折疊問題強化練習1．如圖，將一張邊長為8的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段MN的長為（ ）A．10 B．4 C． D．2．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：①四邊形 CFHE是菱形；EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當點H與點A重合時，EF=2．以上結論中，你認為正確的有（）個．A．1B．2C．3D．43．如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么△ABE的面積是（）A．1B．C．D．5．已知：如圖，四邊形AOBC是矩形，以O為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，點A的坐標為（0，3），∠OAB=60°，以AB為軸對折后，C點落在D點處，則D點的坐標為（ ）A． B． C． D．6．小明在學習“銳角三角函數”中發現，將如圖所示的矩形紙片 ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點 E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出 °角的正切值是（ ）A． +1 B． +1 C． D．7．如圖，在菱形紙片 ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點 A、D分別落在點 A′、D′處，且A′D經′過點B，EF為折痕，當 D′F⊥CD時， 的值為（ ）A． B． C． D．8．如圖，矩形 ABCD中，E是AD的中點，將△ ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，FD=2，則BC的長為（ ）A．3 B．2 C．2 D．29．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連接CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為 1：4，則 的值為（ ）A．2B．4C．D．10．如圖，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，則△ABC與△AB′D重疊部分的面積為（）A． B． C．3﹣ D．11．如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M是邊BC上的點，連接AM．如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好在邊AC的中點處，那么點 M到AC的距離是（ ）A． B．2 C．

D．312．矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點在邊CD上的B′處，折痕為AE．延長B′E交AB的延長線于

B落M，折痕AE上有點P，下列五個結論中正確的有（ ）個①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；

；④MB′=CD；⑤若

B′PCD，則EB′=B′P．A．2 B．3 C．4 D．513．如圖，正方形 ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．414．如圖．在直角坐標系中，矩形 ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線 AC翻折，B點落在D點的位置，且 AD交y軸于點E．那么點 D的坐標為（ ）A． B． C． D．15．如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6．將紙片折疊，使得上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則

AD邊落在CF的長為（

AB邊）A．6 B．4 C．2 D．116．如圖所示，在完全重合放置的兩張矩形紙片 ABCD中，AB=4，BC=8，將上面的矩形紙片折疊，使點 C與點A重合，折痕為 EF，點D的對應點為 G，連接DG，則圖中陰影部分的面積為（ ）A． B．6 C． D．17．在矩形紙片 ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現將紙片折疊壓平，使果設折痕為 EF，那么重疊部分△ AEF的面積等于（ ）

A與C重合，如A．B．C．D．18．如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結論中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四邊形ADFE=AFDE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正確的個數是（）A．1B．2C．3D．4二．解答題（共12小題）19．如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形 EFGP的面積為 S，求出S與x的函數關系式，試問 S是否存在最小值若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．20．（1）操作發現：如圖，矩形 ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎說明理由．（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若 DC=2DF，求 的值；（3）類比探求：保持（1）中條件不變，若 DC=nDF，求 的值．21．問題解決：如圖（1），將正方形紙片 ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕 MN．當 時，求 的值．類比歸納：在圖（1）中，若，則的值等于；若，則的值等于；若（n為整數），則的值等于．（用含n的式子表示）聯系拓廣：如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN，設，則的值等于．（用含m，n的式子表示）22．通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．根據 ，易證△AFG≌ ，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系 時，仍有EF=BE+DF．（3）聯想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．23．如圖，矩形

ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點

P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點

P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖

E，F．1，則 的值為

；（2）現將三角板繞點

P逆時針旋轉 α（0°＜α＜60°）角，如圖

2，求

的值；（3）在（2）的基礎上繼續旋轉，當

60°＜α＜90°，且使

AP：PC=1：2時，如圖

3，的值是否變化證明你的結論．24．閱讀材料如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為 O，連結BF、CD、CO，顯然點 C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．解決問題（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；（2）如圖③，若△ ABC與△DEF都是等邊三角形， AB、EF的中點均為 O，上述（1）中的結論仍然成立嗎如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為 0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出 的值（用含 α的式子表示出來）25．問題情境：如圖，正方形 ABCD的邊長為6，點E是射線BC上的一個動點，連結AE并延長，交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點 B坐在點B′處．自主探究：（1）當 =1時，如圖 1，延長AB′，交CD于點．①CF的長為 ；②求證：AM=FM．（2）當點B′恰好落在對角線 AC上時，如圖 2，此時CF的長為 ，= ．拓展運用：（3）當 =2時，求sin∠DAB′的值．26．如圖1，正方形ABCD與正方形 AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為 α．在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接 BE、DG．1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；2）當點C在直線BE上時，連接FC，直接寫出∠FCD的度數；（3）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE= ，求點G到BE的距離．27．已知：如圖①，在矩形 ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關于AB的對稱點，連接 AF、BF．1）求AE和BE的長；2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值．3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF，′在旋轉過程中，設A′F所′在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．28．已知：Rt△A′BC≌′Rt△ABC，∠A′C′∠B=ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點B旋轉，設旋轉過程中直線CC′和AA′相交于點D．1）如圖1所示，當點C′在AB邊上時，判斷線段AD和線段A′D之間的數量關系，并證明你的結論；2）將Rt△A′BC由′圖1的位置旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）將Rt△A′BC由′圖1的位置按順時針方向旋轉 α角（0°≤α≤）120，當°A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉角的度數．29．問題情境：如圖鐵絲制作的直角的頂點

1，直角三角板 ABC中，∠C=90°，AC=BC，將一個用足夠長的細D放在直角三角板 ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點 D旋轉，并使其兩邊分別與三角板的 AC邊、BC邊交于P、Q兩點．問題探究：（1）在旋轉過程中，①如圖2，當AD=BD時，線段DP、DQ有何數量關系并說明理由．②如圖3，當AD=2BD時，線段 DP、DQ有何數量關系并說明理由．③根據你對①、②的探究結果，試寫出當 AD=nBD時，DP、DQ滿足的數量關系為（直接寫出結論，不必證明）2）當AD=BD時，若AB=20，連接PQ，設△DPQ的面積為S，在旋轉過程中，S是否存在最小值或最大值若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．30．問題情境：數學