1小波變換原理與應(yīng)用

WaveletTransformTheoryandEngineeringApplication數(shù)學(xué)中的顯微鏡——小波1小波變換原理與應(yīng)用

WaveletTransformT12講座的目的了解信號(hào)的信息表示方法了解小波變換的基本原理掌握小波變換的三種類型了解小波塔式分解與重構(gòu)了解小波變換的時(shí)頻特性了解小波變換的工程應(yīng)用小波分析深圳大學(xué)信息工程學(xué)院2講座的目的了解信號(hào)的信息表示方法小波分析深圳大學(xué)信23主要內(nèi)容小波的基本概念——什么是小波小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)小波的基本類型——多分辨分析小波的快速算法——Mallat算法小波包分解算法——精細(xì)化處理小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波的結(jié)合應(yīng)用——小波網(wǎng)絡(luò)等小波分析深圳大學(xué)信息工程學(xué)院3主要內(nèi)容小波的基本概念——什么是小波小波分析深圳大34小波的基本概念——什么是小波小波是什么？小波可以簡(jiǎn)單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。4小波的基本概念——什么是小波小波是什么？45小波的基本概念——什么是小波小波的“容許”條件用一種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)，并且完全不含有直流趨勢(shì)成分，即滿足5小波的基本概念——什么是小波小波的“容許”條件56小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的信息表示時(shí)域表示：信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精細(xì)的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布參數(shù)）頻域表示：信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量分布，信息為頻率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號(hào)，需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT時(shí)頻表示：時(shí)間和頻率聯(lián)合表示的一種信號(hào)表示方法，信息為瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)能量譜信號(hào)處理中，對(duì)不同信號(hào)要區(qū)別對(duì)待，以選擇哪種或者哪幾種信號(hào)表示方法6小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的信息表示67小波的基本概念——什么是小波平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)不滿足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號(hào)7小波的基本概念——什么是小波平穩(wěn)信號(hào)78小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)而言，在時(shí)間域各種時(shí)間統(tǒng)計(jì)量會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，失去統(tǒng)計(jì)意義；而在頻率域，由于非平穩(wěn)信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化而變化導(dǎo)致譜值失去意義8小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示只適用89小波的基本概念——什么是小波時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析，同樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號(hào)的分析9小波的基本概念——什么是小波時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對(duì)非平910小波的基本概念——什么是小波為什么選擇小波小波提供了一種非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間-尺度分析手段，不同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢(shì)10小波的基本概念——什么是小波為什么選擇小波1011小波的基本概念——什么是小波11小波的基本概念——什么是小波1112小波的基本概念——什么是小波12小波的基本概念——什么是小波1213小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1807:JosephFourier——FT，只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率1909:AlfredHaar——發(fā)現(xiàn)了Haar小波1945:Gabor——STFT1980：Morlet——Morlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一個(gè)正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）13小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1807:JosephF1314小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1988：InridDaubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)在信號(hào)處理領(lǐng)域中，自從InridDaubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和StephaneMallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語(yǔ)音信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、圖像信息處理等14小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1988：InridDa1415小波的基本類型——多分辨分析關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小波變換連續(xù)小波變換定義為可見(jiàn)，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù)15小波的基本類型——多分辨分析關(guān)于小波有兩種典型的概念：連1516小波的基本類型——多分辨分析傅立葉分解過(guò)程小波分解過(guò)程16小波的基本類型——多分辨分析傅立葉分解過(guò)程小波分解過(guò)程1617小波的基本類型——多分辨分析伸縮因子對(duì)小波的作用17小波的基本類型——多分辨分析伸縮因子對(duì)小波的作用1718小波的基本類型——多分辨分析平移因子對(duì)小波的作用平移因子使得小波能夠沿信號(hào)的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過(guò)收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的逼近18小波的基本類型——多分辨分析平移因子對(duì)小波的作用1819小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過(guò)程首先選擇一個(gè)小波基函數(shù)，固定一個(gè)尺度因子，將它與信號(hào)的初始段進(jìn)行比較；通過(guò)CWT的計(jì)算公式計(jì)算小波系數(shù)（反映了當(dāng)前尺度下的小波與所對(duì)應(yīng)的信號(hào)段的相似程度）；改變平移因子，使小波沿時(shí)間軸位移，重復(fù)上述兩個(gè)步驟完成一次分析；增加尺度因子，重復(fù)上述三個(gè)步驟進(jìn)行第二次分析；循環(huán)執(zhí)行上述四個(gè)步驟，直到滿足分析要求為止。19小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過(guò)程1920小波的基本類型——多分辨分析20小波的基本類型——多分辨分析2021小波的基本類型——多分辨分析小波逆變換如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的21小波的基本類型——多分辨分析小波逆變換2122小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換的性質(zhì)疊加性（線性）時(shí)移不變性尺度特性微分特性內(nèi)積定理能量守恒特性冗余性22小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換的性質(zhì)2223小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換DWT（discretewavelettransform，DWT）定義對(duì)尺度參數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行均勻離散取值（要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）23小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換DWT（dis2324小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換的可逆問(wèn)題——框架理論

DWT的可逆問(wèn)題蘊(yùn)含的是DWT的表達(dá)能夠完整的表達(dá)待分析信號(hào)的全部信息，這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論作為支撐了，如果對(duì)于所有的待分析信號(hào)滿足框架條件，那么DWT就是可逆的24小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換的可逆問(wèn)題——框2425小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。它構(gòu)造了一組正交基，使得尺度空間與小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在各尺度上由粗及精地觀察目標(biāo)。這就是多分辨率分析的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時(shí)間-尺度空間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計(jì)算或數(shù)據(jù)壓縮等方面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展過(guò)程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入到了一個(gè)統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多分辨率分析理論不但將在那時(shí)之前的所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一了起來(lái)，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定了框架。25小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析2526小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析對(duì)于小波基函數(shù)為，如果函數(shù)族構(gòu)成內(nèi)的正交基，就稱小波為正交小波，在正交小波基礎(chǔ)上進(jìn)行的小波變換稱為正交小波變換，只有滿足正交小波變換才可稱為多分辨分析，正交小波變換是完全沒(méi)有冗余的，非常適合做數(shù)據(jù)壓縮。26小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析2627小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Haar小波27小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Haar小2728小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Meyer小波28小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Meyer2829小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以等效為一組鏡像濾波的過(guò)程，即信號(hào)通過(guò)一個(gè)分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對(duì)應(yīng)的信號(hào)的高頻分量部分，稱為細(xì)節(jié)分量，低通濾波器輸出對(duì)應(yīng)了信號(hào)的相對(duì)較低的頻率分量部分，稱為近似分量。對(duì)應(yīng)的快速算法稱為Mallat算法29小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的討論中，2930小波的快速算法——Mallat算法濾波分解算法帶來(lái)一個(gè)新的問(wèn)題，就是針對(duì)離散的數(shù)據(jù)序列，經(jīng)過(guò)濾波分解會(huì)得到多于原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)濾波分解后，會(huì)得到1000點(diǎn)的近似分量序列和1000點(diǎn)的細(xì)節(jié)分量序列，這樣就得到了2000個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在小波變換的Mallat算法實(shí)現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即在輸出的兩點(diǎn)中只取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣產(chǎn)生兩個(gè)為原信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一半的序列，稱為簡(jiǎn)單記為cA和cD，雖然近似分量和細(xì)節(jié)分量的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度僅為原信號(hào)序列的一半，但是卻完整的包含的原信號(hào)的信息內(nèi)容。30小波的快速算法——Mallat算法濾波分解算法帶來(lái)一個(gè)新3031小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采樣31小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采3132小波的快速算法——Mallat算法小波分解樹(shù)32小波的快速算法——Mallat算法小波分解樹(shù)3233小波的快速算法——Mallat算法到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎樣來(lái)分解一個(gè)信號(hào)，這個(gè)過(guò)程通常也稱為分解分析，那么自然想到另外一個(gè)對(duì)應(yīng)的問(wèn)題就是如何將這些分解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號(hào)并且沒(méi)有任何的信息損失，這一過(guò)程就稱為小波重構(gòu)或者小波合成，實(shí)質(zhì)上就是逆離散小波變換（InverseDiscreteWaveletTransform，簡(jiǎn)稱：IDWT）。在離散小波變換或小波分解的過(guò)程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu)過(guò)程中需要進(jìn)行過(guò)采樣和濾波。過(guò)采樣是通過(guò)在相鄰采樣點(diǎn)之間插入零值的來(lái)實(shí)現(xiàn)的，利用過(guò)采樣可以使得信號(hào)分量的長(zhǎng)度增加為原來(lái)的兩倍，以達(dá)到和需要重構(gòu)信號(hào)一致的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。33小波的快速算法——Mallat算法到此我們已經(jīng)知道離散小3334小波的快速算法——Mallat算法34小波的快速算法——Mallat算法3435小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重構(gòu)示意圖35小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重構(gòu)示意圖3536小波的快速算法——Mallat算法局部分量的重構(gòu)在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號(hào)中的某個(gè)分量，此時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)分量和近似分量的單獨(dú)重構(gòu)成為必要，通過(guò)將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的36小波的快速算法——Mallat算法局部分量的重構(gòu)3637小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利用小波包進(jìn)行分析可以得到對(duì)信號(hào)更為精細(xì)的分析結(jié)果。通過(guò)將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨分析沒(méi)有細(xì)分的高頻分量部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，并根據(jù)被分析信號(hào)特征，通過(guò)自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達(dá)到與信號(hào)頻譜的匹配，實(shí)現(xiàn)精細(xì)化處理。小波包原子是一種被時(shí)間、尺度和頻率來(lái)表征的函數(shù)波形，對(duì)于一個(gè)給定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基，這組基一般稱為小波包基。簡(jiǎn)單的說(shuō)，小波包就是一個(gè)函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基庫(kù)，從這組標(biāo)準(zhǔn)正交基庫(kù)中可以選擇出多組標(biāo)準(zhǔn)正交基，對(duì)于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只是選擇了其中的一組基，從這個(gè)意義上講小波包就是小波變換的一種推廣。37小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分析可以看作是小波分解3738小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分解樹(shù)38小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分解樹(shù)3839小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪時(shí)間-尺度-小波系數(shù)圖小波分解可以得到一組小波細(xì)節(jié)分量和近似分量系數(shù)，將時(shí)間-尺度-小波系數(shù)聯(lián)合表示，就得到了信號(hào)的時(shí)間-尺度分析結(jié)果，不過(guò)這里帶來(lái)兩個(gè)問(wèn)題：第一小波的尺度是不連續(xù)的，這樣得到的時(shí)間-尺度-小波系數(shù)表示解讀起來(lái)比較困難，雖然根據(jù)框架理論可以推測(cè)到冗余系數(shù)在時(shí)間-尺度平面上產(chǎn)生的額外的分布信息，但是這畢竟顯得不夠直觀；第二個(gè)問(wèn)題就是，有時(shí)候想在時(shí)間-尺度時(shí)頻表示和時(shí)間-頻率時(shí)頻表示中進(jìn)行比較分析，那么尺度和頻率之間應(yīng)該存在著一定的關(guān)系，這種關(guān)系是如何確立的

39小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪時(shí)間-尺度-小波系數(shù)圖3940小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪尺度與頻率的關(guān)系尺度和頻率之間存在一個(gè)倒數(shù)關(guān)系，這個(gè)倒數(shù)關(guān)系式和信號(hào)的采樣周期以及選擇的小波基函數(shù)的中心頻率有關(guān)，假設(shè)尺度因子為a，信號(hào)的采樣周期為?，小波基函數(shù)的中心頻率為fc，那么和尺度因子a對(duì)應(yīng)的頻率fa可以用下面的式子來(lái)計(jì)算40小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪尺度與頻率的關(guān)系4041小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪41小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪4142小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪42小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪4243小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪仿真信號(hào)的小波時(shí)頻表示（cmor3-3小波）43小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪仿真信號(hào)的小波時(shí)頻表示（4344小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波在工程上應(yīng)用的困難：分解層數(shù)的確定和小波基函數(shù)的合理選擇，仿真信號(hào)的時(shí)頻表示（cgau6）44小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波在工程上應(yīng)用的困難：4445小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波降噪小波降噪主要包括：小波模極大值降噪、基于小波系數(shù)尺度間相關(guān)性的去噪法、小波閾值去噪法。其中以小波閾值降噪方法最為經(jīng)典。小波閾值降噪法的基本原理是，經(jīng)小波變換后得到的小波系數(shù)，包含信號(hào)本身信息和噪聲信息，一般情況下，隨機(jī)噪聲的小波系數(shù)非常小，這樣可以設(shè)定一個(gè)閾值，對(duì)小于該閾值的小波系數(shù)置零，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)原信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)降噪。根據(jù)閾值選擇方法的不同，可以分為硬閾值、軟閾值和自適應(yīng)閾值，也有些研究者在此基礎(chǔ)上對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)閾值函數(shù)。45小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波降噪4546小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪硬閾值軟閾值46小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪硬閾值軟閾值4647小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪47小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪4748小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪48小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪4849小波變換的結(jié)合應(yīng)用——小波網(wǎng)絡(luò)等隨著小波的發(fā)展，目前小波在工程上與其他學(xué)科交叉應(yīng)用變得普遍小波變換與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合（1990年張清華），實(shí)現(xiàn)精確的函數(shù)擬合和預(yù)測(cè)；多小波的快速發(fā)展（二代小波、三代小波）正交小波變換在濾波領(lǐng)域的應(yīng)用（對(duì)濾波信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，得到一組正交信號(hào)，利用正交信號(hào)的優(yōu)良性質(zhì)在濾波處理后重構(gòu)回原信號(hào)）小波變換與ICA算法的結(jié)合（解決了單通道混合信號(hào)的分離問(wèn)題）49小波變換的結(jié)合應(yīng)用——小波網(wǎng)絡(luò)等隨著小波的發(fā)展，目前小波4950小波變換原理與應(yīng)用

WaveletTransformTheoryandEngineeringApplication數(shù)學(xué)中的顯微鏡——小波1小波變換原理與應(yīng)用

WaveletTransformT5051講座的目的了解信號(hào)的信息表示方法了解小波變換的基本原理掌握小波變換的三種類型了解小波塔式分解與重構(gòu)了解小波變換的時(shí)頻特性了解小波變換的工程應(yīng)用小波分析深圳大學(xué)信息工程學(xué)院2講座的目的了解信號(hào)的信息表示方法小波分析深圳大學(xué)信5152主要內(nèi)容小波的基本概念——什么是小波小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)小波的基本類型——多分辨分析小波的快速算法——Mallat算法小波包分解算法——精細(xì)化處理小波的工程應(yīng)用——時(shí)頻分析與降噪小波的結(jié)合應(yīng)用——小波網(wǎng)絡(luò)等小波分析深圳大學(xué)信息工程學(xué)院3主要內(nèi)容小波的基本概念——什么是小波小波分析深圳大5253小波的基本概念——什么是小波小波是什么？小波可以簡(jiǎn)單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。4小波的基本概念——什么是小波小波是什么？5354小波的基本概念——什么是小波小波的“容許”條件用一種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)，并且完全不含有直流趨勢(shì)成分，即滿足5小波的基本概念——什么是小波小波的“容許”條件5455小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的信息表示時(shí)域表示：信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精細(xì)的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布參數(shù)）頻域表示：信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量分布，信息為頻率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號(hào)，需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT時(shí)頻表示：時(shí)間和頻率聯(lián)合表示的一種信號(hào)表示方法，信息為瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)能量譜信號(hào)處理中，對(duì)不同信號(hào)要區(qū)別對(duì)待，以選擇哪種或者哪幾種信號(hào)表示方法6小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的信息表示5556小波的基本概念——什么是小波平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)不滿足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號(hào)7小波的基本概念——什么是小波平穩(wěn)信號(hào)5657小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)而言，在時(shí)間域各種時(shí)間統(tǒng)計(jì)量會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，失去統(tǒng)計(jì)意義；而在頻率域，由于非平穩(wěn)信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化而變化導(dǎo)致譜值失去意義8小波的基本概念——什么是小波信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示只適用5758小波的基本概念——什么是小波時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析，同樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號(hào)的分析9小波的基本概念——什么是小波時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對(duì)非平5859小波的基本概念——什么是小波為什么選擇小波小波提供了一種非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間-尺度分析手段，不同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢(shì)10小波的基本概念——什么是小波為什么選擇小波5960小波的基本概念——什么是小波11小波的基本概念——什么是小波6061小波的基本概念——什么是小波12小波的基本概念——什么是小波6162小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1807:JosephFourier——FT，只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率1909:AlfredHaar——發(fā)現(xiàn)了Haar小波1945:Gabor——STFT1980：Morlet——Morlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一個(gè)正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）13小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1807:JosephF6263小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1988：InridDaubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)在信號(hào)處理領(lǐng)域中，自從InridDaubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和StephaneMallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語(yǔ)音信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、圖像信息處理等14小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1988：InridDa6364小波的基本類型——多分辨分析關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小波變換連續(xù)小波變換定義為可見(jiàn)，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù)15小波的基本類型——多分辨分析關(guān)于小波有兩種典型的概念：連6465小波的基本類型——多分辨分析傅立葉分解過(guò)程小波分解過(guò)程16小波的基本類型——多分辨分析傅立葉分解過(guò)程小波分解過(guò)程6566小波的基本類型——多分辨分析伸縮因子對(duì)小波的作用17小波的基本類型——多分辨分析伸縮因子對(duì)小波的作用6667小波的基本類型——多分辨分析平移因子對(duì)小波的作用平移因子使得小波能夠沿信號(hào)的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過(guò)收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的逼近18小波的基本類型——多分辨分析平移因子對(duì)小波的作用6768小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過(guò)程首先選擇一個(gè)小波基函數(shù)，固定一個(gè)尺度因子，將它與信號(hào)的初始段進(jìn)行比較；通過(guò)CWT的計(jì)算公式計(jì)算小波系數(shù)（反映了當(dāng)前尺度下的小波與所對(duì)應(yīng)的信號(hào)段的相似程度）；改變平移因子，使小波沿時(shí)間軸位移，重復(fù)上述兩個(gè)步驟完成一次分析；增加尺度因子，重復(fù)上述三個(gè)步驟進(jìn)行第二次分析；循環(huán)執(zhí)行上述四個(gè)步驟，直到滿足分析要求為止。19小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過(guò)程6869小波的基本類型——多分辨分析20小波的基本類型——多分辨分析6970小波的基本類型——多分辨分析小波逆變換如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的21小波的基本類型——多分辨分析小波逆變換7071小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換的性質(zhì)疊加性（線性）時(shí)移不變性尺度特性微分特性內(nèi)積定理能量守恒特性冗余性22小波的基本類型——多分辨分析連續(xù)小波變換的性質(zhì)7172小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換DWT（discretewavelettransform，DWT）定義對(duì)尺度參數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行均勻離散取值（要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）23小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換DWT（dis7273小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換的可逆問(wèn)題——框架理論

DWT的可逆問(wèn)題蘊(yùn)含的是DWT的表達(dá)能夠完整的表達(dá)待分析信號(hào)的全部信息，這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論作為支撐了，如果對(duì)于所有的待分析信號(hào)滿足框架條件，那么DWT就是可逆的24小波的基本類型——多分辨分析離散小波變換的可逆問(wèn)題——框7374小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。它構(gòu)造了一組正交基，使得尺度空間與小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在各尺度上由粗及精地觀察目標(biāo)。這就是多分辨率分析的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時(shí)間-尺度空間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計(jì)算或數(shù)據(jù)壓縮等方面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展過(guò)程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入到了一個(gè)統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多分辨率分析理論不但將在那時(shí)之前的所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一了起來(lái)，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定了框架。25小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析7475小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析對(duì)于小波基函數(shù)為，如果函數(shù)族構(gòu)成內(nèi)的正交基，就稱小波為正交小波，在正交小波基礎(chǔ)上進(jìn)行的小波變換稱為正交小波變換，只有滿足正交小波變換才可稱為多分辨分析，正交小波變換是完全沒(méi)有冗余的，非常適合做數(shù)據(jù)壓縮。26小波的基本類型——多分辨分析正交小波變換與多分辨分析7576小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Haar小波27小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Haar小7677小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Meyer小波28小波的基本類型——多分辨分析典型的正交小波——Meyer7778小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以等效為一組鏡像濾波的過(guò)程，即信號(hào)通過(guò)一個(gè)分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對(duì)應(yīng)的信號(hào)的高頻分量部分，稱為細(xì)節(jié)分量，低通濾波器輸出對(duì)應(yīng)了信號(hào)的相對(duì)較低的頻率分量部分，稱為近似分量。對(duì)應(yīng)的快速算法稱為Mallat算法29小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的討論中，7879小波的快速算法——Mallat算法濾波分解算法帶來(lái)一個(gè)新的問(wèn)題，就是針對(duì)離散的數(shù)據(jù)序列，經(jīng)過(guò)濾波分解會(huì)得到多于原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)濾波分解后，會(huì)得到1000點(diǎn)的近似分量序列和1000點(diǎn)的細(xì)節(jié)分量序列，這樣就得到了2000個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在小波變換的Mallat算法實(shí)現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即在輸出的兩點(diǎn)中只取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣產(chǎn)生兩個(gè)為原信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一半的序列，稱為簡(jiǎn)單記為cA和cD，雖然近似分量和細(xì)節(jié)分量的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度僅為原信號(hào)序列的一半，但是卻完整的包含的原信號(hào)的信息內(nèi)容。30小波的快速算法——Mallat算法濾波分解算法帶來(lái)一個(gè)新7980小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采樣31小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采8081小波的快速算法——Mallat算法小波分解樹(shù)32小波的快速算法——Mallat算法小波分解樹(shù)8182小波的快速算法——Mallat算法到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎樣來(lái)分解一個(gè)信號(hào)，這個(gè)過(guò)程通常也稱為分解分析，那么自然想到另外一個(gè)對(duì)應(yīng)的問(wèn)題就是如何將這些分解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號(hào)并且沒(méi)有任何的信息損失，這一過(guò)程就稱為小波重構(gòu)或者小波合成，實(shí)質(zhì)上就是逆離散小波變換（InverseDiscreteWaveletTransform，簡(jiǎn)稱：IDWT）。在離散小波變換或小波分解的過(guò)程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu)過(guò)程中需要進(jìn)行過(guò)采樣和濾波。過(guò)采樣是通過(guò)在相鄰采樣點(diǎn)之間插入零值的來(lái)實(shí)現(xiàn)的，利用過(guò)采樣可以使得信號(hào)分量的長(zhǎng)度增加為原來(lái)的兩倍，以達(dá)到和需要重構(gòu)信號(hào)一致的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。33小波的快速算法——Mallat算法到此我們已經(jīng)知道離散小8283小波的快速算法——Mallat算法34小波的快速算法——Mallat算法8384小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重構(gòu)示意圖35小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重構(gòu)示意圖8485小波的快速算法——Mallat算法局部分量的重構(gòu)在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號(hào)中的某個(gè)分量，此時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)分量和近似分量的單獨(dú)重構(gòu)成為必要，通過(guò)將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的36小波的快速算法——Mallat算法局部分量的重構(gòu)8586小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利用小波包進(jìn)行分析可以得到對(duì)信號(hào)更為精細(xì)的分析結(jié)果。通過(guò)將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨分析沒(méi)有細(xì)分的高頻分量部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，并根據(jù)被分析信號(hào)特征，通過(guò)自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達(dá)到與信號(hào)頻譜的匹配，實(shí)現(xiàn)精細(xì)化處理。小波包原子是一種被時(shí)間、尺度和頻率來(lái)表征的函數(shù)波形，對(duì)于一個(gè)給定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基，這組基一般稱為小波包基。簡(jiǎn)單的說(shuō)，小波包就是一個(gè)函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基庫(kù)，從這組標(biāo)準(zhǔn)正交基庫(kù)中可以選擇出多組標(biāo)準(zhǔn)正交基，對(duì)于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只是選擇了其中的一組基，從這個(gè)意義上講小波包就是小波變換的一種推廣。37小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分析可以看作是小波分解8687小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分解樹(shù)38小波包分解算法——精細(xì)化處理小波包分解樹(shù)8788