§5.3有限字長運算對數字濾波器的影響

DF的實現，涉及到兩種運算：相乘、求和。定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非線性，采用統計分析的方法，將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因而仍可用線性流圖表示定點相乘。

定點相乘運算統計分析的流圖表示§5.3有限字長運算對數字濾波器的影響DF

對舍入噪聲e(n)作如下的假設：1.e(n)為平穩隨機噪聲序列；2.e(n)與輸入序列x(n)不相關，各噪聲之間也互不相關。3.e(n)為白色噪聲；4.在量化間隔上均勻分布（即每個噪聲都是均勻等概率分布）。有了這些條件，整個系統就可作為線性系統處理。每一個噪聲可用第一章所講的線性離散系統的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲經線性迭加得到總的噪聲輸出。

下面分析三種情況下的有限字長效應：

IIR濾波器

FIR濾波器

FFT計算計算輸出的量化噪聲方差對舍入噪聲e(n)作如下的假設：1.e(n)為平穩隨機噪

5.3.1IIR的有限字長效應

以一階IIR濾波器為例，其輸入與輸出關系可用差分方程表示為：

乘積項將引入一個舍入噪聲，如圖上述一階系統的單位脈沖響應為

系統函數為

由于是迭加在輸入端的，故由造成的輸出誤差為：

5.3.1IIR的有限字長效應第五章有限字長運算對數字濾波器的影響-第三節課件

輸出噪聲方差

或由上兩式均可求得

可見字長越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階DF的輸出噪聲。

輸出噪聲方差例4：一個二階IIR低通數字濾波器，系統函數為

采用定點制算法，尾數作舍入處理，分別計算其直接型、級聯型、并聯型三種結構的舍入誤差。解：①直接型

例4：一個二階IIR低通數字濾波器，系統函數為直接型結構流圖如圖直接型結構流圖如圖

圖中、、分別為系數0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲這三個舍入噪聲通過網絡形成的，如圖5.28b，因此

是H0(z)的單位脈沖響應,輸出噪聲的方差為：圖中、、輸出噪聲的方差為：

將代入，利用留數定理得：輸出噪聲的方差為：

②級聯型將H(z)分解

結構流圖為

圖5.29IIR級聯型的舍入噪聲分析

②級聯型由圖中可見，噪聲、通過網絡，

噪聲只通過網絡，

即和分別是H1(z)和H2(z)的單位脈沖響應,由圖中可見，噪聲、通過因此：

將代入，得：（思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結果會怎樣）

因此：因此：

將代入，得：因此：

③并聯型將H(z)分解為部分分式

其結構如圖：

0.36

0.9

-0.32

0.8圖IIR并聯型的舍入噪聲分析

③并聯型

并聯型結構有4個系數，有4個舍入噪聲，其中只通過網絡，通過網絡。

輸出噪聲方差為：

代入B1(z)和B2(z)及的值，得：

并聯型結構有4個系數，有4個舍入噪聲，其中比較三種結構的誤差大小，可知直接型>級聯型>并聯型原因：

l直接型結構的所有舍入誤差都經過全部網絡的反饋環節，反饋過程中誤差積累，輸出誤差很大。

l級聯型結構，每個舍入誤差只通過其后面的反饋環節，而不通過它前面的反饋環節，誤差小于直接型。

l并聯型：每個并聯網絡的舍入誤差只通過本身的反饋環節，與其它并聯網絡無關，積累作用最小，誤差最小。該結論對IIRDF有普遍意義。因此，從有限字長效應看，直接型（Ⅰ、Ⅱ型）結構最差，運算誤差最大，高階時避免采用。級聯型結構較好。并聯型結構最好，運算誤差最小。結論：IIR濾波器的有限字長效應與它的結構有關。比較三種結構的誤差大小，可知該結論對IIRDF有普遍意義。5.3.2FIR的有限字長效應

IIR的分析方法同樣適用于FIR濾波器，FIR濾波器無反饋環節（頻率采樣型結構除外），不會造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不會產生非線性振蕩。以橫截型結構為例分析FIR的有限字長效應。5.3.2FIR的有限字長效應①舍入噪聲

N階FIR的系統函數為：

無限精度下，直接型結構的差分方程為：

有限精度運算時，

①舍入噪聲每一次相乘后產生一個舍入噪聲

故

輸出噪聲為：

如圖。每一次相乘后產生一個舍入噪聲圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡單和。于是，輸出噪聲方差與字長有關，與階數有關，N越高，運算誤差越大，或者，在運算精度相同的情況下，階數越高的濾波器需要的字長越長。圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪例：FIR濾波器，N=10，b=17時N=1024時，

因此，濾波器輸出中，小數點后只有4位數字是有效的。

例：FIR濾波器，N=10，b=17時②動態范圍：

定點運算時，動態范圍的限制，常導致FIR的輸出結果發生溢出。利用比例因子，壓縮信號的動態范圍，可避免溢出。FIR輸出：定點數不產生溢出的條件：為使結果不溢出，對采用標度因子A，使由此確定A。對于窄帶信號略顯保守②動態范圍：定點數不產生溢出的條件：對于窄帶信號略顯保守5.3.3FFT計算中的有限字長效應

按時間抽取的8點FFTM級、N/2個蝶形結1、輸出噪聲的方差：5.3.3FFT計算中的有限字長效應按時間抽取的8點Fxl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)蝶形運算的量化誤差-1xl(n)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)蝶形運算的

相乘所引入的舍入誤差源是復數，每個復乘包括4個實乘，每個定點實乘產生一個舍入誤差源，因此產生四個誤差源e1，e2，e3和e4，即

相乘所引入的舍入誤差源是復數，每個復乘包括4個當誤差源e(l,n)通過后級蝶形結時，加、減運算是不會影響方差的，而通過乘系數后，對方差的影響為：

e(l,n)通過所有蝶形結時，加、減和乘的運算對方差均無影響。這樣，計算FFT的最后輸出誤差，只需知道輸出結點共連接多少個蝶形結即可。

當誤差源e(l,n)通過后級蝶形結時，加、減運算是不會影響方N=8時連接到X(0)的各蝶形結x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)-1-1-1-1-1-1-1N=8時連接到X(0)的各蝶形結x(0)x(4)x(2)x(連接到X(k)末端的誤差源總數為

X(k)上疊加的輸出噪聲的均方值(即為方差，因均值為零)為:連接到X(k)末端的誤差源總數為X(k)上疊加的輸出噪聲蝶形結輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍

因此，FFT最后輸出最大值有可能等于輸入值的倍，即因而要求

2、輸出的信噪比蝶形結輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍因此，FFT這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。如果假設x(n)在區間內是均勻等概分布的，因而x(n)的方差為

而

因而

從而得到在這種防止溢出方法下輸出的信噪比。這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過小問題加比例因子的蝶形運算WNp/21/2e(l,m)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)xl(n)-1一個蝶形結乘1/2后所形成的總的誤差方差為

第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過小問題加但每往前一級，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照圖蝶形結的聯接，則可求出總的輸出噪聲方差為

考慮到輸出信號的方差仍為則可得到

蝶形結個數此時信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，這顯然比把1/N的比例因子全放在輸入端的情況要好得多。

但每往前一級，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照圖蝶形結還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點運算。基本思想是對FFT蝶形運算的每一級輸出的N個數共用一個階碼。計算按定點運算進行，開始時對于所有的輸入定點數x(n)，n=0,1,2,…,N-1，共用的階碼c=0。一級級做蝶形運算，一旦某個蝶形結計算中出現溢出，則將整個這一級的序列（運算過的和未運算過的）全部乘1/2，并在階碼c上加1，然后運算從發生溢出的蝶形結繼續下去。當以后某級蝶形運算又出現溢出時，再對該級的序列乘上1/2衰減因子，并在階碼c上加1，直到M級計算完為止。這種辦法要增加檢驗溢出的判斷步驟，目前許多信號處理硬件均具有溢出檢測功能，在做加減運算的同時一旦發生溢出就自動將溢出標志位置位。最后FFT結果的比例因子即為此法可以提高FFT的信噪比

還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點運算。此法可以提高FFT11醉翁亭記

1．反復朗讀并背誦課文，培養文言語感。

2．結合注釋疏通文義，了解文本內容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學家、史學家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于《岳陽樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來就讓我們一起來學習這篇課文吧！【教學提示】結合前文教學，有利于學生把握本文寫作背景，進而加深學生對作品含義的理解。二、教學新課目標導學一：認識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(1007—1072)，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學家、史學家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士。客有問曰：“六一何謂也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺。”客曰：“是為五一爾，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內心抑郁，但還能發揮“寬簡而不擾”的作風，取得了某些政績。《醉翁亭記》就是在這個時期寫就的。目標導學二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節奏，標出節奏劃分有疑難的語句。節奏劃分示例

環滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰？太守/自謂也。太守與客來飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂。“望之/蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應從其后斷句。【教學提示】引導學生在反復朗讀的過程中劃分朗讀節奏，在劃分節奏的過程中感知文意。對于部分結構復雜的句子，教師可做適當的講解引導。目標導學三：結合注釋，翻譯訓練1．學生結合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處。【教學提示】節奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節奏劃分引導學生明確文意最好；若學生理解有限，亦可在解讀文意后把握節奏劃分。2．以四人小組為單位，組內互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請學生用兩種翻譯方法進行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發而幽香，佳木秀而繁陰，風霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教學提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學生用語的準確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強譯文的美感，培養學生的翻譯興趣，但可能會降低譯文的準確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導。全文直譯內容見《我的積累本》。目標導學四：解讀文段，把握文本內容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運用了怎樣的藝術手法。

明確：首先以“環滁皆山也”五字領起，將滁州的地理環境一筆勾出，點出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點山“秀”，照應上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關系，好泉釀好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”來。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯系？明確：第二段利用時間推移，抓住朝暮及四季特點，描繪了對比鮮明的晦明變化圖及四季風光圖，寫出了其中的“樂亦無窮”。第二段是第一段“山水之樂”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯，說說笑笑，無拘無束。如此勾畫了游人之樂。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂圖。游樂場景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現太守與百姓關系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會散、眾人歸的情景。目標導學五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個“樂”字貫穿全篇，卻有兩個句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達出另外一種情緒，請你找出這兩個句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。”此句與醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達了作者內心復雜的思想感情。目標導學六：賞析文本，感受文本藝術特色1．在把握作者復雜感情的基礎上朗讀文本。2．反復朗讀，請同學說說本文讀來有哪些特點，為什么會有這些特點。(1)句法上大量運用駢偶句，并夾有散句，既整齊又富有變化，使文章越發顯得音調鏗鏘，形成一種駢散結合的獨特風格。如“野芳發而幽香，佳木秀而繁陰”“朝而往，暮而歸，四時之景不同，而樂亦無窮也”。(2)文章多用判斷句，層次極其分明，抒情淋漓盡致，“也”“而”的反復運用，形成回環往復的韻律，使讀者在誦讀中獲得美的享受。(3)文章寫景優美，又多韻律，使人讀來不僅能感受到繪畫美，也能感受到韻律美。目標導學七：探索文本虛詞，把握文言現象虛詞“而”的用法用法

文本舉例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而魚肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧嘩者表遞進 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.漸聞水聲潺潺，而瀉出于兩峰之間者；2.若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝；3.野芳發而幽香，佳木秀而繁陰；4.水落而石出者；5.臨溪而漁；6.太守歸而賓客從也；7.人知從太守游而樂表修飾 1.朝而往，暮而歸；2.雜然而前陳者表轉折 1.而不知人之樂；2.而不知太守之樂其樂也虛詞“之”的用法用法

文本舉例表助詞“的” 1.瀉出于兩峰之間者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之樂；4.山間之朝暮也；5.宴酣之樂位于主謂之間，取消句子獨立性

而不知太守之樂其樂也表代詞 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者誰(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之樂)【教學提示】

更多文言現象請參見《我的積累本》。三、板書設計路線：環滁——瑯琊山——釀泉——醉翁亭風景：朝暮之景——四時之景山水之樂(醉景)風俗：滁人游——太守宴——眾賓歡——太守醉宴游之樂(醉人)

心情：禽鳥樂——人之樂——樂其樂與民同樂(醉情)

可取之處

重視朗讀，有利于培養學生的文言語感，并通過節奏劃分引導學生理解文意，突破了僅按注釋疏通文義的桎梏，有利于引導學生自主思考；不單純關注“直譯”原則，同時培養學生的“意譯”能力，引導學生關注文言文的美感，在一定程度上有助于培養學生的核心素養。

不足之處

文章難度相對較高，基礎能力低的學生難以適應該教學。

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1．反復朗讀并背誦課文，培養文言語感。

§5.3有限字長運算對數字濾波器的影響

DF的實現，涉及到兩種運算：相乘、求和。定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非線性，采用統計分析的方法，將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因而仍可用線性流圖表示定點相乘。

定點相乘運算統計分析的流圖表示§5.3有限字長運算對數字濾波器的影響DF

對舍入噪聲e(n)作如下的假設：1.e(n)為平穩隨機噪聲序列；2.e(n)與輸入序列x(n)不相關，各噪聲之間也互不相關。3.e(n)為白色噪聲；4.在量化間隔上均勻分布（即每個噪聲都是均勻等概率分布）。有了這些條件，整個系統就可作為線性系統處理。每一個噪聲可用第一章所講的線性離散系統的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲經線性迭加得到總的噪聲輸出。

下面分析三種情況下的有限字長效應：

IIR濾波器

FIR濾波器

FFT計算計算輸出的量化噪聲方差對舍入噪聲e(n)作如下的假設：1.e(n)為平穩隨機噪

5.3.1IIR的有限字長效應

以一階IIR濾波器為例，其輸入與輸出關系可用差分方程表示為：

乘積項將引入一個舍入噪聲，如圖上述一階系統的單位脈沖響應為

系統函數為

由于是迭加在輸入端的，故由造成的輸出誤差為：

5.3.1IIR的有限字長效應第五章有限字長運算對數字濾波器的影響-第三節課件

輸出噪聲方差

或由上兩式均可求得

可見字長越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階DF的輸出噪聲。

輸出噪聲方差例4：一個二階IIR低通數字濾波器，系統函數為

采用定點制算法，尾數作舍入處理，分別計算其直接型、級聯型、并聯型三種結構的舍入誤差。解：①直接型

例4：一個二階IIR低通數字濾波器，系統函數為直接型結構流圖如圖直接型結構流圖如圖

圖中、、分別為系數0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲這三個舍入噪聲通過網絡形成的，如圖5.28b，因此

是H0(z)的單位脈沖響應,輸出噪聲的方差為：圖中、、輸出噪聲的方差為：

將代入，利用留數定理得：輸出噪聲的方差為：

②級聯型將H(z)分解

結構流圖為

圖5.29IIR級聯型的舍入噪聲分析

②級聯型由圖中可見，噪聲、通過網絡，

噪聲只通過網絡，

即和分別是H1(z)和H2(z)的單位脈沖響應,由圖中可見，噪聲、通過因此：

將代入，得：（思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結果會怎樣）

因此：因此：

將代入，得：因此：

③并聯型將H(z)分解為部分分式

其結構如圖：

0.36

0.9

-0.32

0.8圖IIR并聯型的舍入噪聲分析

③并聯型

并聯型結構有4個系數，有4個舍入噪聲，其中只通過網絡，通過網絡。

輸出噪聲方差為：

代入B1(z)和B2(z)及的值，得：

并聯型結構有4個系數，有4個舍入噪聲，其中比較三種結構的誤差大小，可知直接型>級聯型>并聯型原因：

l直接型結構的所有舍入誤差都經過全部網絡的反饋環節，反饋過程中誤差積累，輸出誤差很大。

l級聯型結構，每個舍入誤差只通過其后面的反饋環節，而不通過它前面的反饋環節，誤差小于直接型。

l并聯型：每個并聯網絡的舍入誤差只通過本身的反饋環節，與其它并聯網絡無關，積累作用最小，誤差最小。該結論對IIRDF有普遍意義。因此，從有限字長效應看，直接型（Ⅰ、Ⅱ型）結構最差，運算誤差最大，高階時避免采用。級聯型結構較好。并聯型結構最好，運算誤差最小。結論：IIR濾波器的有限字長效應與它的結構有關。比較三種結構的誤差大小，可知該結論對IIRDF有普遍意義。5.3.2FIR的有限字長效應

IIR的分析方法同樣適用于FIR濾波器，FIR濾波器無反饋環節（頻率采樣型結構除外），不會造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不會產生非線性振蕩。以橫截型結構為例分析FIR的有限字長效應。5.3.2FIR的有限字長效應①舍入噪聲

N階FIR的系統函數為：

無限精度下，直接型結構的差分方程為：

有限精度運算時，

①舍入噪聲每一次相乘后產生一個舍入噪聲

故

輸出噪聲為：

如圖。每一次相乘后產生一個舍入噪聲圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡單和。于是，輸出噪聲方差與字長有關，與階數有關，N越高，運算誤差越大，或者，在運算精度相同的情況下，階數越高的濾波器需要的字長越長。圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪例：FIR濾波器，N=10，b=17時N=1024時，

因此，濾波器輸出中，小數點后只有4位數字是有效的。

例：FIR濾波器，N=10，b=17時②動態范圍：

定點運算時，動態范圍的限制，常導致FIR的輸出結果發生溢出。利用比例因子，壓縮信號的動態范圍，可避免溢出。FIR輸出：定點數不產生溢出的條件：為使結果不溢出，對采用標度因子A，使由此確定A。對于窄帶信號略顯保守②動態范圍：定點數不產生溢出的條件：對于窄帶信號略顯保守5.3.3FFT計算中的有限字長效應

按時間抽取的8點FFTM級、N/2個蝶形結1、輸出噪聲的方差：5.3.3FFT計算中的有限字長效應按時間抽取的8點Fxl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)蝶形運算的量化誤差-1xl(n)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)蝶形運算的

相乘所引入的舍入誤差源是復數，每個復乘包括4個實乘，每個定點實乘產生一個舍入誤差源，因此產生四個誤差源e1，e2，e3和e4，即

相乘所引入的舍入誤差源是復數，每個復乘包括4個當誤差源e(l,n)通過后級蝶形結時，加、減運算是不會影響方差的，而通過乘系數后，對方差的影響為：

e(l,n)通過所有蝶形結時，加、減和乘的運算對方差均無影響。這樣，計算FFT的最后輸出誤差，只需知道輸出結點共連接多少個蝶形結即可。

當誤差源e(l,n)通過后級蝶形結時，加、減運算是不會影響方N=8時連接到X(0)的各蝶形結x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)-1-1-1-1-1-1-1N=8時連接到X(0)的各蝶形結x(0)x(4)x(2)x(連接到X(k)末端的誤差源總數為

X(k)上疊加的輸出噪聲的均方值(即為方差，因均值為零)為:連接到X(k)末端的誤差源總數為X(k)上疊加的輸出噪聲蝶形結輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍

因此，FFT最后輸出最大值有可能等于輸入值的倍，即因而要求

2、輸出的信噪比蝶形結輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍因此，FFT這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。如果假設x(n)在區間內是均勻等概分布的，因而x(n)的方差為

而

因而

從而得到在這種防止溢出方法下輸出的信噪比。這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過小問題加比例因子的蝶形運算WNp/21/2e(l,m)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)xl(n)-1一個蝶形結乘1/2后所形成的總的誤差方差為

第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過小問題加但每往前一級，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照圖蝶形結的聯接，則可求出總的輸出噪聲方差為

考慮到輸出信號的方差仍為則可得到

蝶形結個數此時信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，這顯然比把1/N的比例因子全放在輸入端的情況要好得多。

但每往前一級，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照圖蝶形結還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點運算。基本思想是對FFT蝶形運算的每一級輸出的N個數共用一個階碼。計算按定點運算進行，開始時對于所有的輸入定點數x(n)，n=0,1,2,…,N-1，共用的階碼c=0。一級級做蝶形運算，一旦某個蝶形結計算中出現溢出，則將整個這一級的序列（運算過的和未運算過的）全部乘1/2，并在階碼c上加1，然后運算從發生溢出的蝶形結繼續下去。當以后某級蝶形運算又出現溢出時，再對該級的序列乘上1/2衰減因子，并在階碼c上加1，直到M級計算完為止。這種辦法要增加檢驗溢出的判斷步驟，目前許多信號處理硬件均具有溢出檢測功能，在做加減運算的同時一旦發生溢出就自動將溢出標志位置位。最后FFT結果的比例因子即為此法可以提高FFT的信噪比

還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點運算。此法可以提高FFT11醉翁亭記

1．反復朗讀并背誦課文，培養文言語感。

2．結合注釋疏通文義，了解文本內容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學家、史學家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于《岳陽樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來就讓我們一起來學習這篇課文吧！【教學提示】結合前文教學，有利于學生把握本文寫作背景，進而加深學生對作品含義的理解。二、教學新課目標導學一：認識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(1007—1072)，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學家、史學家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士。客有問曰：“六一何謂也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺。”客曰：“是為五一爾，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內心抑郁，但還能發揮“寬簡而不擾”的作風，取得了某些政績。《醉翁亭記》就是在這個時期寫就的。目標導學二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節奏，標出節奏劃分有疑難的語句。節奏劃分示例

環滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰？太守/自謂也。太守與客來飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂。“望之/蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應從其后斷句。【教學提示】引導學生在反復朗讀的過程中劃分朗讀節奏，在劃分節奏的過程中感知文意。對于部分結構復雜的句子，教師可做適當的講解引導。目標導學三：結合注釋，翻譯訓練1．學生結合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處。【教學提示】節奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節奏劃分引導學生明確文意最好；若學生理解有限，亦可在解讀文意后把握節奏劃分。2．以四人小組為單位，組內互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請學生用兩種翻譯方法進行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發而幽香，佳木秀而繁陰，風霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教學提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學生用語的準確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強譯文的美感，培養學生的翻譯興趣，但可能會降低譯文的準確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導。全文直譯內容見《我的積累本》。目標導學四：解讀文段，把握文本內容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運用了怎樣的藝術手法。

明確：首先以“環滁皆山也”五字領起，將滁州的地理環境一筆勾出，點出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視