中南大學(xué)考試試卷《線性代數(shù)》課程32 學(xué)時2學(xué)分考試形式閉卷總分：100分一、填空題（每小題3分，共15分）1 01、設(shè)f(x)x23，矩陣A4 3，則f(A)= . 2、設(shè)B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P，使 成立，則稱A與B相似．3、n元非齊次線性方程組Amn

xb有唯一解的充分必要條件是 .4fx

5x25x23x

2xx 6xx 6x

f對應(yīng)1 2 3

1 2

12 13 2 3的矩陣A= .5、設(shè)4階方陣A滿足：0,3E0,2E(其中E是單位矩陣)，則A的伴隨矩陣A*必有一個特征值為 二、選擇題（每小題3分，共15分）1、已知4階方陣A的伴隨矩陣為A*，且A的行列式=3，則A*=（ ）.（A）81. （B）27. （C）12. （D）9.2、設(shè)A、B都是n階方陣，且A與B有相同的特征值，并且A、B都有n個線性無關(guān)的特征向量，則（ 。（A）A與B相似. （B）A=B.（C）AB，但|AB|0.（D）AB不一定相似，但|A||B|.3、設(shè)n階方陣A為正定矩陣，下面結(jié)論不正確的是（ ）.A可逆.（C）|A|0.

A1也是正定矩陣.（D）A的所有元素全為正.4、若n階實(shí)方陣AA2，E為n階單位陣，則（ ）.（A）R(A)R(AE)n.（B）R(A)R(AE)n.（C）RARAE)n.（D）RRAE)與n的大小.0 0 1 15、設(shè)0，1，1，1cc

,c,

為任意常數(shù)，1 2 3 4

1 2 3 4c c c c1234 1234則下列向量組線性相關(guān)的為（ ）.（A），，.1 2 3

（B），，.1 2 4（C），，.1 3 4

（D），，.2 3 4三（本題滿分10分）x aa xn計(jì)算n（n2Dna a

aa，Dnx

的主對角線上的元素都為x，其余位置元素都為axa.四（本題滿分10分）3BA1BA6A五（本題滿分10分）

122A00

00 01 0B.4170 7設(shè)方陣A滿足A2A2E0(其中E是單位矩陣)，求A1,(A2E)1.六（12分

1 2 1 34 1 5 6已知向量組A：1

，1

，3 3

，4 4

，72 1 1 0 A的秩；A用該最大無關(guān)組線性表示.七（14分）1 設(shè)矩陣A

1 0 0 0 與矩陣B0 1 1

1

0 0 2（1）求,；（2）PP1APB.八（14分）設(shè)有線性方程組為

xax

a2

a3xx1a12xx

1 a2x

1a31 22 2 3 2xaxa2x a31 32 3 3 3xax1 42

a2x4

a34證明：若aa1 2

，a，a3

兩兩不等，則此方程組無解.設(shè)aa1 3

k，a2

a k（k0，4 1

是該方程組的兩個解，其中 (1,1,，1

(1,1,1)T，寫出此方程組的通解.參考答案一、填空題（315）-2 0

5 1 3 41、8

、P1APB、R(A)R(b)n、1 5 3、3 3 3 3 二、選擇題（315）BADCC三（本題滿分10分，見教材P44習(xí)題第5題）nx(n1)a a an解：后面

n1

1D

x(n1)a x a1x()a[x(n)a]

x(n1)a a xa ax a 1 a x1 0 0c(a)c 1

xa 021[x(n)a] (xa)n1[x(n)a].c(a)c

2cn(a)cn 1

0 xa（10P1726類似2 1 1

1 1

6 解：B6(A1E)16 4

1

6

3

2 . 7

1

6 1

（10P1181P1737）AE AEA2A2E0

EA1 .2 2

(AE)2 3EAA2A2E0A2E

(A2E)1

(A2)1

(A2 或4 4（12P8932P1786）12112131011415601121347000021100000R(A)2,,為所求的一個最大線性無關(guān)組，且,2.1 2312 412（14P19014）1）ABAB有相同的特征值，而B0,1，2，故得A的特征值為1

0, 1,2

2，從而有 ，0EA01EA0由此解得 00EA01EA0對于

1120解0EAX0得特征向量0單位化得0 ；1 1 1 1220對于 1，解EAX0，得特征向量為p 1；2 10對于 2，解2EAX0，得特征向量3

1120，單位化得：p 01 1212令P p,p,p1 2 3

1 0 12 20 1 0，則P為正交陣，且使P1AP B.221 0 122（14P871）B41aa1aa2a31111aa2a322211a3aa23a2a33a3444

a)j i1ij4由于a1

3

|0R)4A的秩RA)3，故RA)R（2）aa1 3

k，a2

a k（k0）時，方程組變?yōu)?xkxk2x1 2

k3xkxk2

k3 即

x

k2

k31 2 3 1 2 3xkxk2xk3 xkxk2xk31 2 3

1 2 3xkx1

k2x3

k3因?yàn)? k 2k0故R(R(B)2所以方程組有解且對應(yīng)的齊次方1 k3-2=1個解向量，又