y

2y

1.y

M my11m2y1 2 .N my12y

m2ymym2ymy

所以M N

1 2 2 12mm2yyy

y

my11

my12 12

1 2m2yym12

yy 11 2mm22mm22 m22m2m221.所以MN的中點為0,1.MN點的上方，SKMN

1MN2MN2y2

2114.【點睛】本題考查根據橢圓的定義求橢圓的方程，橢圓中的定點定值問題，屬于中檔題18（）證明見解析（）725【解析】DE//BF，然后根據勾股定理計算可得BF＝DE可得結果.ABF的一個法向量為nCDF的法向量為m，然后利用向量的夾角公式以及平方關系，可得結果.【詳解】DEABCDDEAD＝4，AE＝5，DE＝3BF＝3，DEABCD，BFABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，BEDFDF//BE，BEBCE，DFDF//BCE；建立如圖空間直角坐標系，則（，，（，，，（，，，（，，﹣，DCDF設平面CDF的法向量為m（x，y，z），mDC4y0由 ，mDF4x3y3z0

x＝3，得

m易知平面ABF的一個法向量為n1,0,0，所以3，57故cos2cos21 .25【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎題.19．(1) AC【解析】

22 (2) sinCABsinACB922利用余弦定理可得AC（）利用面積得出ac，結合正弦定理可得.【詳解】1（）由題可知cosDcos2B12sin2B8.AC2AD2CD22ACCDcosD22，所以AC 22.

ABC

1ABBCsinB6ABBC16.2BC AB AC 4 22又 ，sinCAB sinACB sinB 3sinCABsinACB16 3 29所以 4 22 22. 【點睛】20（）見解析（）見解析【解析】(1)、BDO,EFGH,即可.(2)ACBDSDAC即可.【詳解】BDO,EFGH,OAC的中點,HOC的中點FBC的中點,CG 再由題意可得

1,所以在三角形CAS中,SA平面EFG,GH平面EFG,所以直線SA 平面CS CA 4EFG.在ASD中,SD1,AD2,cosASD 5,由余弦定理,AD2SA2SD22SASDcosASD,即522SA22SA1 5,解得SA 5由勾股定理逆定理可知SDDA,因為側面SAD底面ABCD,由面面5BDD垂直的性質定理可知SD平面ABCD,所以SDAC,因為底面ABCD是菱形所以ACBD,因為BDD所以AC平面SDB.【點睛】7本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.721（）A3

（I）5 ．【解析】（）由已知可得sinCsin(AB)sinBsin(AB)2cossinB