核心素養(yǎng)視域下高中立體幾何教學(xué)策略分析——以“與球有關(guān)的切與接問題”為例目錄01真題分析02考情學(xué)情03教學(xué)策略真題分析數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）①認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。②知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見（2021年8月）認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，了解與正方體、球有關(guān)的簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征。能根據(jù)條件判斷幾何體的類型。

2019-2022年全國卷數(shù)學(xué)高考有關(guān)球的試題年份卷型題型·題號分值題涉考點難度2022新高考1卷單選題·85分錐體體積、球體體積、多面體與球內(nèi)切外接、函數(shù)導(dǎo)數(shù)（基本不等式）求最值難新高考2卷單選題·75分球的表面積、多面體與球內(nèi)切外接中乙卷理科(文科)單選題·9(12)4分多面體與球內(nèi)切外接、錐體體積、基本不等式（也可用函數(shù)導(dǎo)數(shù)）求最值中2021甲卷理科選擇題·114分球內(nèi)幾何體、幾何體的體積中新高考2卷單選題·45分球的表面積和體積公式、數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用易2020新高考1卷2卷單選題·45分平面平行、線面垂直、古代數(shù)學(xué)文化、線面角中1卷理科（文科）選擇題·10（12）4分球的表面積、球的截面性質(zhì)中2卷文科單選題·114分球的表面積、球的截面性質(zhì)中3卷理科填空題·154分圓錐內(nèi)切球、球體體積、截面性質(zhì)中

20191卷理科選擇題·124分正方體外接球、線面垂直、球的體積中球體體積、表面積、多面體與球內(nèi)切外接、線面位置關(guān)系、與不等式、函數(shù)相結(jié)合等問題。考查內(nèi)容考查難度考查題型考查能力簡單、中檔、難題均有，近四年以中檔題為主。選擇題或者填空題，一題。數(shù)學(xué)運算、空間想象能力、邏輯推理能力。難題考察知識的綜合應(yīng)用能力。01高考中的球重基礎(chǔ)會

畫

圖能計算1234全國卷喜歡考的內(nèi)容:1.球的切,接,截問題2.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用需要引起重視的地方:球全國卷最高頻考點:1.球的切,接,截問題2.球及多面體的體積與表面積全國卷與浙江卷的差異:關(guān)于球,全國卷常考常新;浙江卷從不涉及考情與浙江卷對比02學(xué)情分析1.學(xué)生基礎(chǔ)知識薄弱，立體幾何模塊整體知識的靈活應(yīng)用能力不足2.數(shù)形結(jié)合和空間想象能力不夠3.轉(zhuǎn)化與化歸能力的缺乏（缺少建構(gòu)基本模型如：正方體、長方體、正四面體外接球內(nèi)切球等）4.數(shù)學(xué)運算能力差，缺乏必要的運算技巧（含參運算、解方程組、整體代換）

5.立體幾何學(xué)習(xí)上具有畏懼心理，缺乏自信心教學(xué)策略一、注重直觀感知和作圖能力，培養(yǎng)直觀想象例1已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為√一、注重直觀感知和作圖能力，培養(yǎng)直觀想象例1(變式)已知∠ABC＝60°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為

二、通過問題變式,深化邏輯推理的能力二、通過問題變式,深化邏輯推理的能力變式1條件不變，求此時三棱錐內(nèi)切球的表面積。變式2條件不變，求點O到平面ABC的距離。這個變式也是2020年全國Ⅱ卷理科第10題的題源

。二、通過問題變式,深化邏輯推理的能力也是2021年全國甲卷理科第11題的題源

。三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)補形為長方體思考：例1還有別的方法解決嗎？例1已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；√例3.已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)一柱體背景的模型--模型1.墻角模型補形為長方體三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)一柱體背景的模型--模型1.墻角模型補形為正方體（湖麗衢2022.11月聯(lián)考單選題5）三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)柱體背景的模型--模型1.墻角模型關(guān)鍵點找到三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2A.2π B.4π C.6π D.8π√三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)模型2.對棱相等模型補形為長方體三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)模型3.漢堡模型

(直棱柱的外接球,圓柱的外接球,有一側(cè)棱垂直于底面的多面體)關(guān)鍵點確定球心O的位置，底面小圓圓心O1,OO1⊥底面，利用勾股定理（R）2=OO12+AO12三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)錐體背景的模型--模型4.切瓜模型截面法關(guān)鍵點是抓住球的截面性質(zhì):(1)球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面;(2)球的半徑R,截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2√

例5(2022·新高考全國I卷·第8題)

已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上。若該球的體積為

，且

，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

(兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑)三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)錐體背景的模型--模型5.錐體內(nèi)切球模型與球截面有關(guān)的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)二面角背景的模型--模型6.折疊模型

(兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊)

解決問題的基本方法是找到合適的模型，然后將三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面中圖形的位置關(guān)系,球的截面的性質(zhì)。解題關(guān)鍵是找到模型,會畫三圖和補形。

三、注重模型化與平面化的培養(yǎng)四、注重轉(zhuǎn)化與化歸思想的培養(yǎng)

通過變式問題鏈設(shè)計，以及將題型模型化處理后，學(xué)生由淺入深地展開思考，并在不斷推理中深化外接球、內(nèi)切球問題的解決方法與技巧，訓(xùn)練學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想，降維思考。選準(zhǔn)最佳角度作圖，達(dá)到空間問題平面化的目的.空間問題平面問題一般模型特殊模型五、結(jié)語

在“與球有關(guān)的切與接問題”教學(xué)中，學(xué)生核心素養(yǎng)與解題能力的培育應(yīng)注重：①堅持回歸基礎(chǔ)，從球心的定義找球心，掌握球與多面體的內(nèi)切、外接性質(zhì)；②深化通解通法，從高考真題出發(fā)，結(jié)合變式訓(xùn)練，建立多元化的解題應(yīng)變策略；③掌握綜合知識，從加強學(xué)生識圖、作圖、想圖的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力。還要結(jié)合方程思想、不等式的應(yīng)用、函數(shù)思想等知