信號(hào)與系統(tǒng)（Signals

&

Systems）核工程與核技術(shù)系2018-2019第二學(xué)期參考書123信號(hào)與線性系統(tǒng)分析，，第四版信號(hào)與系統(tǒng)，

，第三版Signals

&

Systems，Alan

V.Oppenheim

，

2nd

Edition（3’）信號(hào)與系統(tǒng)，奧本海姆，第二版，劉樹棠譯作業(yè)：10%課堂成績(jī)（考勤、互動(dòng)）：10%實(shí)驗(yàn)課：15%考試：閉卷65%考核方式第一章信號(hào)與系統(tǒng)緒

言一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念信號(hào)的描述與分類一、信號(hào)的描述二、信號(hào)的分類信號(hào)的基本運(yùn)算一、加法和乘法二、時(shí)間變換階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍函數(shù)二、沖激函數(shù)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)四、序列δ(k)和ε(k)系統(tǒng)的描述一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)LTI系統(tǒng)分析方法概述系統(tǒng)？為什么把這兩個(gè)概念信號(hào)？連在一起？一、信號(hào)的概念1.消息(message):人們常常把來自外界的各種

統(tǒng)稱為消息。2.信息(information):它是信息論中的一個(gè)術(shù)語。通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對(duì)“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。信息量=收到消息前對(duì)某事件的無知程度—收到消息后對(duì)某事件的無知程度1.1

緒言1.1

緒言3.

信號(hào)(signal):信號(hào)是信息的載體。通過信號(hào)傳遞信息。為了有效地

和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。信號(hào)我們并不陌生，如剛才鈴聲—聲信號(hào)，表示該上課了；路口的紅綠燈—光信號(hào)，指揮交通；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號(hào)；牌上的文字、圖象信號(hào)、生物電信號(hào)等等。二、系統(tǒng)的概念信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。系統(tǒng)激勵(lì)系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入

輸入信號(hào)信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其輸出信號(hào)響應(yīng)1.1

緒言1.2

信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。本課程電信號(hào)---簡(jiǎn)稱“信號(hào)”。電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。描述信號(hào)的常用方法（1）表示為時(shí)間的函數(shù)（2）信號(hào)的圖形表示--波形

“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2

信號(hào)的描述和分類二、信號(hào)的分類1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào)。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào)。研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。本課程只

確定信號(hào)。1.2

信號(hào)的描述和分類2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。（1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。函數(shù)值連續(xù)時(shí)常稱為模擬信號(hào)。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。f1(t)

=

sin(π

t)o

12

to

1

2

t1-1-11f2(t)值域連續(xù)值域不連續(xù)1.2

信號(hào)的描述和分類o1f(t)-1.52

21t1

t2

t3

t4

ttk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。t-1離散時(shí)間信號(hào)：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào)。這里的“離散”指信號(hào)的定義域—時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時(shí)間無定義如。右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻1.2

信號(hào)的描述和分類上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫為o21f(k)-1.5211

2

3

4

k-1用表達(dá)式可寫為

1,k

12,

k

0

1.5,

k

12,

k

2

0,

k

3

1，

k

40，

其他kf(k

)

或?qū)憺閒(k)=

{…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”1.2

信號(hào)的描述和分類3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)signal)是定義在(-∞，∞)區(qū)(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)周期信號(hào)(period間，每隔一定時(shí)間T變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t)

=

f(t

+

mT)，m

=

0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k)

=

f(k

+

mN)，m=

0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。1.2

信號(hào)的描述和分類例1

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)

=

sin2t

+

cos3t

（2）f2(t)

=

cos2t

+

sinπt解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。1sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω1=

2

rad/s

，

T1=

2π/

ω1=

πscos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω2=

3

rad/s

，

T2=

2π/

ω2=

(2π/3)

s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。2cos2t

和sinπt的周期分別為T1= πs，

T2=

2

s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。1.2

信號(hào)的描述和分類例2判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。解f(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…2

π

sin[

β

(mkN)]β

sinβ

k

m

式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/

β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/

β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。1.2

信號(hào)的描述和分類例3

判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)

=

sin(3πk/4)

+

cos(0.5πk)（2）f2(k)

=

sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1

=3π/4

rad，β2

=0.5π

rad由于2π/

β1

=

8/3，

2π/

β2

= 4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1

=

8

，

N1

=

4，故f1(k)

為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1

=2

rad；由于2π/β1

=π為無理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。1.2

信號(hào)的描述和分類4．能量信號(hào)與功率信號(hào)將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|

f

(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號(hào)的能量EE

f

(t)

2

d

tdef（2）信號(hào)的功率P2defT

2

T2f

(t) d

tT

1TP

lim若信號(hào)f

(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0若信號(hào)f

(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞1.2

信號(hào)的描述和分類

的離散信號(hào)，稱為能量信號(hào)。相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分。若滿足

E

|

f

(k)

|2k

若滿足的離散信號(hào)，稱為功率信號(hào)。2N

/

2|

f

(k)|

N

N

k

N

/

2P

lim

1時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào);周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如

f

(t)=e

t。1.2

信號(hào)的描述和分類一維信號(hào)與

信號(hào)從數(shù)學(xué)表達(dá)式來看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或

函數(shù)。語音信號(hào)可表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)，這是一維信號(hào)。而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)，這是二維信號(hào)。還有

維變量的函數(shù)的信號(hào)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。因果信號(hào)與反因果信號(hào)常將t

=0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)f(t)[即在t

<0，f(t)=0]稱為因果信號(hào)或有始信號(hào)。階躍信號(hào)是典型的一個(gè)。而將t

≥0，f(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。還有其他分類，如實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)；左邊信號(hào)與右邊信號(hào)等等。1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算兩信號(hào)f1(·)

和f2

(·)

的相+、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘

。如16

,

k

10,k其他2,

k

13

,

k

0f

(k)

24,

k

20,

k其他3,

k

02

,

k

1f

(k)

2,

k

16,

k

0k

14,

k

20,

k其他f

(k)

f

(k

)

8,1

2f

(k)

f

(k)

,

k

11

2

9

,

k

012

0,k其他1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算1.反轉(zhuǎn)將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對(duì)信號(hào)f

(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f

(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如to

1f

(t)1反轉(zhuǎn)t

→-tf

(-

t

)-11o

t1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算2.平移將f

(t)→f

(t

–t0)，f

(k)→f

(k

–k0)稱為對(duì)信號(hào)f

(·)的平移或移位。若t0

(或k0)>0，則將f

(·)右移；否則左移。如f

(t)to

11右移t

→t

–1f

(t-1)t1o

1

2左移t

→t

+1f

(t+1)1o

t-11.3

信號(hào)的基本運(yùn)算平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合f

(t)1t法二：①先反轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)畫出f

(2–t)。f

(-

t

)1-1

o

t②再平移

f

(–

t)

→

f

(–

t

+2)

=

f

[–

(t

–

2)]f

(t)o

1

t1to

1

2f

(-t

+2)1o

t1-2

-1f

(t

+2)o

1左移注意：是對(duì)t

的變換！法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉(zhuǎn)

f

(t

+2)→f

(–t

+2)右移1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f

(t)→f

(a

t)，稱為對(duì)信號(hào)f

(t)的尺度變換。若a

>1

，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a

<1

，則展開。如f

(

t

)1-2

o

2

tt

→2t

壓縮f

(2

t

)1-1

o

1t

→0.5t

展開tf

(0.5

t

)1-4

o

4

t對(duì)于離散信號(hào)，由于f

(a

k)僅在為a

k

為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合例1:已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間f

(

t

)12

tt

進(jìn)行。

f

(t

-4)1o

2

4

6

t壓縮，得f

(2t

–4)f

(2t

-4)o

1

2

3

t1反轉(zhuǎn)，得f

(–2t

–4)-2

of

(-2t

-4)1-3

-1

o

t右移4，得f

(t

–4)1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算f

(

t

)1-2

o

2

t壓縮，得f

(2t)f

(

2t

)1-1

o

1

t右移2，得f

(2t

–4)f

(2t

-4)o

1

2

3

t1反轉(zhuǎn)，得f

(–2t

–4)f

(-2t

-4)1-3

-1

o

t也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算若已知f

(–4–2t)，畫出f

(t)-3

-1

o

t。f

(-2t

-4)1反轉(zhuǎn)，得f

(2t

–4)f

(2t

-4)1o

1

2

3

t展開，得f

(t

–4)f(t

-4)1o

2

4

6

t左移4，得f

(t)f

(

t

)1-2

o

2

t階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函

數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。一、階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)。ton1n1γ

n12

1n

→∞to1ε

(t)(t)

21

0,

t

0,

t

0

1,

t

0defn(t)

lim

n1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f

(t)o2t12-1f(t)

=

2ε(t)-

3ε(t-1)

+ε(t-2)(b)f(t)

f(t)ε

(t)oottot(a)（3）積分f(t)[ε

(t-t1)-ε

(t-t2)]t1

t2(c)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間t

()

d

t

(t)二、沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由

最早提出）

(t)dt

1

(t)

0,

t

0toδ

(t)(1)也可采用下列直觀定義：對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到

的矩形脈沖pn(t)

。defto1n

1n2pn(t)nn

(t)

lim

pn

(t)高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：to1ε

(t)toδ

(t)(1)

(t)

d

(t)d

t

()

d(t)

t可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f

(t)2-1

o

1

tf(t)

=

2ε(t

+1)-2ε(t

-1)f′(t)

=

2δ(t

+1)-2δ(t

-1)求導(dǎo)1

tf

'(t)(2)-1

o(-2)to

11n1γ

n12to1n

1n2pn(t)n

nn→∞n→∞d

tp

(t)

d

n

(t)n1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)1.與普通函數(shù)

f(t)的乘積——取樣性質(zhì)若f(t)在t

=0

、t

=a處存在，則f(t)

δ(t)

=

f(0)

δ(t)

，

f(t)

δ(t

–a)

=

f(a)

δ(t

–a)

f

(t)

(t)

d

t

f

(0)

f

(t)

(t

a)

d

t

f

(a)2

sin(t

)

(t)

sin(

)

(t)

(t)44

2224sin(t

)

(t)

d

t

03sin(t

)

(t

1)

d

t

?sin(t

)4

(t)

d

t

?91142

(

t)

d

?121t

)

d

?(

1)

(0

22ε(t)1

t

10,

其它2t,d

t

d

e2t

(t)

e2t

(t)

2

e2t

(t)

(t)

2

e2t

(t)1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）f(t)

δ’(t)

=

f(0)

δ’(t)

–

f

’(0)

δ

(t)證明：

[

f(t)

δ(t)]’

=

f(t)

δ’(t)

+

f

’(t)

δ(t)f(t)

δ’(t)

=

[

f(t)

δ(t)]’

–

f

’(t)

δ

(t)=

f(0)

δ’(t)

–

f’(0)

δ

(t)δ’(t)的定義：

'(t)

f(t)

d

t

f

'(0)(n)δ

(t)的定義：(n)

(0)

(n)

(t)

f

(t)

d

t

(1)n

f1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)3.δ(t)的尺度變換|

a

|an

(n)

(at)

1

1

(n)(t)|

a

|推論:(1)

(at)

1

(t)0

1

|

a

|a

(at

t

)

(t

t0)δ(2t)

=

0.5δ

(t)

(n)

(t)

(1)n

(n)

(t)(2)當(dāng)a

=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ

(t)為偶函數(shù)，δ’(–t)=–δ’

(t)為奇函數(shù)1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)o2tf

(t)-24(4)o2tg(t)

=

f

'(t)-2-1壓縮，得g(2t)(2)o1tg(2t)-1-11.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti

(i=1，2，…，n)

d

{[

f

(t)]}

[

f

(t)]

d

f

(t)d

t

d

t{[

f

(t)]}1

df

'(t)

d

t

[

f

(t)]

ε[f(t)]圖示說明：例f(t)=t2

–4ε(t2

–

4)=1

–ε(t+2)+ε(t

–

2)f

(t)t-4-2o

21ε

[f

(t)

]t-2

o

21.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)4

412

2

(t

2)

1

(t

2)

1

(t

2)2t

d

t

2t

(t

2)

2

21[t

2

4]

1

d

[

(t

2

4)]

1

[

(t

2)

(t

2)]ε(

t

2

–

4)

=1

–ε(t+2)+ε(t

–

2)一般地，niii1f

'(t

)[

f

(t)]

1

(t

t )1if

'(t

)的n個(gè)沖激這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。

(4t

2

1)

1

(t

1)

1

(t

1)4

2

4

2注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無意義。1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)三、序列δ(k)和ε(k)這兩個(gè)序列是普通序列。（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義def1,

k

00,

k

0

(k)

-1o

1

kδ

(k)1取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)k

f

(k)

(k)

f

(0)f(k)δ(k

–k0)

=

f(k0)δ(k

–k0)例

(k

)

?k

(k

5)

(k)

?k

(k

i)

?i1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.4

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)（2）單位階躍序列ε(k)的定義def1,

k

00,

k

0

(k)

1-1kε

(k)o

1

2

3…k（3）ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)

=

ε(k)

–ε(k

–1)(k)

(i)i或(k)

(k

j)j

0ε(k)

=

δ(k)+

δ(k

–1)+…1.5

系統(tǒng)的描述描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得uS(t)uC(t)RCd

t

L

RC

uC

uSd

uCd

t

2LC

d

2

uCuC

(0)，uC

'(0

)二階常系數(shù)線性微分方程。d

t

2

d

t0a

y(t)

a

d

y(t)

a y(t)

f

(t)2

1抽去具有的物理含義，微分方程寫成d2MxkC

f

(t)這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量d

t

2

d

t，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x

為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為M

d2

x(t)

C

d

x(t)

kx(t)

f

(t)能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。1.5

系統(tǒng)的描述2.系統(tǒng)的框圖描述上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖。基本部件單元有：積分器：f

(t)∫tf

1(t)∑加法器：f

2(t)f

(x)

d

xf

1(t)

-

f

2(t)數(shù)乘器：

f

(t)或aaaf

(t)性積分器的比微分器好。1.5

系統(tǒng)的描述系統(tǒng)模擬：實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→

實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)例1：已知y”(t)+ay’(t)+

by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為

y”(t)

=

f(t)

–ay’(t)

–by(t)∫∫y'(t)y"(t)

y(t)∑abf(t)1.5

系統(tǒng)的描述∫∫x"(t)x'(t)x(t)∑32f(t)∑y(t)例2：已知y”(t)+3y’(t)+

2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足

x”(t)

+

3x’(t)+

2x(t)

=

f(t)可推導(dǎo)出

y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。41.5

系統(tǒng)的描述例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。y(t)∑∫∫3423f

(t)設(shè)輔助變量x(t)如圖x”(t)

=

f(t)–

2x’(t)

–3x(t)y(t)

=

4x’(t)+

3x(t)根據(jù)前面，逆過程，得x(t)x”(t)

x’(t)∑,即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y”(t)

+

2y’(t)

+

3y(t)

=

4f’(t)+

3f(t)1.5

系統(tǒng)的描述二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程例：

每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初

上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月的存入款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則y(k)=y(k-1)+

βy(k-1)+f(k)即

y(k)-(1+β)y(k-1)

=

f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。1.5

系統(tǒng)的描述基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器）由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程。例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫出方程的階數(shù)。f

(k)Df

(k-1)（1）y(k)

+

(k

–

1)y(k

–

1)

=

f(k)線性、時(shí)變，一階23y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)非線性、時(shí)不變，二階y(k)+2

y(k–1)=f(1–k)+1

線性、時(shí)變，一階解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。2.差分方程的模擬框圖1.5

系統(tǒng)的描述y(k)∑∑DD5例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。4f

(k)x(k)x(k-1)x(k-2)23解：設(shè)輔助變量x(k)如圖

x(k)=

f(k)

–

2x(k-1)

–

3x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)

=

4x(k-1)

+

5x(k-2)消去x(k)，得y(k)

+2y(k-1)

+3y(k-2)

=

4f(k-1)

+

5f(k-2)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面。1.5

系統(tǒng)的描述1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一、系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。下面

幾種常用的分類法。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或

系統(tǒng)。含有

元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無

系統(tǒng)。單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（1）線性性質(zhì)系統(tǒng)的激勵(lì)f

(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為y(·)=T[f

(·)]系統(tǒng)f(·

)y

(·

)線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。若系統(tǒng)的激勵(lì)f

(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即T

[af

(·)]

=

a

T

[

f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[

f2(·)]

則稱該系統(tǒng)是可加的。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[a

f1(·)+bf2(·)]=a

T[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){

f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。

初始狀態(tài)也稱“

激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為y

(·)零狀態(tài)響應(yīng)為yf(·)零輸入響應(yīng)為yx(·)=

T

[{

f

(·) },

{x(0)}]=

T

[{

f

(·) },

{0}]=

T

[

{0}，{x(0)}]1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：y

(·) =

yf(·) +

yx(·) =

T[{

f

(·) },

{0}]+

T[

{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{a

f

(·) },

{0}]

=

a

T[{

f

(·) },

{0}]T[{f1(t)

+

f2(t)

},

{0}]

=

T[{

f1

(·) },

{0}]

+

T[{

f2

(·) },

{0}]或T[{af1(t)

+bf2(t)

},

{0}]

=

aT[{

f1

(·) },

{0}]

+bT[{

f2

(·) },

{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax(0)}]=

aT[

{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)

+

x2(0)}

]=

T[{0},{x1(0)}]

+

T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）

y

(t) =

3

x(0)

+

2

f

(t)

+

x(0)

f

(t)

+

1（2）

y

(t) =

2

x(0)

+

|

f

(t)|（3）

y

(t)

=

x2(0)

+

2

f

(t)解：（1）

yf(t)=2

f

(t)+1，yx(t)=3

x(0)+1顯然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yf(t)

=

|

f

(t)|，

yx(t)

=

2

x(0)y

(t)

=yf(t)+yx(t)

滿足可分解性；由于T[{a

f

(t)},{0}]=|

af

(t)|≠a

yf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{a

x(0)}]=[a

x(0)]2

≠a

yx(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類0例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ty(t)

et

x(0)

sin(x)

f

(x)

d

xx

ftsin(x)

f

(x)

d

x

0y

(t)

解：

y

(t)

et

x(0),y

(t)

=yf(t)+yx(t)

，滿足可分解性；T[{a

f1(t)+

b

f2(t)

},

{0}]tttsin(x)

f

(x)

d

x1

20

0

01

2

sin(x)

f

(x)

d

x

bsin(x)[a

f

(x)

b

f

(x)]d

x

a=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{

f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=

e-t[ax1(0)

+bx2(0)]

=

ae-tx1(0)+

be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],

滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若fT[{0}，f(t)]

=

y

(t)則有T[{0}，f(t

-

td)]

=

yf(t

-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性（或移位不變性）。o

1f

(t)1tyf

(t)T22f

(t-1)1o

1o

1

2

tyf

(-1)tTo

1

2

3

t1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）

yf

(k) =

f

(k)

f

(k

–1)23yf

(t) =

t

f

(t)y

f(t) =

f

(–

t)解(1)令g

(k)=f(k

–kd)T[{0}，

g

(k)]

=

g(k)

g

(k

–1)

=

f

(k

–kd)

f

(k–kd

–1

)而

yf

(k

–kd)

=

f

(k

–kd)

f

(k–kd

–1)顯然T[{0}，f(k

–kd)]

=

yf

(k

–kd)

故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令g

(t)=f(t

–td)T[{0}，

g

(t)]

=

t

g

(t)

=

t

f

(t

–td)而

yf

(t

–td)=

(t

–td)

f

(t

–td)顯然T[{0}，f(t

–td)]

≠

yf

(t

–td)

故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(3)

令g

(t)=f(t

–td),T[{0}，g

(t)

]

=

g

(–

t)

=

f(–

t

–td)而yf

(t

–td)=f

[–(t

–td)]，顯然T[{0}，f(t

–td)]

≠

yf

(t

–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類本課程重點(diǎn)

線性時(shí)不變系統(tǒng)(Linear

Time-Invariant)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若

f

(t)

→

yf(t)

，則②積分特性：若

f

(t)

→

yf(t)

，

則f

’(t)

→

y

’

f

(t)tf

(x)

d

x

ty

(x)

d

xf1.6

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)。即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t

<t0

，f(t)=0時(shí)，有t

<t0

，yf(t)=0。如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：y

(t)

tf

(x)

d

xfyf(t)

=

3f(t

–

1)而下列系統(tǒng)為非因果系