PAGE高一函數主要知識點及典型例題第4頁共4頁智立方教育高一函數知識點及典型例題一、函數的概念與表示1、映射〔1〕映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法那么f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應〔包括集合A、B以及A到B的對應法那么f〕叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B.注意點：〔1〕對映射定義的理解.〔2〕判斷一個對應是映射的方法.一對多不是映射，多對一是映射2、函數構成函數概念的三要素=1\*GB3①定義域;=2\*GB3②對應法那么;=3\*GB3③值域.兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同例1、例2、給出以下四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有〔C〕A、0個B、1個C、2個D、3個xxxxx1211122211112222yyyy3OOOO由題意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，對于圖①中，在集合M中區間〔1，2]內的元素沒有象，比方f〔3 2〕的值就不存在，所以圖①不符合題意；對于圖②中，對于M中任意一個元素，N中有唯一元素與之對應，符合函數的對應法那么，故②正確；對于圖③中，對于M中任意一個元素，N中有唯一元素與之對應，且這種對應是一一對應，故③正確；對于圖④中，集合M的一個元素對應N中的兩個元素．比方當x=1時，有兩個y值與之對應，不符合函數的定義，故④不正確二、函數的解析式與定義域1、求函數定義域的主要依據：〔1〕分式的分母不為零；〔2〕偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義；〔3〕對數函數的真數必須大于零；〔4〕指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1；例1、函數的定義域為根號下的數必須為正數，又當底數為大于0小于1的數時，只有當真數大于0小于1時，才能保證根號下的數為正數。所以讓0<4X的平方-3X<1，解0<4X的平方-3X得X<0或3/4<X,解4X的平方-3X<1得-1/4<X<1，取交集得X的范圍是?-1/4<X<0或3/4<X<1?函數的奇偶性1．定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，那么稱y=f(x)為偶函數.如果對于任意∈A，都有，那么稱y=f(x)為奇函數.2.性質：①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,②假設函數f(x)的定義域關于原點對稱，那么f(0)=0例1.函數是定義在上的偶函數.當時，，那么當時，.當x∈〔０，＋∞〕，f(x)=-x-x^4解：當x∈〔０，＋∞〕，－x∈(-∞,0),因為當x<0時，f(x)=x-x^4,所以把－x代入這個式子中得f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因為f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x)于是f(x)=-x-x^4例2、定義域為的函數是奇函數.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.六．函數的周期性：1．〔定義〕偶函數：一般地，如果對于函數f〔x〕的定義域內任意一個x，都有f〔-x〕=f〔x〕，那么稱函數f〔x〕為偶函數。奇函數：一般地，如果對于函數f〔x〕的定義域內任意一個x，都有f〔-x〕＝-f〔x〕，那么函數f〔x〕是奇函數。2．假設；；；那么周期是2例1、定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=－f(x),那么,f(6)的值為(A)－1(B)0(C)1(D)2由于f(X)為奇函數,故f(-X)=-f(X),所以f(-0)=-f(0)得出f(0)=0.又f(X+2)=-f(X)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0例2、________例5、設是定義在R上的奇函數，且對任意實數x恒滿足，當時.⑴求證：是周期函數；⑵當時，求的解析式.〔1〕f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4為周期的周期函數。〔2〕根據奇函數性質f(x)=-f(-x),可知x∈[-2,0]時，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2,而f(x)是以4為周期的周期函數，當x∈[2,4]時，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)2=x2-6x+8f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))?根據f(x+2)=-f(x)這條件...于是f(x+4)=-f(x+2)，這個就是把x+2作為一個整體看作條件中的x，帶進去就是了七．二次函數(涉及二次函數問題必畫圖分析)1．二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標2．二次函數與一元二次方程關系一元二次方程的根為二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值.一元二次不等式的解集(a>0)二次函數△情況一元二次不等式解集y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4acax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)圖象與解△>0△=0△<0R例1、函數在區間上是增函數，那么的范圍是〔〕〔A〕(B)(C)(D)例2、方程有一根大于1，另一根小于1，那么實根m的取值范圍是二次函數解決。設Y=X^2+2mX+1，拋物線開口向上，與X軸交點在1的左右兩邊，∴在保證有交點的情況下(Δ>0)，X=1時，Y<0。∴Δ=4m^-4>0，得m>1或m<-1，當X=1時，Y=2+2m<0，得m<-1，綜合得：m<-1。九．指數函數與對數函數1.指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0,a≠1)互為反函數名稱指數函數對數函數一般形式Y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定義域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)過定點〔０，1〕〔1，０〕圖象指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0,a≠1)圖象關于y=x對稱單調性1,在(-∞,+∞)上為增函數０＜a<1,在(-∞,+∞)上為減函數a>1,在(0,+∞)上為增函數０＜a<1,在(0,+∞)上為減函數值分布y>1?y<1?y>0?y<0?2.比擬兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數相同還是指數相同，如果底數相同，可利用指數函數的單調性；指數相同，可以利用指數函數的底數與圖象關系〔對數式比擬大小同理〕記住以下特殊值為底數的函數圖象：3.研究指數，對數函數問題，盡量化為同底，并注意對數問題中的定義域限制4.指數函數與對數函數中的絕大局部問題是指數函數與對數函數與其他函數的復合問題，討論復合函數的單調性是解決問題的重要途徑.例1、〔1〕的定義域為_______________；解答：令lgx≥0，∴x≥1令x>0令5-3x>0,∴x<5/3∴定義域為1≤x<5/3〔2〕的值域為_____________；可以設t=1/(x-3)，那么t的范圍就是t≠0所以函數